数学竞赛问题04-10

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1、 34 于是 3 3 3 2279 2 acab+. 取 2 3,2,0,2abc=, 则 32 ( )2 32f xxxx=+,有实根31, 31,0+,显然,满足题设条件,且 3 3 227948 336 33 3 82 acab + =, 所以 3 3 2279acab + 的最大值为 3 3 2 . 三、在世界杯足球赛前, F 国教练为了考 察 1234567 ,A A A A A A A 这七名队员,准备让 他们在三场训练比赛(每场 90 分钟)都上场. 假设在比赛的任何时刻,这些队员中有且仅 有一人在场上,并且 1234 ,A A A A 每人上场的 总时间(以分种为单位)均被 7

2、 整除, 567 ,A A A 每人上场的总时间(以分钟为单位)均被 13 整 除.如果每场换人次数不限,那么按每名队员 上场的总时间计算,共有多少种不同的情况. 解 设第 i 名队员上场的时间为 i x 分钟 (i = 1,2, i x7),问题即为求不定方程 127 270xxx+=L, 在条件7| i x (1,2,3,4)i =且13| j x (5,6,7)j =下 的正整数解的组数, 若 127 (,)x xxL是满足条件的一组正 整数解,则应有 1234 7xxxxm+=, 567 13xxxn+=,m nN. 于是,m n 即是不等方程 713270mn+= 在条件4,3mn,

3、下的一组正整数解. 由得 2701346 38 77 nn mn =+. 易观察到33,3mn=是不定方程在条件 4,3mn下的一组正整数解. 进而20,10mn=;7,17mn=也是 满足条件的正整数解,并且仅有上述三组解, 当33,3mn=时,显然 567 xxx= 13,仅有一种可能. 又设7 ii xy=(1,2,3,4)i =,于是由不定方 程 1234 33yyyy+=,有 4 13 33 132 4960CC = 组正整数解, 此时有满足条件的 3 32 4960C=组正整 数解. 当20,10mn=时,设7 ii xy=(1,2,i = 3,4) ,13 jj xy=(5,6,

4、7)j = 1234 yyyy+= 20,有 3 19 C 组正整数解; 567 10yyy+=,有 2 9 C 组正整数解. 此时有满足条件的 32 199 CC= 34884 组 正整数解. 当7,17mn=时,设7 ii xy=(1,2,3,i = 4) ,13 jj xy=(5,6,7)j =. 1234 7yyyy+=,有 3 6 C 组正整数解; 567 17yyy+=,有 2 16 C 组正整数解; 此时有满足条件的 32 616 2400CC=组 正整数解, 综上,满足条件的正整数解的组数为 33232 32199616 CCCCC+ 496034884240042244=+=

5、. (本刊资料室) 数学竞赛问题(5) 广州大学理学院数学系 吴伟朝 89. 设 1 1a = , 1 23 (6) n nn aan + =+(1,n = 2,3,)L . 求通项公式 n a ; 求出所有的n,使得 n a 能被 110 整除; 问:此数列中是否有无限多个项 n a ,能 被 2002 整除？如果有,请找出无限多个n,使 之满足要求,即 2002 整除 n a . 90. 设n和m 为正整数,求和: 2 1 2 () n i i Smi = = . (答案写成关于n和m 的最简式子) 35 91. 求出所有的正整数n,使得 202n+能 整除20032002n +. 注:本

6、题是本人为 2002 年首届女子数学 奥林匹克(简称 CGMO)所命的第 1 题. 92. 试求出所有的函数:fRR,使得 对于任何的 , x yR,都有 ( )( )2( )f xf xxf yxxf y+=+. 93. 试求出所有的函数:fRR,使得 对于任何的 , x yR,都有 ( )( ( )( )3( )f xf xf f xxf yxxf y+=+. 94. 设 R 是实数集,试求出所有的函数 :fRR,使得对于任何的实数 x和 y ,都有 22 ()( )( )f xyxf xyf y=. 注:本题是本人为 2002 年美国数学奥林 匹克(USAMO)所命的第 4 题,于 20

7、01 年 9 月 25日在美国东部提出并解答,赛后USAMO委 员会认为本题是好题. 95. 给定一个正整数2n ,试求解下列 各个问题:(a) 试求出所有的函数:fRR, 使得对于任何的 , x yR,都有 11 ()( )( ) nnnn f xyxf xyf y =; (b) 试求出所有的函数:fRR,使得 对于任何的 , x yR,都有 11 ()( )() nnnn f xyxf xyf y =. 注:(a)和(b)都是上面的 2002-USAMO -4(即第 94 题)的推广. 96. 求下列方程组的所有实数解: 22 22 496 336, 34. xyxy xyxy += +=

8、 97. 给定一个正整数k ,设 , a b 是两个正 整数()ab,使得abab+能整除 22 abk+ 求证:必有 22 1 abk k abab + =+ + ; 确定(求出)所有这样的a和b . 98. 试求出所有的函数:fRR,使得 对于任何的 , x yR,都有 22 ( )( )f xf xyf yxy=. 99. 试求出所有的正整数 n ,使得 2 1n + 能整除20022003n+. 100. 求出所有的实数k ,使得关于 x的方 程 22 (2002)0xkxk+=的两个根皆为整 数. 101. 求出方程 222 34004()(2002)0xyxyxy+= 的所有整数解

9、( , )x y . 102. 设a 是一个实参数,使得下列方程 组: sincos1, cossin, xy xya += += 总有实数解( , )x y ,试求出的a取值范围. 103. 设a是一个实参数,使得下列方程组: sincos1, 10 cossin, 8 xy xya += = 总有实数解( , )x y ,试求出a的取值范围. 104. 给定一个正整数k ,求证:存在无限 多组正整数对 ( , )a b ()ab,使得 ab 能整除 2 ()abk+. 105. 是否存在函数:fNN,使得对 于每一个 nN,都有() 2 ( )( )(1)f nff nn=+ 并说明理由.

10、 106. 给定一个正数 k ,在 ABC 中,角 , ,A B C 的对边长度分别是 , ,a b c ,且 ()k ca 等于 AC 边上的高h,试求 sincos 22 CACA f + =+ 的取值范围. 107. 试求出所有的函数:fRR,使得 对于任何的 , x yR,都有 ( ) ( )3 ( )( ( ) mnm f xyfyyf yf x+= + (,m n 是给定的正整数, ( )( )n fy 表示( )f y 的n 次迭代) 108. 给定一个常数0k ,试求出所有的 函数:fRR,使得对于任何的 , x yR,都 有()( )( )()( )f kf xxf yf k

11、xxf y+=+. 109. 设I 是 ABC的内心,直线CI 和BI 分别交对边 AB 和 AC 于点 P 和 Q ,求证: IPIQ=的充分必要条件是 0 60BAC=或 ABAC=. 110. 已知 3 0 4 x. 111. 试 求 出 所 有 的 整 数 n , 使 得 2 2002n +能整除 5 2002n +. 112. 试求出所有的函数:fRR,使得 对于任何的 , x yR,都有 2 1 ( ( )( )1( ( )( ) 2 f f xxf yf xxf y+= +. 113. 试求出所有的函数:fRR,使得 对于任何的 , x yR,都有 ()() 2 2 3 ( )(

12、 )2( )f xf yf yyf x+=+. 114. 试求出所有的函数:fRR,使得 对于任何的 , x yR,都有 22 (2 ( )2( )( )f xyf yyf yf x+=+. 115、试求出所有的函数:fRR,使得 对于任何的 , x yR,都有 () 2 ( )( )( )f xyf yxf xf y+= 116. 试求出所有的函数:fRR,使得 对于任何的 , x yR,都有 ()( )( )()ff xxf yxf xy+=+. 117. 试求出所有的函数:fRR,使得 对于任何的 , x yR,都有 () 22 ( )(1) ()( )f xf yy f xyx y f

13、 y=+ 118. 试 求 出 所 有 的 严 格 单 调 函 数 :fRR,使得对于任何的 , x yR,都有 ( )( )( )( ).f xf yxf yyf xyf x+=+ 注:本题是对第 35 届(1994)IMO 的第 5 题的改进和推广. 119. 试求出所有的正整数a和b ()ab, 使得(1)(1)ab+能整除 22 1ab+ . 120. 确定所有的正整数对 ( , )a b ,使得a 整除 2 1b + ,且b 整除 2 2a +. 121. 试求出所有的函数:fRR,使得 对于任何的 , x yR,都有 22 ()( )( )f xyxf xyf y+=+. 122.

14、 给定两个正数 S 和 1 a ,定义 1n a + = 1 1() n s n a a + + (1,2,3,)n = ,试求极限 lim n x a + . 123. 给定一个正整数3n 和 n 个正实 数 12n aaa,试求 PC 的长度. 128. 设*1,2,3,4,N =L ,给定一个严格 递增的函数 g: * NN,假定存在一个函数 * :fNN,使得对于每一个 * nN,都有 ( )( ( )( )f nf f ng n=.试给出函数 g 应当要满 足的一个必要条件. 注 用这个必要条件可以判定某些函数 方程无解(看下一题). 129. 问:是否存在函数 * :fNN,使得

15、对每一个 * nN,都有 2 ( )( ( )35?f nf f nn= +请说明理由. 注 用第 128 题的结果来解本题. 130. 问:方程 22 2 ()( )1 82 xyy xzxyx += + 是 否有整数解 , ,x y z ?请说明理由. 131 设 AB 是圆 O(O 为其圆心)的直径, ABCD 是圆 O 的内接凸四边形,分别以 C、D 为直角顶点向圆内侧作等腰直角三角形 CBP 和DAQ,且P与Q不重合.求证:PQ平行于CD. 注 本题于 2002 年 6 月 14 日为 IMO 而 提出并解答的. 132. 设函数:g RR是一个给定的单 调的一一对应,试求所有的函数:fRR,使 得对于任何的 , x yR,都有 ( )( ()f xf yxyf g xy=. 133. 在 ABC中,ABCACB= = ,P 和 Q 为形内两点,10 ,PCAQBCPAC= = 20QCB= =.确定使 BPBQ=成立的充分 必要条件.(用关于 的最简条件表示). 注 本题于 2002 年 5 月底为中国 IMO 代 表队出国前的训练工作而提出并解答的. 13