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1、1,微积分学概要,微积分学是微分学和积分学的总称。它是一种数学思想，“无限细分”就是微分，“无限求和”就是积分。 十七世纪后半叶，牛顿和莱布尼茨完成了许多数学家都参加过准备的工作，分别独立地建立了微积分学。他们建立微积分的出发点是直观的无穷小量，但是理论基础是不牢固的。因为“无限”的概念是无法用已经拥有的代数公式进行演算，所以，直到十九世纪，柯西和维尔斯特拉斯建立了极限理论，康托尔等建立了严格的实数理论，这门学科才得以严密化。,牛顿,2,极 限,极限对 y = f (x) ，若 x 无限趋近某一数值x0 ，f (x) 则无限趋近某一确定数值a，则a就是函数f (x)在x趋近x0时的极限，记作：
2、,3,若函数 y = f (x) 在某一区间内各点均可导，则其导数 f (x) 也是自变量 x 的函数，称为导函数。导函数 f(x) 对 x 的导数叫做 y 对 x 的二阶导数，定义为：,函数y=f(x)对自变量x的导数， 就是y对x的变化率，定义为：,导 数,4,微 分,若函数y = f(x)在点x处可导, 则导数f (x)与自变量增量dx（称为：自变量的微分）的乘积，就叫做函数 y = f(x) 在点 x 处的微分（称为：函数的微分） ，记作： dy = f (x)dx,函数一阶导数对应的微分称为一阶微分；一阶微分 的微分称为二阶微分；二阶微分及以上的微分称为 高阶微分。,5,极值点的充要
3、条件是在该点的一阶导数为零，且在该点两侧的导数值异号。因此，令 f(x) = 0 即可求出极值点x0 若 f“(x0) 0，则为极大值点 若 f“(x0) 0，则为极小值点,函数的极值点和极值,6,导数的运算,导数定义给出了求导方法 例如，求 y = x2 的导数：,7,基本函数的求导公式,8, (uv) = u v (uv) = u v + v u (u/v) = (u v - v u)/v2 设 y = f(x) 的反函数为 x = (y) 则 (y) = 1/ f (x) 复合函数的导数 设y = f(u) , u = (x)，则 （连锁律）,导数的基本运算法则,9,例 题,10,导数的
4、应用,质点沿x轴作直线运动的速度：,质点沿x轴作直线运动的加速度：,电流强度：,11,不定积分,1、不定积分的定义 若 F (x) = f(x)，则 F(x) + c = f(x)，F(x) + c 就叫做 f(x) 的原函数，有无穷多个；函数 f(x) 的所有原函数，就叫 f(x) 的不定积分，记为：f(x)dx = F(x) + c 。 其中叫做积分号，f(x)叫做被积函数，x叫做积分变量，f(x)dx叫做被积式，c叫做积分常数，求已知函数的不定积分的过程叫做对这个函数进行积分。 （积分是微分的逆运算，即知道了导函数，求原函数）,12,不定积分.,2、性质 (f(x)dx ) = f(x)
5、 (先积后导等于自身) f (x)dx = f(x) + c (先导后积等于自身加上任意常数),13,基本积分公式,adx = ax + c af(x)dx = af(x) dx (uv)dx =udxvdx xndx = xn+1/(n+1) + c (n-1) x-1dx=lnx+c axdx = ax/lna + c exdx = ex+ c sinxdx = - cosx + c cosxdx = sinx + c sec2xdx = tgx + c csc2xdx = - ctgx + c,14,换元积分法与分部积分法,换元积分法 适当变换积分变量，把被积表达式化成基本积分公式中的形
6、式（又称凑积分）,15,换元积分法与分部积分法,分部积分法 其基本思路是将不易求得结果的积分形式，转化为等价的但易于求出结果的积分形式。 d(uv) = (uv) dx = u vdx + v udx = vdu + udv 两边同时积分，得： uv = vdu + udv 则udv = uv - vdu,16,分部积分法,例题 xexdx = xdex = xex - exdx = xex ex + c lnx dx = x lnx - xdlnx = x lnx - dx = x lnx - x + c,17,不定积分的应用,已知加速度求速度 已知速度求位矢（或运动学方程） （见教材P36
7、37）,18,定积分,定积分概念 设函数 y = f(x) 在区间 a,b上连续，把 a,b分 成宽为x的 n个小区间，当 n 时， 的极限叫函数 y = f(x)在区间 a,b 上的定积分， 记作：,定积分的几何意义为曲边梯形的面积。,19,定积分的主要性质,20,牛顿莱布尼茨公式,设F(x)为函数f(x)在区间a,b上的一个原函数,即F(x)=f(x), 则,称为牛顿莱布尼茨公式 （可以证明）。,牛顿-莱布尼茨公式的意义就在于把不定积分与定积分联系了起来，也让定积分的运算有了一个完善、令人满意的方法。,21,牛顿莱布尼茨公式,例题：,22,定积分的应用,计算平面几何图形的面积 计算立体的体
8、积 计算曲线的弧长 变力的冲量 质心计算 变力做功 转动惯量,23,矢量的概念,矢量的初步概念 既有大小又有方向，且加法遵从几何法则的量叫矢量 ，用黑体字母或带箭头的字母表示：A, 。 矢量的大小又叫矢量的模，用 或A 表示。 模等于1 的矢量叫单位矢量，用 表示。在直角坐标系中，沿 x、y、z轴的单位矢量，分别用 表示。 矢量具有平移不变性：矢量的平动既不改变矢量的量值，也不改变矢量的方向。,24,矢量的几何描述,矢尾,矢端,25,矢量的加法与减法,矢量加法 可用平行四边形法则、三角形法则 、多边形法则 矢量减法 用三角形法则求矢量相减最方便，注意：差矢量方向是由减矢量末端指向被减矢量末端,
9、26,矢量的正交分解,矢量的加减在直角坐标系中表示为：,27,矢量乘法,矢量的数乘 定义：矢量 与实数m的乘积m 仍然是矢量，大小是 的|m|倍，方向与 的方向相同或者相反，取决于m的正负。 性质：,28,矢量的标积（点乘积）,标积的分量表示,29,矢量标积应用,功的定义 功率的定义,30,矢量的矢积（叉乘积）,方法：伸开右手，除拇指外的四指并拢、沿 的方向伸出，并从 经小于180的角向 弯曲，则与四指垂直的拇指的方向即为 的方向。,31,矢量的矢积（叉乘积）,32,矢积的分量表示,33,矢量矢积应用,力矩的定义 角动量的定义 洛伦兹力的定义,34,三个矢量的混合积,35,双重矢积,36,矢量的非法运算,37,矢量函数（矢函）,一个矢量在某一过程中，若大小、方向都不发生变化，则为恒矢量；反之则为变矢量，可有三种情况：大小、方向均变化；大小变化，方向不变；大小不变，方向变化。 说一个变矢量 是标量 t 的矢函，意味着对应 t 的每一个数值，变矢 都存在一个确定的矢量与之对应，记为： 分量表示：,38,矢量函数的导数,矢量函数导数的定义,39,矢量函数的导数,分量表示,40,矢量导数应用,质点速度的定义：,质点的加速度：,质点的速度的分量表示：,41,矢函求导法则,
