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1、 中考专题3:材料阅读题类型一：代数1（整除类）1. 若整数能被整数整除，则一定存在整数，使得，即。例如若整数能被整数3整除，则一定存在整数，使得，即。（1）若一个多位自然数的末三位数字所表示的数与末三位数以前的数字所表示的数之差（大数减小数）能被13整除，那么原多位自然数一定能被13整除。例如：将数字306371分解为306和371，因为371-306=65，65是13的倍数，,所以306371能被13整除。请你证明任意一个四位数都满足上述规律。（2）如果一个自然数各数位上的数字从最高位到个位仅有两个数交替排列组成，那么我们把这样的自然数叫做“摆动数”，例如：自然数12121212从最高位到
2、个位是由1和2交替出现组成，所以12121212是“摆动数”，再如：656,9898,37373，171717，都是“摆动数”，请你证明任意一个6位摆动数都能被13整除。2. 把一个自然数所有数位上的数字先平方再求和得到一个新数，叫做第一次运算，再把所得新数所有数位上的数字先平方再求和又将得到一个新数，叫做第二次运算，如此重复下去，若最终结果为1，我们把具有这种特征的自然数称为“快乐数”例如：，所以32和70都是“快乐数”（1）写出最小的两位“快乐数”；判断19是不是“快乐数”；请证明任意一个“快乐数”经过若干次运算后都不可能得到4；（2）若一个三位“快乐数”经过两次运算后结果为1，把这个三位
3、“快乐数”与它的各位上的数字相加所得的和被8除余数是2，求出这个“快乐数” 3. 若一个正整数，它的各位数字是左右对称的，则称这个数是对称数，如22，797，12321都是对称数最小的对称数是11，没有最大的对称数，因为数位是无穷的（1）有一种产生对称数的方式是：将某些自然数与它的逆序数相加，得出的和再与和的逆序数相加，连续进行下去，便可得到一个对称数如：17的逆序数为71，1771=88，88是一个对称数；39的逆序数为93，3993=132，132的逆序数为231，132231=363，363是一个对称数请你根据以上材料，求以687产生的第一个对称数；（2）若将任意一个四位对称数分解为前两
4、位数所表示的数，和后两位数所表示的数，请你证明这两个数的差一定能被9整除；（3）若将一个三位对称数减去其各位数字之和，所得的结果能被11整除，则满足条件的三位对称数共有多少个？4. 若整数a能被整数b整除，则一定存在整数n，使得，即，例如：若整数a 能被11整除，则一定存在整数n，使得，即，一个能被11整除的自然数我们称为“光棍数”，他的特征是奇数位数字之和与偶数位数字之和的差能被11整除,如：42559奇数位的数字之和为4+5+9=18，偶数位的数字之和为2+5=7，187=11是11的倍数，所以42559为“光棍数”. 请你证明任意一个四位“光棍数”均满足上述规律；若七位整数能被11整除，
5、请求出所有符合要求的七位整数。5. 我们可以将任意三位数表示为（其中a、b、c分别表示百位上的数字，十位上的数字和个位上的数字，且）.显然，；我们把形如和的两个三位数称为一对“姊妹数”（其中x、y、z是三个连续的自然数）如：123和321是一对姊妹数，678和876是一对“姊妹数”。（1）写出任意三对“姊妹数”， 并判断2331是否一对“姊妹数”的和（2）如果用x表示百位数字，求证：任意一对“姊妹数”的和能被37整除。6. 若一个正整数，它的各位数字是左右对称的，则称这个数是对称数. 如，都是对称数，最小的对称数是,但没有最大的对称数，因为数位是无穷的.（1） 若将任意一个四位对称数分解为前两
6、位数表示的数和后两位数表示的数，请你证明：这两个数的差一定能被整除；（2）设一个三位对称数为（ ），该对称数与相乘后得到一个四位数，该四位数前两位所表示的数和后两位所表示的数相等，且该四位数各位数字之和为，求这个三位对称数.7. 观察下列等式：12231=13221， 14451=15441， 32253=35223， 34473=37443，45594=49554，.以上每个等式中的两边数字分别是对称的，且每个等式中组成两位数与三位数的数字之间具有相同的规律，我们称这类等式为“数字对称等式”。（1）根据上述各式反映的规律填空，使式子成为“数字对称等式”： 35 = 53； 682=286 。
7、（2）设数字对称式左边的两位数的十位数字为m，个位数字为n，且，用含m，n的代数式表示数字对称式左边的两位数与三位数的乘积P，求出P能被110整除时mn的值。8. 如果一个自然数从高位到个位是由一个数字或几个数字出现组成，那么我们把这样的自然数叫做循环数，被重复的一个或几个数字称为“循环节”，我们把“循环节”的数字个数叫做循环数的阶数例如：252525，它由“25” 依次重复出现组成，所以252525是循环数，它是2阶6位循环数，再如：11，是1阶2位循环数；789789789是3阶9位循环数；473847384738是4阶12位循环数（1） 请你直接写出3个2阶6位循环数，猜想任意一个2阶6
8、位循环数能否被7整除，并说明理由；（2） 已知一个能被11整除的2阶4位循环数，设循环节为xy，求y与x的函数关系9. 10. 11. 有一个n位自然数能被整除，依次轮换个位数字得到的新数能被整除，再依次轮换个位数字得到的新数能被整除，按此规律轮换后，能被整除，能被整除，则称这个n位数是的一个“轮换数”.例如：60能被5整除，06能被6整除，则称两位数60是5的一个“轮换数”；再如：324能被2整除，243能被3整除，432能被4整除，则称三位数324是2个一个“轮换数”.（1）若一个两位自然数的个位数字是十位数字的2倍，求证这个两位自然数一定是“轮换数”.（2）若三位自然数是3的一个“轮换数
9、”，其中，求这个三位自然数.类型二：代数21. 设，是整数，且，如果存在整数，使得，则称整除，记作.例如：，；，；，.（1）若，且为正整数，则的值为 ；（2）若，且为整数，满足，求的值.2. 我们知道，任意一个正整数n都可以进行这样的分解：n=pq（p，q是正整数，且pq），在n的所有这种分解中，如果p，q两因数之差的绝对值最小，我们称pq是n的最佳分解.并规定：.例如12可以分解成112，26或34，因为12-16-24-3，所以34是12的最佳分解,所以.（1）如果一个正整数a是另外一个正整数b的平方，我们称正整数a是完全平方数.求证：对任意一个完全平方数m，总有；（2）如果一个量为正整数
10、t，（1xy9，x，y为自然数），交换其个位上的数与十位上的数得到的新数减去原来的量为正整数所得的差为18，那么我们称这个数t为“吉祥数”，求所得“吉祥数”中F(t)的最大值.3. 对x，y定义了一种新运算T，规定T（x，y）=（其中a，b均为非零常数），这里等式右边是通常的四则运算，运算，例如：T(0，1)=（1）已知T(1，-1)= -2，T(4，2)=1求a，b的值；若关于m的不等式组恰好有3个整数解，求实数p的取值范围；（2）若T(x，y)= T(y，x)对于任意实数x，y都成立，（这里T(x，y)和T(y，x)均有意义），则a，b应满足怎样的关系式？4. 进位数是一种记数方式，可以用
11、有限的数字符号代表所有的数值，使用数字符号的数目称为基数，基数为n，即可称n进制。现在最常用的是十进制，通常使用10个阿拉伯数字09进行记数，特点是逢十进一，对于任意一个用n()进制表示的数，通常使用n个阿拉伯数字进行记数，特点是逢n进一，我们可以通过以下方式把它转化为十进制：例如：五进制数，记作，七进制数，记作。（1）请将以下两个数转化为十进制：=_，=_（2）若一个正数可以用七进制表示为，也可以用五进制表示为，请求出这个数并用十进制表示5. 进位计数制是利用固定的数字符号和统一的规则来计数的方法，简称进制，对于任何一种进制X进制，就表示某一位置上的书运算时逢X进一位，如十进制数，记作：七进
12、制数各进制之间可以进行转化，如：七进制转化成进制，只要将七进制的每个数字，依次乘以7的正整数次幂，然后求和，就可得到与它相等的十进制数，例如：将十进制数化为其相等的七进位制数，可用7去除，把每一位数字的余数从低位到高位排序即可，如： （1）根据以上信息进行进制转化：将七进制数转化成十进制数： 将十进制数转化成2进制数： （2）已知x+y=6（x，y为正整数）是否存在由一个十进制两位数，使得该数转化成四进制数后是一个各数位上的数字全都为a的三位数，若存在，请求出这个十进制两位数，若不存在，请说明理由。6. 如果一个自然数能表示为两个自然数的平方差，那么称这个自然数为智慧数，例如：，16就是一个智
13、慧数，小明和小王对自然数中的智慧数进行了如下的探索：小明的方法是一个一个找出来的：，小王认为小明的方法太麻烦，他想到:设k是自然数，由于所以，自然数中所有奇数都是智慧数问题：(1) 根据上述方法，自然数中第12个智慧数是_(2) 他们发现0，4，8是智慧数，由此猜测4k(且k为正整数)都是智慧数，请你参考小王的办法证明4k（且k为正整数)都是智慧数(3) 他们还发现2，6，10都不是智慧数，由此猜测4k+2(k为自然数)都不是智慧数，请利用所学的知识判断26是否是智慧数，并说明理由7. 对于实数x，y我们定义一种新运算（其中a，b均为非零常数），等式右边是通常的四则运算，由这种运算得到的数我们称之为线性数，记为，其中x，y叫做线性数的一个数对若实数x，y都取正整数，我们称这样的线性数为正格线性数，这时的x，y叫做正格线性数的正格数对(1) 若，则_，_；(2) 已知，；若正格线性数，求满足的正格数对有多少个；若正格线性数，满足这样的正格数对有多少个；在这些正格数对中，有满足问题的数对吗，若有，请找出；若没有，请说明理由8. 连续整数之间有许多神奇的关系，如：32+42
