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1、几何建模,主讲：杨会君,几何建模：将解析几何的方法用于数学建模过程的某一个或几个环节。,不同应用领域，使用几何模型的角度、深度和知识点不同，所以很难将几何建模进行分类。下面根据自己的理解做个粗糙的分类，仅供参考： 1.利用几何形状建立几何模型进行求解和优化(，椅子在不平地面上放置问题，血管优化问题) 。 2. 物体的几何变换，包括三维和二维(2008年A题) 3.借助几何模型求解（消费者满意度） 4.物体的几何形状定义与描述。,1.几何建模示例3,椅子能在不平的地面上放稳吗？,问题分析,模型假设,通常 三只脚着地,放稳 四只脚着地,四条腿一样长，椅脚与地面点接触，四脚连线呈正方形;,地面高度连
2、续变化，可视为数学上的连续曲面;,地面相对平坦，使椅子在任意位置至少三只脚同时着地。,模型构成,用数学语言把椅子位置和四只脚着地的关系表示出来,椅子位置,利用正方形(椅脚连线)的对称性,用(对角线与x轴的夹角)表示椅子位置,四只脚着地,距离是的函数,四个距离(四只脚),A,C 两脚与地面距离之和 f(),B,D 两脚与地面距离之和 g(),两个距离,椅脚与地面距离为零,正方形ABCD 绕O点旋转,用数学语言把椅子位置和四只脚着地的关系表示出来,f() , g()是连续函数,对任意, f(), g()至少一个为0,数学问题,已知： f() , g()是连续函数 ; 对任意， f() g()=0
3、; 且 g(0)=0， f(0) 0. 证明：存在0，使f(0) = g(0) = 0.,模型构成,地面为连续曲面,椅子在任意位置 至少三只脚着地,模型求解,给出一种简单、粗造的证明方法,将椅子旋转900，对角线AC和BD互换。 由g(0)=0， f(0) 0 ，知f(/2)=0 , g(/2)0. 令h()= f()g(), 则h(0)0和h(/2)0. 由 f, g的连续性知 h为连续函数, 据连续函数的基本性质, 必存在0 , 使h(0)=0, 即f(0) = g(0) . 因为f() g()=0, 所以f(0) = g(0) = 0.,评注和思考,建模的关键 ,假设条件的本质与非本质,
4、考察四脚呈长方形的椅子,和 f(), g()的确定,有的只需2D图形。特点是：描述简单、传递快速、节省空间，但没有真实感。,实际设计构形时，思维中先有真实的几何形状/实物模型，再用视图形式表达设计结果。,4.物体的几何形状定义与描述,几何建模以计算机能够表示的方式，对实体进行准确定义（即以一定的数据结构形式对所定义的几何实体加以描述），在计算机内部构造出实体的几何模型。,几何模型,整数维模型,分数维模型,正则体模型,非正则体模型,以欧氏 几何方程 表示的模型, 用分形几何方法描述对象几何特性，以过程式模拟对象的模型,表示形体的两大模型,4.1 几何模型基础 一、表示形体的坐标系,造型坐标系MC
5、（Modeling Coordinate System） 右手直角坐标系。对于定义的每个形体或图素都有各自的坐标原点和长度单位，这样可以方便形体和图素的定义。是局部坐标系。,坐标系,造型坐标系,用户坐标系,观察坐标系,规范设备坐标系,设备坐标系,直角坐标系,仿射坐标系,圆柱坐标系,球坐标系,极坐标系,二、几何元素的定义 1. 点,点是0维几何元素, 如:端点、交点、切点和孤立点等。 1）控制点：用来确定曲线和曲面的位置与形状，而相应曲线和曲面不一定经过的点。,2）型值点：用来确定曲线和曲面的位置与形状，而相应曲线和曲面一定经过的点。 3）插值点：为了提供曲线和曲面的输出精度，在型值点之间插入一
6、系列的点。,边是1维几何元素, 由端点定界，是邻面交界线，具有方向。,2. 边,是2维几何元素, 是形体上一个有限、非零的区域，由一个外环和若干个内环界定其范围。 面有方向，用其外法矢方向作为该面的正向。,3. 面 4. 环,是有序、有向边组成的面的封闭边界。环中的边不能相交，相邻两条边共享一个端点。确定面的外界的环称为外环，逆时针方向排序。而把确定面中内孔边界的环称为内环，顺时针方向排序。 左侧总在面内，右侧总在面外。,3 维几何元素，由封闭表面围成的空间。其边界是有限面的交集。,5. 实体的定义,内点 边界点 取内点运算 i 取闭包运算 C 正则运算 r,几何体需要用正则集合的概念表示。
7、正则集合的有关术语：,为什么需要正则集合运算？ 集合运算式构造复杂物体的有效方法 普通的集合运算会产生无效物体,三、正则集合运算,正则集合运算的定义,正则并（*） 正则交（*） 正则差（*）,四、特征表示,用一组特征参数表示一组类似的物体 特征包括形状特征、材料特征等 适用于工业上标准件的表示,4.2 图形数据结构,计算机所描述的形体包含两种信息（图形信 息、非图形信息），如何将它们合理地组织起来？ 这就是数据结构问题。,一、几何模型数据结构,目的：节省存储空间，提高存储和处理速度， 所以要有效组织。,基本要求：(1)可描述几何/拓扑/特性信息 (2)便于动态操作(增删、修改等) (3)时空要
8、求 常用的有数组、链表、树、翼边结构等,1.单链三表结构,单链用于表达模型几何元素（面、边、点） 单向连接关系，是单向查询。,双链用于表达模型几何元素（体、面、点） 双向连接关系，可双向查询。,2. 双链三表结构,记录以边为核心的一组邻接信息，描述一条 边与其相邻的两个顶点、四条邻边、两个邻面拓 扑信息，方便查找各元素间的邻接关系。如遍历 面上所有边、所有面。,3. 翼边数据结构,存储：边与顶点、边与面、边与边邻接关系。,运算：边与边求交、边与面求交、删除旧边、 增加新边、生成新面环等。,4.3 形体的数据模型 一、线框模型,由一组顶点和边（直边、曲边）构成表示 对象的三维几何模型。 线框模型
9、就是使用该物体的棱边来表示其形 体特征。,特征：,数据结构：两表结构 顶点表：几何信息（顶点号Vi（xi,yi,zi） 边表：拓扑信息（边号Ei 端点号VjVJ+1）,四面体的线模型数据结构表,二、表面模型,由一组顶点、边和面构成的三维几何模型。 是在线框模型基础上增加面的信息，相当于 在灯笼骨架外蒙上一张外皮。,数据结构：三表结构 顶点表边表 面表 Vi(xi,yi,zi) Ei (Vj,VJ+1) Fi(Ej,EK,El,En),拓扑信息,几何信息,特征：,六面体的面模型数据结构表,构造方法,1）整体构造法（模线法）,使用张量积的参数样条曲面/Coons曲面/Bezier曲面/ B-Spl
10、ine曲面等构造方法。,张量积曲面输入n m个型值点，分布在规则的矩形参数域上。,例如：（1）机身主体和座舱罩两部分，采用两 张张量积曲面构成。,（2）形状复杂的曲面：,方法： （1）定义脊椎线 （2）截面上定义轮廓线（截面在局部 坐标系中反映真实轮廓外形）,轮廓线,脊椎线,2）离散构造法,该方法构造的物体表面基本上是由平面、圆柱面、球面和过渡圆角组成。从线框模型着手，先交互绘制各个面的轮廓线，再在封闭的内外轮廓线间填补平面或规则曲面。,平面P1、P2、P3的骨架均为直线段,柱面C1、C2、C3的骨架为圆弧、 直线段,球面S的骨架为三圆弧段,若遇到线框骨架是由解析曲线（圆锥曲线） 与自由曲线共
11、同构成的，则蒙上曲面将变得困难。,方法：用三次参数样条分段逼近各条边界曲线， 后用统一的方法构造参数曲面片。,特点：, 具有更多的几何信息、拓扑信息，故能比较 完整地定义三维立体的表面，且表面更复杂。, 可实现自动消隐线、生成明暗图、计算表面 积，产生表面数控加工走刀轨迹、生成有限 之分析中的网格划分。,不足：描述的仅是实体外表面，无法表示其内 部结构，难以确定物体的立体属性。 例如：是一个实心物体？还是一个壳体？所以给 物体的质量特性分析带来问题。,三、实体模型,由一组顶点、边、表面和体积构成的三维几 何模型。是对对象的边界和内部均作定义的模型。,其表面完全封闭、且有向。（面模型的面可 以不
12、封闭，面的上、下表面都可以有效）,实体模型构造的基本思想： 将形状规则、简单的几何体，通过集合运 算组成所需要的复杂体。,4.4 实体的表示 一、基本体素引用法 （Pure Primitive Instancing）,基本体素：可通过函数或参数描述的形体方式： 比例变换引用 参数指定引用 缺点：难于构造复杂形体,二、空间位置枚举法 （ Spatial Occupancy Enumeration）,原理：用占有等分单位立方体的 情况表示形体。 占有形式： full， partial，empty,用三维数组CIJK表示物体，数组中的元素与单位小立方体一一对应 当CIjk = 1时，表示对应的小立方
13、体被物体占据 当CIjk = 0时，表示对应的小立方体没有被物体占据,缺点： 占用大量的存储空间，如1024*1024*1024 = 1G bits； 没有边界信息，不适于图形显示； 对物体进行几何变换困难，如非90度的旋转变换； 是物体的非精确表示； 唯一性不好，易改变拓扑关系。,优点： 可以表示任何物体；容易实现物体间的集合运算； 容易计算物体的整体性质，如体积等。,三、四叉树和八叉树表示法,空间位置枚举法的改进 逐步均分时遇全空或全满单元不再分 用层次式结构代替规则排列的单元阵列 数据量小,八叉树的根节点对应整个物体空间； 如果它完全被物体占据，将该节点标记为F，算法结束； 如果它内部没
14、有物体，将该节点标记为E，算法结束； 如果它被物体部分占据，将该节点标记为P，并将它分 割成8个子立方体，对每一个子立方体进行同样的处理。,优点： 可以表示任何物体 容易实现物体建的集合运算 容易计算物体的整体性质，如体积等 较空间位置枚举表示占用的存贮空间少,缺点： 没有边界信息，不适于图形显示 对物体进行几何变换困难 是物体的非精确表示,四、单元分解法 Cellular Decomposition,优点： 表示简单 容易实现几何变换 基本体素可以按需选择，表示范围较广 可以精确表示物体 缺点： 分解方法不唯一，故表示方法不唯一 物体的有效性难以保证,三种空间分割方法的比较： 空间位置枚举表
15、示同样大小立方体粘合 在一起表示物体 八叉树表示 不同大小的立方体粘合在一 起表示物体 单元分解表示多种体素粘合在一起表示 物体,五、扫描表示法 Sweeping,将物体A沿着轨迹P推移得到物体B， 称B为sweep体。,两种基本类型： 平行扫描 旋转扫描,3）在旋转或平移时作线性或非线性比例变换。 4）旋转扫描时，旋转轴本身位置和方向作变化。,复杂情况： 1）某一区域沿一曲线移动，如一圆盘的中心沿一指定的曲线移动，移动时其法线方向始终与曲线的切线方向一致。 2）某一区域绕一轴旋转的同时作平行于旋转轴方向的平移，或垂直于旋转轴方向的平移。,平移sweep将一个二维区域沿着一个矢量 方向推移,旋转sweep将一个二维区域绕旋转轴旋转 一周,广义sweep 任意物体沿着任意轨迹推移 推移过程中物体可以变形,优点： 表示简单、直观 适合做图形输入手段,缺点 作几何变换困难 对几何运算不封闭,六、结构实体几何法 Constructive Solid Geometry-CSG,将物体表示成一棵二叉树，称为CSG树,U,-,U,-,T1,T2,T3,T4,叶节点基本体素，如立方体、圆柱体等 中间节点正则集合运算,优点： 表示简单、直观 是物体的构造方法，可用作图形输入手段 容易计算物体的整体性质 物体的有效性自动得到保证,缺点： 表示不唯一 不能直接用于显示
