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1、为了适应公司新战略的发展，保障停车场安保新项目的正常、顺利开展，特制定安保从业人员的业务技能及个人素质的培训计划实对称矩阵合同(共4篇)第九章二次型习题1证明，一个非奇异的对称矩阵必与它的逆矩阵合同2对下列每一矩阵A，分别求一可逆矩阵P，使是对角形式：(i)(ii)(iii)3写出二次型型，使后者只含变量的平方项的矩阵，并将这个二次型化为一个与它等价的二次4令A是数域F上一个n阶斜对称矩阵，即满足条件(i)A必与如下形式的一个矩阵合同：(ii)斜对称矩阵的秩一定是偶数(iii)F上两个n阶斜对称矩阵合同的充要条件是它们有相同的秩复数域和实数域上的二次型1设S是复数域上一个n阶对称矩阵证明，存在
2、复数域上一个矩阵A，使得2证明，任何一个n阶可逆复对称矩阵必定合同于以下形式的矩阵之一：3证明，任何一个n阶可逆实对称矩阵必与以下形式的矩阵之一合同：4证明，一个实二次型可以分解成两个实系数n元一次齐次多项式的乘积的充分且必要条件是：或者q的秩等于1，或者q的秩等于2并且符号差等于05令证明A与B在实数域上合同，并且求一可逆实矩阵P，使得6确定实二次型的秩和符号差7确定实二次型的秩和符号差8证明，实二次型的秩和符号差与无关正定二次型1判断下列实二次型是不是正定的:;2取什么值时,实二次型，是正定的.3设A是一个实对称矩阵.如果以A为矩阵的实二次型是正定的,那么就说A是正定的.证明,对于任意实对
3、称矩阵A,总存在足够大的实数,使得4证明,阶实对称矩阵,阶子式是正定的.是正定的,必要且只要对于任意5设是一个阶正定实对称矩阵.证明当且仅当A是对角形矩阵时,等号成立.提示:对作数学归纳法,利用定理的证明及习题4.6设是任意阶实矩阵.证明(阿达马不等式).提示:当时,先证明是正定对称矩阵,再利用习题5.主轴问题1对于下列每一矩阵A,求一个正交矩阵U,使得具有对角形式:;2设A是一个正定对称矩阵.证明:存在一个正定对称矩阵S使得3设A是一个阶可逆实矩阵.证明,存在一个正定对称矩阵S和一个正交矩阵U,使得提示:是正定对称矩阵.于是由习题2存在正定矩阵S,使得=.再看一下U应该怎样取4设使得是一组两
4、两可交换的阶实对称矩阵.证明,存在一个阶正交矩阵U,都是对角形矩阵.提示:对作数学归纳法,并且参考,习题9.如何矩阵的等价,相似,合同？(1)A与B等价:A可以经一系列初等变换得B?PAQ?B?r(A)?r(B)(A,B同型,P,Q可逆.)判断等价只需同型且秩相等.(2)A与B相似:P?1AP?B,P可逆.相似有四个必要条件:秩相同,特征值相同,特征多项式相同,行列式相同，如何判断两个一般的矩阵是否相似，考研大纲并不要求，但是如果A,B相似于相同的对角阵，则由相似关系有传递性知A,B相似.(3)A与B合同(仅限于对称矩阵):CTAC?B(C可逆)?A与B的正负惯性指数相同.判断合同前提都是实对
5、称矩阵，然后判断正负特征值的个数是否完全相同，也即正负惯性指数相同即可.注:A,B合同?A,B等价?10?11?A,B相似A,B等价,例A?,B?等价但不相似0101?在A,B实对称的前提下,A,B相似?A,B合同.【例1】判定下列矩阵哪些等价，哪些相似,哪些合同?111?110?100?000?A?000?,B?001?,C?000?,D?011?.?000?000?000?011?【解】先看等价：r(A)?1,r(B)?2,r(C)?1,r(D)?1，故A,C,D等价.再看相似：r(A)?r(C)?r(D)?1,r(B)?2,排除B，考虑A,C,D，A,C的特征值为1,0,0，D的特征值为
6、2,0,0，从而排除D仅仅考虑A,C，A的特征值为1,0,0，且二重特征值0对应两个线性无关的特征向量，?100?A相似于对角阵C?000?，从而A,C相似.?000?最后看合同：合同仅限对称阵，仅仅考虑C,D，C的特征值为1,0,0，D的特征值为2,0,0，C的正惯性指数为1,负惯性指数为0，D的正惯性指数也为1,负惯性指数为0，C,D合同.?111?300?【例2】判断A?111?,B?000?是否等价，相似,合同,?111?000?【解】r(A)?r(B)?1，二者等价；?300?A为对称阵一定相似于对角阵B?000?；从而A一定合同于对角阵B.?000?矩阵的合同，等价与相似的联系与区
7、别XX09113李娟娟一、基本概念与性质等价：1、概念。若矩阵A可以经过有限次初等变换化为B，则称矩阵A与B等价，记为A?B。2、矩阵等价的充要条件：A?B?同型，且人r(A)=r(B)存在可逆矩阵P和Q，使得PAQ=B成立3、向量组等价，两向量组等价是指两向量组可相互表出，有此可知：两向量组的秩相同，但两向量组各自的线性相关性却不相同。合同：1、概念，两个n阶方阵A,B，若存在可逆矩阵P，使得A?BPTAP?B成立，则称A,B合同，记作A?B该过程成为合同变换。2、矩阵合同的充要条件：矩阵A,B均为实对称矩阵，则A?B?二次型xTAx与xTBx有相等的E负惯性指数，即有相同的标准型。相似1、
8、概念：n阶方阵A,B，若存在一个可逆矩阵P使得B?P?1AP成立，则称矩阵A,B相似，记为AB。2、矩阵相似的性质：ATBT,AkBk,A?1B?1(前提，A,B均可逆)|?E-A|?|?E?B|即A,B有相同的特征值AB?r(A)=r(B)tr(A)?tr(B)即A,B的逆相等|A|=|B|3、矩阵相似的充分条件及充要条件：充分条件：矩阵A,B有相同的不变因子或行列式因子。充要条件：AB?(?E?A)?(?E?B)二、矩阵相等、合同、相似的关系、矩阵相等与向量组等价的关系：设矩阵A?(?1,?2,?,?n)，B?(?1,?2,?,?m)1、若向量组是向量组的极大线性无关组,则有m?n，即有两
9、向量等价，而两向量组线性相关性却不同，前者一定线性无关，而后者未必线性无关。而矩阵B与A亦不同型，虽然r(A)?r(B)但不能得出A?B。2、若m=n，两向量组?则有矩阵A,B同型且r(A)?r(B)?AB,A?B,A?Br(A)?r(B)?A?B。3、若A?B?r(A)?r(B)?两向量组秩相同，?两向量组等价，即有A?B?(?1,?2,?,?n)?(?1,?2,?,?n)综上所述：矩阵等价与向量等价不可互推。、矩阵合同。相似，等价的关系。1、联系：矩阵的合同、相似、等价三种关系都具有等价关系，因为三者均具有自反性、对称型和传递性。2、合同、相似、等价之间的递推关系相似?等价：AB?A,B同
10、型且r(A)?r(B)?A?B合同?等价：A?B?A,B同型且r(A)?r(B)?A?B相似与合同之间一般情况不能递推，但有一下附加条件时可以、若A,B均为实对称矩阵，则有A,B一定可以合同于对角矩阵当AB时，|?E?A|?|?E?B|?二次型f(x)?XTAX与g(x)?XTBX有相同的标准型，即二者有相同的正负惯性指数?A?B?A?B即有AB?A?B?A?B、存在一个正交矩阵P，即PTP?E使得PTAP?B即A?B则有?1B?PTAP?PAP?AB即有A?B?AB、若A,B实对称，且存在一个正交矩阵P，则AB时有AB?A?B?A?B、AB?r(A)?r(B)、A?B?r(A)?r(B)、A
11、?B?r(A)?r(B)下面讨论r(A)?r(B)时AB,A?B,A?B成立的条件。由、的论述可知存在正交矩阵P时，有PT?P?1，则r(PTAP)?r(A)记B?PTAP则r(A)?r(B)此时A?B?AB?A?B即P为正交矩阵时，由r(A)?r(B)?AB,A?B,A?B1、矩阵等价：同型矩阵而言一般与初等变换有关秩是矩阵等价的不变量，同次，两同型矩阵相似的本质是秩相等2、矩阵相似：针对方阵而言秩相等是必要条件本质是二者有相等的不变因子3、矩阵合同：针对方阵而言，一般是对称矩阵秩相等是必需条件本质是秩相等且存在惯性指数相等，即标准型同由以上知，秩是矩阵等价的不变量；不变因子是矩阵相似的不变
12、量；特征值是可对角化矩阵相似的不变量，存在负惯性指数是对称矩阵合同的不变量，等价关于最弱、合同与相似是特殊的等价关系。由相似和合同一定可以推出等价，而反之不成立。相似与合同不可互推，需要一定的条件。而且相似不一定会都与对角阵相似，不能与对角阵可看作同意线性变换在不同基下的矩阵矩阵的合同变换摘要：矩阵的合同变换是高等代数矩阵理论中，基本交换。在高等代数里，我们仅讨论简单而直接的变换，而矩阵的合同变换与矩阵相似变换，二次型等有着诸多相同性质和联系。关键词：矩阵秩合同对角化定义1：如果矩阵A可以经过一系列初等变换变成B，则积A与B等价，记为A?BB定义2：设A，B都是数域F上的n阶方阵，如果存在数域
13、F上的n阶段可逆矩阵P使得B?P?1Ap，则称A和B相似A?使得PTAP?B那么就说，在数域F上B与A合同。以上三个定义，都具有自反性、传逆性、对称性、性。定理1：合同变换与相似变换都是等价变换证明：仅证合同变换，相似变换完全相似因为P可逆，所以P存在一系列初等矩阵的乘积，即P?Q1Q2?Qm。TT此时P7?QmTQn?Q1边为一系列初等矩阵的乘积?1TTT若B?PTAP?QmQn?1?Q1AQ1?Qm则B由A经过一系列初等变换得到。所以定义3：设A，B都是数域F上的n阶矩阵，如果存在数域F上的一个n阶可逆矩阵P，A?B，从而知合同变换是等价变换。定理2：合同变换与相似变换，不改变矩阵的秩证明：由知，合同变换与相似变换都是等价变换，所以不改变秩定理3：相似矩阵有相同特征多项式证明：共A?BB?P?1APdel|?I?B|?det|?I?PAP|?1又因为?I为对称矩阵所以det|?I?P?1AP|?|P?1|?I?A|P|?|P?1|?|I?A|P|?|?I?A|注合同不一定有相同特征多项式定理4：如果A与B都是n阶实对称矩阵，且有相同特征根，则A与B相似且合同论：设A，B为特征根均为?1,?2?n，因为A与B实对称矩阵，所以则在n阶正矩阵，Q,P使得QAQ?1?2PBP?1?n?1?1从而有Q?1AQ?P?1BPPQAQP1?1?B由Q?1Q?EPP?1?
