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1、1.4 习题与上机题解答 1. 用单位脉冲序列(n)及其加权和表示题1图所示的序列。,题1图,解： x(n)=(n+4)+2(n+2)(n+1)+2(n)+(n1) +2(n2)+4(n3)+0.5(n4)+2(n6) 2 给定信号： 2n+5 4n1 6 0n4 0 其它 (1) 画出x(n)序列的波形， 标上各序列值； (2) 试用延迟的单位脉冲序列及其加权和表示x(n)序列；,(x(n)=,（3） 令x1(n)=2x(n2)， 试画出x1(n)波形； （4） 令x2(n)=2x(n+2)， 试画出x2(n)波形； （5） 令x3(n)=x(2n)， 试画出x3(n)波形。 解： (1)
2、x(n)序列的波形如题2解图（一）所示。 (2) x(n)=3(n+4)(n+3)+(n+2)+3(n+1)+6(n) +6(n1)+6(n2)+6(n3)+6(n4),（3） x1(n)的波形是x(n)的波形右移2位， 再乘以2， 画出图形如题2解图（二）所示。 (4) x2(n)的波形是x(n)的波形左移2位， 再乘以2， 画出图形如题2解图（三）所示。 (5) 画x3(n)时， 先画x(n)的波形(即将x(n)的波形以纵轴为中心翻转180)， 然后再右移2位， x3(n)波形如题2解图（四）所示。,题2解图（一）,题2解图（二）,题2解图（三）,题2解图（四）,3 判断下面的序列是否是周
3、期的; 若是周期的， 确定其周期。 ,(1),(2),解： （1） 因为= , 所以 , 这是有理数， 因此是周期序列， 周期T=14。 （2） 因为= , 所以 =16, 这是无理数， 因此是非周期序列。,4 对题1图给出的x(n)要求： (1) 画出x(n)的波形； (2) 计算xe(n)= x(n)+x(n)， 并画出xe(n)波形； (3) 计算xo(n)= x(n)x(n)， 并画出xo(n)波形; (4) 令x1(n)=xe(n)+xo(n), 将x1(n)与x(n)进行比较， 你能得到什么结论？,解：（1） x(n)的波形如题4解图（一）所示。 (2) 将x(n)与x(n)的波形
4、对应相加， 再除以2， 得到xe(n)。 毫无疑问， 这是一个偶对称序列。 xe(n)的波形如题4解图（二）所示。 (3) 画出xo(n)的波形如题4解图（三）所示。,题4解图（一）,题4解图（二）,题4解图（三）,(4) 很容易证明： x(n)=x1(n)=xe(n)+xo(n) 上面等式说明实序列可以分解成偶对称序列和奇对称序列。 偶对称序列可以用题中(2)的公式计算， 奇对称序列可以用题中(3)的公式计算。 5 设系统分别用下面的差分方程描述， x(n)与y(n)分别表示系统输入和输出， 判断系统是否是线性非时变的。 （1）y(n)=x(n)+2x(n1)+3x(n2) （2）y(n)=
5、2x(n)+3 （3）y(n)=x(nn0) n0为整常数 （4）y(n)=x(n),（5）y(n)=x2(n) （6）y(n)=x(n2) （7）y(n)= （8）y(n)=x(n)sin(n) 解： （1） 令输入为 x(nn0) 输出为 y(n)=x(nn0)+2x(nn01)+3x(nn02) y(nn0)=x(nn0)+2x(nn01)+3(nn02) =y(n),故该系统是非时变系统。 因为 y(n)=Tax1(n)+bx2(n) =ax1(n)+bx2(n)+2ax1(n1)+bx2(n1) +3ax1(n2)+bx2(n2) Tax1(n)=ax1(n)+2ax1(n1)+3a
6、x1(n2) Tbx2(n)=bx2(n)+2bx2(n1)+3bx2(n2) 所以 Tax1(n)+bx2(n)=aTx1(n)+bTx2(n) 故该系统是线性系统。,（2） 令输入为 x(nn0) 输出为 y(n)=2x(nn0)+3 y(nn0)=2x(nn0)+3=y(n) 故该系统是非时变的。 由于 Tax1(n)+bx2(n)=2ax1(n)+2bx2(n)+3 Tax1(n)=2ax1(n)+3 Tbx2(n)=2bx2(n)+3 Tax1(n)+bx2(n)aTx1(n)+bTx2(n) 故该系统是非线性系统。,(3) 这是一个延时器， 延时器是线性非时变系统， 下面证明。 令
7、输入为 x(nn1) 输出为 y(n)=x(nn1n0) y(nn1)=x(nn1n0)=y(n) 故延时器是非时变系统。 由于 Tax1(n)+bx2(n)=ax1(nn0)+bx2(nn0) =aTx1(n)+bTx2(n) 故延时器是线性系统。,(4) y(n)=x(n) 令输入为 x(nn0) 输出为 y(n)=x(n+n0) y(nn0)=x(n+n0)=y(n) 因此系统是线性系统。 由于 Tax1(n)+bx2(n)=ax1(n)+bx2(n) =aTx1(n)+bTx2(n) 因此系统是非时变系统。,（5） y(n)=x2(n) 令输入为 x(nn0) 输出为 y(n)=x2(
8、nn0) y(nn0)=x2(nn0)=y(n) 故系统是非时变系统。 由于 Tax1(n)+bx2(n)=ax1(n)+bx2(n)2 aTx1(n)+bTx2(n) =ax21(n)+bx22(n) 因此系统是非线性系统。,（6） y(n)=x(n2) 令输入为 x(nn0) 输出为 y(n)=x(nn0)2) y(nn0)=x(nn0)2)=y(n) 故系统是非时变系统。 由于 Tax1(n)+bx2(n)=ax1(n2)+bx2(n2) =aTx1(n)+bTx2(n) 故系统是线性系统。,（7） y(n)= x(m) 令输入为 x(nn0) 输出为 y(n)= =0DD)x(m-n0
9、) y(nn0)= x(m)y(n) 故系统是时变系统。 由于 Tax1(n)+bx2(n)= ax1(m)+bx2(m) =aTx1(n)+bTx2(n) 故系统是线性系统。,（8） y(n)=x(n) sin(n) 令输入为 x(nn0) 输出为 y(n)=x(nn0) sin(n) y(nn0)=x(nn0) sin(nn0)y(n) 故系统不是非时变系统。 由于 Tax1(n)+bx2(n)=ax1(n) sin(n)+bx2(n) sin(n) =aTx1(n)+bTx2(n) 故系统是线性系统。,6 给定下述系统的差分方程， 试判定系统是否是因果稳定系统， 并说明理由。 （1） y
10、(n)= x(nk) （2） y(n)=x(n)+x(n+1) （3） y(n)= x(k) （4） y(n)=x(nn0) （5） y(n)=ex(n),解：（1）只要N1， 该系统就是因果系统， 因为输出只与n时刻的和n时刻以前的输入有关。 如果|x(n)|M， 则|y(n)|M， 因此系统是稳定系统。 （2） 该系统是非因果系统， 因为n时间的输出还和n时间以后（n+1）时间）的输入有关。如果|x(n)|M, 则|y(n)|x(n)|+|x(n+1)|2M, 因此系统是稳定系统。 （3） 如果|x(n)|M， 则|y(n)| |x(k)|2n0+1|M， 因此系统是稳定的； 假设n00，
11、 系统是非因果的， 因为输出还和x(n)的将来值有关。,（4）假设n00， 系统是因果系统， 因为n时刻输出只和n时刻以后的输入有关。 如果|x(n)|M, 则|y(n)|M， 因此系统是稳定的。 （5） 系统是因果系统， 因为系统的输出不取决于x(n)的未来值。 如果|x(n)|M, 则|y(n)|=|ex(n)|e|x(n)|eM， 因此系统是稳定的。 7 设线性时不变系统的单位脉冲响应h(n)和输入序列x(n)如题7图所示， 要求画出y(n)输出的波形。 解： 解法（一）采用列表法。 y(n)=x(n)*h(n)= x(m)h(nm),题7图,y(n)=2,1,0.5, 2, 1, 4.
12、5, 2, 1; n=2, 1, 0, 1, 2, 3, 4, 5,解法（二） 采用解析法。 按照题7图写出x(n)和h(n)的表达式分别为 x(n)=(n+2)+(n1)+2(n3) h(n)=2(n)+(n1)+ (n2) 由于 x(n)*(n)=x(n) x(n)*A(nk)=Ax(nk) 故,y(n)=x(n)*h(n) =x(n)*2(n)+(n1)+ (n2) =2x(n)+x(n1)+ x(n2) 将x(n)的表示式代入上式， 得到 y(n)=2(n+2)(n+1)0.5(n)+2(n1)+(n2) +4.5(n3)+2(n4)+(n5),8. 设线性时不变系统的单位脉冲响应h(
13、n)和输入x(n)分别有以下三种情况， 分别求出输出y(n)。 （1） h(n)=R4(n), x(n)=R5(n) （2） h(n)=2R4(n), x(n)=(n)(n2) （3） h(n)=0.5nu(n), xn=R5(n) 解： （1） y(n)=x(n)*h(n)= R4(m)R5(nm) 先确定求和域。 由R4(m)和R5(nm)确定y（n）对于m的 非零区间如下: 0m3 4mn,根据非零区间， 将n分成四种情况求解： n7时， y(n)=0,最后结果为 0 n7 n+1 0n3 8n 4n7 y(n)的波形如题8解图（一）所示。 (2) y(n) =2R4(n)*(n)(n2
14、)=2R4(n)2R4(n2) =2(n)+(n1)(n+4)(n+5) y(n)的波形如题8解图（二）所示,y(n)=,题8解图（一）,题8解图（二）,(3) y(n)=x(n)*h(n) = R5(m)0.5nmu(nm) =0.5n R5(m)0.5mu(nm) y（n）对于m 的非零区间为 0m4, mn n0时， y(n)=0 0n4时，,=(10.5n1)0.5n=20.5n, n5时,最后写成统一表达式： y(n)=(20.5n)R5(n)+310.5nu(n5),9 证明线性卷积服从交换律、 结合律和分配律， 即证明下面等式成立： （1） x(n)*h(n)=h(n)*x(n) （2） x(n)*(h1(n)*h2(n)=(x(n)*h1(n)*h2(n) （3） x(n)*(h1(n)+h2(n)=x(n)*h1(n)+x(n)*h2(n) 证明： （1） 因为 令m=nm, 则,(2) 利用上面已证明的结果， 得到,交换求和号的次序， 得到,10 设系统的单位脉冲响应h(n)=(3/8)0.5nu(n)， 系统的输入x(n)是一些观测数据， 设x(n)=x0, x1, x2, , xk, ， 试利用递推法求系统
