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1、 勤奋，博学，笃志，感恩！勤奋，博学，笃志，感恩！1空间向量与立体几何知识点归纳总结空间向量与立体几何知识点归纳总结一知识要点。 1. 空间向量的概念：在空间，我们把具有大小和方向的量叫做向量。空间向量的概念：在空间，我们把具有大小和方向的量叫做向量。 注：（1）向量一般用有向线段表示奎屯王新敞新疆同向等长的有向线段表示同一或相等的向量。（2）向量具有平移不变性 2. 空间向量的运算。空间向量的运算。 定义：与平面向量运算一样，空间向量的加法、减法与数乘运算如下（如图） 。;OBOAABab BAOAOBab ()OPaR 运算律：加法交换律：abba加法结合律：)()(cbacba数乘分配律
2、：baba )(运算法则：三角形法则、平行四边形法则、平行六面体法则 3. 共线向量共线向量。 （1）如果表示空间向量的有向线段所在的直线平行或重合，那么这些向量也叫做共线向量或平行向量，平行于，记作。abba/（2）共线向量定理：空间任意两个向量、（） ，/存在实数 ，使abb0ab。ab（3）三点共线：A、B、C 三点共线ACAB) 1(yxOByOAxOC其中（4）与共线的单位向量为aaa4. 共面向量 （1）定义：一般地，能平移到同一平面内的向量叫做共面向量。 说明：空间任意的两向量都是共面的。勤奋，博学，笃志，感恩！勤奋，博学，笃志，感恩！2（2）共面向量定理：如果两个向量不共线，与
3、向量共面的条件是存在实数, a bp, a b使。, x ypxayb（3）四点共面：若 A、B、C、P 四点共面ACyABxAP) 1(zyxOCzOByOAxOP其中5. 空间向量基本定理：如果三个向量不共面，那么对空间任一向量，存在一个, ,a b cp唯一的有序实数组，使。, ,x y zpxaybzc若三向量不共面，我们把叫做空间的一个基底，叫做基向量，空, ,a b c , , a b c, ,a b c间任意三个不共面的向量都可以构成空间的一个基底。推论：设是不共面的四点，则对空间任一点，都存在唯一的三个有序实数, , ,O A B CP，使。, ,x y zOPxOAyOBzO
4、C 6. 空间向量的直角坐标系： （1）空间直角坐标系中的坐标：在空间直角坐标系中，对空间任一点，存在唯一的有序实数组，使OxyzA( , , )x y z，有序实数组叫作向量在空间直角坐标系中的坐zkyixiOA( , , )x y zAOxyz标，记作，叫横坐标，叫纵坐标，叫竖坐标。( , , )A x y zxyz注：点 A（x,y,z）关于 x 轴的的对称点为(x,-y,-z),关于 xoy 平面的对称点为(x,y,-z).即点 关于什么轴/平面对称，什么坐标不变，其余的分坐标均相反。在 y 轴上的点设为(0,y,0), 在平面 yOz 中的点设为(0,y,z) （2）若空间的一个基底
5、的三个基向量互相垂直，且长为 ，这个基底叫单位正交基底，用1表示。空间中任一向量=（x,y,z） , , i j k kzjyi xa勤奋，博学，笃志，感恩！勤奋，博学，笃志，感恩！3（3）空间向量的直角坐标运算律：若，则，123( ,)aa a a123( ,)bb b b112233(,)abab ab ab， 112233(,)abab ab ab123(,)()aaaaR，1 1223 3a baba ba b ， 112233/,()abab ab abR。1 1223 30ababa ba b若，则。111( ,)A x y z222(,)B xyz212121(,)ABxx yy
6、 zz 一个向量在直角坐标系中的坐标等于表示这个向量的有向线段的终点的坐标减去起点的坐 标。定比分点公式：若，则点 P 坐标为111( ,)A x y z222(,)B xyzPBAP。推导：设 P（x,y,z）则)1,1,1(212121 zzyyxx,显然，当 P 为 AB 中点时，),(),(22211, 1zzyyxxzzyyxx)2,2,2(212121zzyyxxP，三角形重心 P 坐标为),(),(,333222111zyxCzyxB（zy（A（xABC中123123123(,)333xxxyyyzzzPABC 的五心：内心 P：内切圆的圆心，角平分线的交点。（单位向量）)( A
7、CACABABAP外心 P：外接圆的圆心，中垂线的交点。PCPBPA垂心 P：高的交点：（移项，内积为 0，则垂直）PCPBPCPAPBPA重心 P：中线的交点，三等分点（中位线比）)(31ACABAP中心：正三角形的所有心的合一。勤奋，博学，笃志，感恩！勤奋，博学，笃志，感恩！4（4）模长公式：若，123(,)aa a a123( ,)bb b b则，222 123|aa aaaa 222 123|bb bbbb （5）夹角公式：。1 1223 3222222 123123cos| |aba ba ba ba babaaabbb ABC 中A 为锐角A 为钝角，钝角 0 ACAB0 ACAB
8、（6）两点间的距离公式：若，111( ,)A x y z222(,)B xyz则，2222 212121|()()()ABABxxyyzz 或 222 ,212121()()()A Bdxxyyzz7. 空间向量的数量积。（1）空间向量的夹角及其表示：已知两非零向量，在空间任取一点，作, a bO，则叫做向量与的夹角，记作；且规定,OAa OBb AOBab, a b，显然有；若，则称与互相垂0, a b,a bb a,2a b ab直，记作：。ab（2）向量的模：设，则有向线段的长度叫做向量的长度或模，记作：OAa OA a。|a（3）向量的数量积：已知向量，则叫做的数量积，, a b| |
9、 cos,aba b , a b记作，即。a ba b| | cos,aba b（4）空间向量数量积的性质：。|cos,a eaa e 0aba b2|aa a （5）空间向量数量积运算律：。（交换律） 。()()()aba baba bb a（分配律） 。()abca ba c 勤奋，博学，笃志，感恩！勤奋，博学，笃志，感恩！5不满足乘法结合率：)()(cbacba新课标高二数学同步测试新课标高二数学同步测试（21 第三章第三章 3.1）一、选择题： 1在平行六面体 ABCDA1B1C1D1中，M 为 AC 与 BD 的交点，若BA1=a，11DA=b，AA1=c.则下列向量中与MB1相等的
10、向量是（ ）Acba21 21Bcba21 21Ccba21 21Dcba21 212在下列条件中，使 M 与 A、B、C 一定共面的是（ ）AOCOBOAOM 2 BOCOBOAOM21 31 51 CMCMBMA0 DOCOBOAOM03已知平行六面体ABCDABC D中，AB=4，AD=3，5AA ，090BAD，060BAADAA ，则AC等于（ ）A85 B85 C5 2 D504与向量(1, 3,2)a 平行的一个向量的坐标是（ ）A （31，1，1） B （1，3，2）C （21，23，1） D （2，3，22）5已知 A（1，2，6） ，B（1，2，6）O 为坐标原点，则向量,
11、OAOB 与的夹角是（ ）A0 B2C D3 26已知空间四边形 ABCD 中，cOC（bOB（aOA，点 M 在 OA 上，且OM=2MA，N 为 BC 中点，则MN=（ ）图勤奋，博学，笃志，感恩！勤奋，博学，笃志，感恩！6Acba21 32 21 Bcba21 21 32Ccba21 21 21 Dcba21 32 32 7设 A、B、C、D 是空间不共面的四点，且满足000ADAB（ADAC（ACAB，则BCD 是（ ） A钝角三角形B锐角三角形C直角三角形D不确定8空间四边形 OABC 中，OB=OC，AOB=AOC=600，则 cosBC（OA=（ ）A21B22C21D09已知
12、A（1，1，1） 、B（2，2，2） 、C（3，2，4） ，则ABC 的面积为（ ）A3B32C6D2610 已知), 2(),1 ,1 (ttbttta，则|ba 的最小值为（ ）A55B555C553D511二、填空题：请把答案填在题中横线上（每小题 6 分，共 24 分） 11若) 1, 3 , 2(a，)3 , 1 , 2(b，则ba,为邻边的平行四边形的面积为 12已知空间四边形 OABC，其对角线为 OB、AC，M、N 分别是对边 OA、BC 的中点，点 G 在线段 MN 上，且GNMG2，现用基组OCOBOA,表示向量OG，有OG=xOCzOByOA，则 x、y、z 的值分别为
13、13已知点 A(1，2，11)、B(4，2，3)，C(6，1，4)，则ABC 的形状是 14已知向量)0 , 3, 2( a，)3 , 0 ,(kb ，若ba,成 1200的角，则 k= 三、解答题： 15如图，已知正方体ABCDA B C D的棱长为 a，M为BD的中点，点 N 在AC上，且| 3|A NNC，试求 MN 的长ONMDCBACBADzyx勤奋，博学，笃志，感恩！勤奋，博学，笃志，感恩！716 如图所示，直三棱柱 ABCA1B1C1中，CA=CB=1，BCA=90，棱 AA1=2，M、N 分 别是 A1B1、A1A 的中点.（1）求BN的长；（2）求 cos的值（3）求证：A1BC1M.二空间向量与立体几何二空间向量与立体几何 1.平面的法向量平面的法向量如果表示非零向量的有向线段所在直线垂直于平面，那么称向量垂直于nn平面，记作，此时我们把向量叫做的法向量.nn 注：平面的法向量不是唯一的，因此采取灵活多样的方法来求出平面的法向量.2 平面法向量的求法平面法向量的求法： 、几何体中已
