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1、,圆周角(1),回 忆,1.什么叫圆心角?,顶点在圆心的角叫圆心角,2. 圆心角、弧、弦三个量之间关系的一个结论，这个结论是什么？,在同圆（或等圆）中，如果圆心角、弧、弦有一组量相等，那么它们所对应的其余两个量都分别相等。,探 究,O,A,问题：将圆心角顶点向上移，直至与O相交于点C?观察得到的ACB有什么特征？,C,顶点在圆上,两边都与圆相交,这样的角叫圆周角。,B,圆周角定义: 顶点在圆上, 并且两边都和圆相交的角 叫圆周角.,问题探讨：,判断下列图形中所画的P是否为圆周角？并说明理由。,P,P,P,P,不是,是,不是,不是,顶点不在圆上。,顶点在圆上，两边和圆相交。,两边不和圆相交。,有
2、一边和圆不相交。,问题解决：,你能画出同弧所对的圆周角和圆心角吗？,分析论证,1.首先考虑一种特殊情况当圆心(O)在圆周角(BAC)的一边(BA) 上时,圆周角BAC与圆心角BOC的大小 关系., OA=OC,A=C,又 BOC=AC,BOC=2A,即A= BOC,分析论证,你能证明第2种情况吗,D,提示：作射线AO交O于D。转化为第1种情况,证明：由第1种情况得,即BAC= BOC,BAD BOD,CAD COD,BADCAD BOD COD,分析论证,你能证明第3种情况吗,证明：作射线AO交O于D。,由第1种情况得,即BAC= BOC,BAD BOD,CAD COD,CADBAD COD
3、BOD,D,综上所述：我们得到：同弧所对的圆周角度数等于这条弧所对的圆心角的一半,即BAC= BOC,圆周角定理,一条弧所对的圆周角等于它所对圆心角的一半.,如图，A是圆O的圆周角，,A=40，求OBC的度数。,巩固练习,5,已知：ABC的三个顶点在O上, BAC=50,ABC=47,求AOB,同弧或等弧所对的圆周角相等； 同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧相等。,思考：1、“同圆或等圆”的条件能否去掉？ 2、判断正误：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、 两条弧、两条弦、两条弦心距、两个圆周角中有一 组量相等，那么它们所对应的其余各组量也相等。,A,B,C,D,E,A,B,C,D,E,F,O,练
4、习： 如图，点A、B、C、D在同一个圆上，四边形ABCD的对角线把4个内角分成8个角，这些角中哪些是相等的角？,14,27,36,58,解：,问题1：如图，AB是O的直径，请问： C1、C2、C3的度数是 。,推论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角；90的圆周角所对的弦是直径。,问题2： 若C1、C2、C3是直角，那么AOB是 。,90,180,探究与思考：,1.半圆或直径所对的圆周角等于多少度？,推论：半圆或直径所对的圆周角都相等,都等于90(直角).反过来也是成立的,即90的圆周角所对的弦是圆的直径,探究二：,O,A,B,C,2. 90的圆周角所对的弦是 否是直径？,例 如图，O直径AB为
5、10cm，弦AC为6cm，ACB的平分线交O于D，求BC、AD、BD的长,又在RtABD中，AD2+BD2=AB2，,解：AB是直径，, ACB= ADB=90,在RtABC中，,CD平分ACB，,AD=BD.,七、例题,如果A=44,则BOC=_. 如果BOC=44,则A=_. 如果A=35,则BDC=_.,练习,练一练,3、如图，在O中，ABC=50， 则AOC等于（ ） A、50； B、80； C、90； D、100,D,4、如图，ABC是等边三角形， 动点P在圆周的劣弧AB上，且不 与A、B重合，则BPC等于（ ） A、30； B、60； C、90； D、45,B,6、如图，ABC的顶
6、点A、B、C 都在O上，C30 ， AB2， 则O的半径是 。,练一练,7、如图，A=50， ACB=60 BD是O的直径，则AEB等于（ ） A、70； B、100； C、90； D、120,B,练习:8,如图 AB是O的直径, C ,D是圆上的两点,若ABD=40,则BCD=.,40,500,3,如图所示，AB，AC是O的弦，ADBC于D，交O于F，AE与O的直径，试问两弦BE与CF的大小有何关系，说明理由,5、如图，AB是O的直径，BD是O的弦，延长BD到点C，使DC=BD，连接AC交O于点F，点F不与点A重合。 （1）AB与AC的大小有什么关系？为什么？,答：（1）AB=AC。,证明：
7、连接AD,又DC=BD，AB=AC。,AB是直径，ADB=90，,练一练,思考：,1、在同圆或等圆中，如果两个圆周角相等，它们所对的弧一定相等吗？为什么？,2、在一个圆中，一条弦所对有几种圆周角，它们有什么关系？,结论：在同圆或等圆中，如果两个圆周角相 等， 它们所对的弧相等。,有两种,相等或互补,6,如图，已知圆心角AOB=100,求圆周角ACB、ADB的度数？ 7,一条弦分圆为1：4两部分，求这弦所对的圆周角的度数？,圆周角（2）,回顾：,在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半,圆周角定理,提示:圆周角定理是承上启下的知识点,要予以重视.,推论：半圆（或
8、直径）所对的圆周角是直角，900的圆周角所对的弦是直径。, AB是直径 AC1B=900, AC1B=900 AB是直径,同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧也相等。,课前练习：1. 如图，等边三角形ABC，点D是O上一点，则BDC = ；,60,2.如图，在O中，AB是O的直径，D20，则AOC的度数为_,140,3.如图，AB和CD都是0的直径，AOC=60，则C的度数是 。,30,5.如图,C是O的圆周角，C=38，则OAB= .,4、如图，AB是O的直径，点C在圆上，A=20,则B= 度,6.如图，在O中，AOD=120，BDP=25，则P的度数等于 。,70,52,35,新课讲解：,若
9、一个多边形各顶点都在同一个圆上，那么，这个多边形叫做圆内接多边形，这个圆叫做这个多边形的外接圆。,O,A,C,D,E,B,如图，四边形ABCD为O的内接四边形；O为四边形ABCD的外接圆。,C,O,D,B,A,如图：圆内接四边形ABCD中，, 弧BCD和弧BAD所对的圆心角的和是周角,AC,180,同理BD180,圆的内接四边形的对角互补。,(1)四边形ABCD内接于O，则A+C=_ ，B+ADC=_;若B=800， 则ADC=_ CDE=_ (2)四边形ABCD内接于O，AOC=1000 则B=_D=_ (3)四边形ABCD内接于O, A:C=1:3,则A=_,180,180,100,80,
10、50,130,45,填空,若ABCD为圆内接四边形，则下列哪个选项可能成立（ ）,（A）ABCD 1234,（B）ABCD 2134,（C）ABCD 3214,（D）ABCD 4321,B,1、在O中，CBD=30，BDC=20,求A。,解法1：CBD=300，BDC=200 C=1800-CBD-BDC=1300 A=1800-C=500（圆内接四边形对角互补）,巩固：,变式：已知OAB等于40度,求C的度数.,D,2、如图，在O中，AB为直径，CB=CF, 弦CGAB，交AB于D，交BF于E。 求证：BE=EC,）,）,BE=EC,EBC=ECB,AB为直径,CGAB,3、如图，BC为半圆
11、O的直径，AB=AF,AC与BF交于点M。 （1）若FBC=，求ACB（用表示） （2）过A作ADBC于D，交BF于E，求证：BE=EM。,）,）,4、判断 （1）等弧所对的圆周角相等；（ ） （2）相等的弦所对的圆周角也相等；（ ） （3）900的角所对的弦是直径；（ ） （4）同弦所对的圆周角相等。（ ）,5.梯形ABCD内接于O,ADBC, B=750,则C=_,75,返回,圆的内接梯形一定是梯形。,等腰,例1,已知：如图，在ABC中，AB=AC, 以AB为直径的圆交BC于D,交AC于E, (1)BD与CD的大小有什么关系?为什么? (2)求证： ,BD=DE,连结AD.,AB是圆的直径，点D在圆上，,ADB=90，,ADBC，,AB=AC，,BD=CD, AD平分顶角BAC，即BAD=CAD，, ,BD= DE,（同圆或等圆中相等的圆周角所对弧相等）。,解:BD=CD.理由是:,【例 3】 如图24-1-21，已知四边形 ABCD 内接于O，BOD 80，求BAD 和BCD 的度数图 24-1-21,B,5如图 24-1-22，四边形 ABCD 是圆内接四边形，点 E 是,),BC 延长线上一点，若BAD105，则DCE 的大小是(图 24-1-22,A115,B105,C100,D95,
