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1、指数函数及其性质知识点及例题解析指数函数及其性质知识点及例题解析要点一、指数函数的概念：要点一、指数函数的概念： 函数 y=ax(a0 且 a1)叫做指数函数，其中 x 是自变量，a 为常数，函数定义域为 R. 要点二、指数函数的图象及性质：要点二、指数函数的图象及性质：y=ax 01 时图象图象定义域 R，值域 （0，+）a0=1, 即 x=0 时，y=1，图象都经过(0，1)点ax=a，即 x=1 时，y 等于底数 a在定义域上是单调减函数在定义域上是单调增函数x1 x0 时，00 时，ax1性质 既不是奇函数，也不是偶函数要点诠释：要点诠释：（1）当底数大小不定时，必须分“”和“”两种情
2、形讨论。1a 01a （2）当时，；当时。01a,0xy 1a ,0xy 当时，的值越大，图象越靠近轴，递增速度越快。1a ay当时，的值越小，图象越靠近轴，递减的速度越快。01aay（3）指数函数与的图象关于轴对称。xya1x yay类型一、指数函数的概念类型一、指数函数的概念例 1、函数是指数函数，求的值2(33)xyaaaa【解析】由是指数函数，可得解得，所以2(33)xyaaa2331,0,1,aaaa且12,01,aaaa或且2a 关键点：一个函数是指数函数要求系数为关键点：一个函数是指数函数要求系数为 1 1，底数是大于，底数是大于 0 0 且不等于且不等于 1 1 的常数，指数必
3、须是自变量的常数，指数必须是自变量x 【变式 1】指出下列函数哪些是指数函数？（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；4xy 4yx4xy ( 4)xy 1(21) (1)2xyaaa且（6）【答案】（1）（5）（6）4xy类型二、函数的定义域、值域类型二、函数的定义域、值域例 2、求下列函数的定义域、值域.(1)；(2)y=4x-2x+1；(3)；3 1 3xxy 21139x【解析】(1)函数的定义域为 R (对一切 xR，3x-1). ，又 3x0， 1+3x1，(1 3 ) 1111 31 3xxxy ， ， ， 值域为(0，1).1011 3x1101 3x 10111 3x (2)
4、定义域为 R， 2x0， 43)212(12)2(22xxxy 即 x=-1 时，y 取最小值，同时 y 可以取一切大于的实数， 值域为).212 x 43 43,43(3)要使函数有意义可得到不等式，即，又函数是增函数，211309x21233x3xy 所以，即，即，值域是.212x 1 2x 1,20,【变式 1】求下列函数的定义域：(1) (2) (3) (4)2-12xy 3-3xy 2 -1xy 1-(0,1)xyaaa【答案】 （1）R；（2）；（3）；（4）a1 时，；01，所以函数 y=1.8x为单调增函数，又因为 a1 时，当 01.1-0.1；(3)0.90.30.70.4
5、.(4)11 3342( )1( )33【变式 2】利用函数的性质比较，【答案】1 221 331 661 33 1 22 1 66【变式 3】 比较 1.5-0.2， 1.30.7， 的大小【答案】1 32( )37 . 02 . 031 3 . 15 . 1)32(类型六、类型六、求解有关指数不等式求解有关指数不等式例 6 已知，则x的取值范围是_2321(25)(25)xxaaaa解：，函数在上是增函数，2225(1)441aaa2(25)xyaa()且，解得x的取值范围是31xx 1 4x 1 4且评注：利用指数函数的单调性解不等式，需将不等式两边都凑成底数相同的指数式，并判断底数与评
6、注：利用指数函数的单调性解不等式，需将不等式两边都凑成底数相同的指数式，并判断底数与 1 1 的大的大 小，对于含有参数的要注意对参数进行讨论小，对于含有参数的要注意对参数进行讨论【变式 1】如果（，且），求的取值范围215xxaa0a 1a x【解析】的取值范围是：当时，；当时，x01a6x 1a 6x 类型七、类型七、换元法求最值问题、求解指数式方程换元法求最值问题、求解指数式方程 例 7、已知-1x2,求函数 f(x)=3+23x+1-9x的最大值和最小值解：设 t=3x,因为-1x2，所以，且 f(x)=g(t)=-(t-3)2+12,931 t故当 t=3 即 x=1 时，f(x)取
7、最大值 12；当 t=9 即 x=2 时 f(x)取最小值-24。例 8、函数在区间上有最大值 14，则a的值是_221(01)xxyaaaa且 11 且分析：令可将问题转化成二次函数的最值问题，需注意换元后 的取值范围xtat解：令，则，函数可化为，其对称轴为xta0t 221xxyaa2(1)2yt1t 当时，即1a 11x 且1xaaa1taa当时，, 解得或（舍去） ；ta2 max(1)214ya3a 5a 当时，即，01a11x 且1xaaa1ata 时，解得或（舍去） ；1ta2max11214ya1 3a 1 5a a的值是 3 或1 3评注：利用指数函数的单调性求最值时注意一些方法的运用，比如：换元法，整体代入等评注：利用指数函数的单调性求最值时注意一些方法的运用，比如：换元法，整体代入等例 9、解方程223380xx解：原方程可化为，令，上述方程可化为，解得或29(3 )80390xx3 (0)xtt298090tt9t （舍去） ，经检验原方程的解是1 9t 39x2x 2x 评注：解指数方程通常是通过换元转化成二次方程求解，要注意验根评注：解指数方程通常是通过换元转化成二次方程求解，要注意验根
