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1、2011江苏高考点评,数学 主讲人：曹瑞彬,第一部分 数 学 试 题 特 点,今年江苏高考数学试题，较好地体现了依纲靠本，平和稳定，推陈出新，考查潜能的命题要求，稳中求进，特色鲜明.与2010年相比，除了最后一题的难度比2010年的大外，其余的都降低了难度. 具体地，有以下几方面的特点,1、突出数学基础知识，基本技能，基本思想方法的考查,试题第1题集合，第2题函数，第3题复数，第4题算法，第5题概率，第6题统计，第7题三角函数，以及第8、9、10、11、12题，严格遵循考试说明以常见的方式表述条件与结论，入手容易。,2、突出考查重点,重点知识历来是高考试题的主体.因此，重点内容重点考查、重点内
2、容反复考查，理所当然地成了高考命题的一贯要求.2011年江苏高考数学试题，很好地遵循了这一要求，在全面检测双基的同时，突出了对重点内容、核心考点的考查. 如：导数与函数、数列、不等式、三角、立几、解几等主杆知识多次考查.,3注重考查能力,2011年江苏高考数学试题，既注意了章内知识的纵向发展，又注意了不同章节知识之间的综合交汇，以此考查综合处理问题的能力例如，13,14,17,18,19,20.,4考查数学思想,数学思想是数学知识的精髓，它是架设在知识和能力之间的一座桥梁.数学高考历来强调考查能力、考查思维，而数学高考中，主要是通过综合问题的处理以及对数学思想的考查来检测能力和思维水平的201
3、1年江苏高考数学试题中，很好地考查了学生对数学思想的掌握程度.,5、题型与结构保持稳定,数学试卷的题型与结构于去年一致，一卷14个填空题和6个解答题，附加卷4选2与2个必做题.,第二部分 试 题 详 细 解 析,一.填空题 【试题一】 已知集合A=-1,1,2,4，B=-1,0,2，则AB= 【 解析】本题考查交集的运算 答案是：1,2,【试题二】 函数f(x)=log5(2x+1)的单调区间是 【 解析】本题考查对数函数的单调性与定义 域 因为51，所以f(x)=log5(2x+1)在其定义域内是单调增函数，其单调增区间是 ( ,+),【试题三】 设复数z满足i(z+1)3+2i(i为虚数单
4、位)， 则z实部是 【 解析】本题考查复数的概念及运算 由i(z+1)3+2i，得z+12+3i， 即z=1+3i，所以z的实部是 1.,【试题四】 根据如图所示的伪代码，当输入a、b分别为2，3时，最后输出的m的值为 【 解析】本题考查算法中的伪 代码. 如图的伪代码表示的是两个实数 大小的比较，输出的是较大的数. 所以答案是：3.,Read a，b If ab Then ma Else mb End If Print m,【试题五】 从1,2,3,4这四个数中一次随机地取两个数，则其中一个数是另一个数的两倍的概率是 【 解析】本题考查古典概型的概率. 从1,2,3,4中任取两个数的组合共有
5、以下6种： (1,2) (1,3) (1,4) (2,3)，(2,4) (3,4)，其中一个数是另一个数的两倍有(1,2)与(2,4)两个. 所以其概率为： .,【试题六】 某老师从星期一到星期五收到的信件数分别为10,6,8,5,6，则该组数据的方差s2 【 解析】本题考查统计的概念，方差的计算. 因为这五个数的平均数为7，由方差的定义可知这五个数的方差s23.2. 答案是：3.2,【试题七】 已知 ，则 的值为 【 解析】本题考查两角和与差的三角函数，三角函数的求值及三角函数的恒等变形. 由 得 而 .,【试题八】 在平面直角坐标系xOy中，过坐标原点的一条直线与函数f(x)= 的图象交于
6、P、Q两点，则线段PQ长的最小值是 【 解析】本题考查直线方程、函数与方程、函数的最值、基本不等式等知识. 设过原点的直线方程为y=kx(k0).则得 PQ=,【试题九】 函数 为常数，A0，0)的部分图象如图所示，则f(0)= 【 解析】三角函数的图象与性质. 由图可知A= ， 周期T= .即=2 . 所以 再将点( )，得 所以f(0)= .,x,【试题十】 已知e1，e2是夹角为 的两个单位向量， a=e1-2e2，b=ke1+e2 .若ab=0，则实数k的值为 【 解析】本题考查向量加减法与数量积的概念及运算能力. 因为e1e2= . 所以，由ab=0，ke12+(1-2k)e1e22
7、e22=0， 解之得 k=,【试题十一】 已知实数a0，函数 若 f(1-a)=f(1+a)，则a的值为 【 解析】本题考查分段函数的概念，函数求值及方程与函数、分类讨论等数学思想. (1)当a0时，由f(1-a)=f(1+a)，得a= (舍去) . (2)当a0时，由f(1-a)=f(1+a)，得a= . 所以答案是： .,【试题十二】 在平面直角坐标系xOy中，已知P是函数f(x)=ex(x0)的图象上的动点，该图象在点P处的切线l交y轴于点M.过点P作l的垂线交y轴于N.设线段MN的中点的纵坐标为t，则t的最大值是 【 解析】本题考查指数函数的导数，切线方程，利用导数求函数的最值. 设P
8、(s，es) (s0)，则得 . 令t=0，得,【试题十三】 设1=a1a2a7，其中a1，a3 ，a5，a7 成公比为q的等比数列，a2，a4，a6成公差为1的等差数列，则q的最小值是 【 解析】本题考查等差、等比数列、不等式、放缩法及等差、等比数列中的最值. 由题设得1a2qa2+1q2a2+2q3. 所以，q3 a2+2 1+2=3 .即 而 这七个数满足题设要求.,【评注】本题与去年的12题类似.题中用放缩法求q的最小值是高考的热点. 本题的q也存在着最大值.事实上，由1a2qa2+1q2a2+2q3 .得 q2a2+2 a2q+2，得q2 . 而1，1，2，2，4，4，8满足题设要求
9、且q2的七个数.,【试题十四】 设集合 若 则m的取值范围是 【 解析】本题考查集合、平面区域、直线与圆的位置关系、分类讨论及数形结合等数学思想 分m0三种情况讨论，结合图形可知m .,【试题十五】 在ABC中，角A、B、C所对应的边为a、b、c.（1）若 求A的值； （2）若 ，求的值. 【 解析】本题考查三角函数的基本关系、两角和的正弦公式、正弦定理、余弦定理及基本的运算能力.,(1)解：由已知式，求出角A的一个三角函数值. 由 得 从而 因为sinA0，所以cosA 0，故tanA= . 因为0A，所以A= .,(2)解法一：利用正弦定理，将条件b=3c转化为sinB=3sinC，然后求
10、解. 由正弦定理及b=3c， 得sinB=3sinC， 所以sin(A+C)=sinC，得cosC= sinC. 所以sinC= . 解法二：利用余弦定理，求得a、b、c的关系. 由cosA= ，b=3c及a2=b2+c2-2bccosA, 得a2+c2=b2，所以ABC是直角三角形，且 B=90，所以sinC=cosA= .,【注】已知三角形内某些边与角的关系，求其它的一些边与角，通常的解法是：利用正弦定理与余弦定理，将边转化成角的三角函数的关系，或将角的三角函数关系转化为边之间的关系. 同学还要注意三角形中三角函数的一些常见的恒等关系.如： (1)A+B+C=；(2)sin(A+B)=si
11、nC； (3),【试题十六】 如图，在四棱锥中，平面PAD平面ABCD， AB=AD，BAD=60,E、F分别是AP、AD的中点. 求证：（1）直线EF平面PCD； （2）平面BEF平面PAD . 【 解析】本题考查直线与 平面、平面与平面的位置关 系，考查空间想象能力和推 理论证能力,证明：(1)在ABC中，因为E、F分别是AP、AD的中点，所以EFPD.又因为EF 平面PCD， PD 平面PCD，所以直线EF平面PCD. (2)连结BD.因为AB=AD，BAD=60，所以ABD为正三角形. 因为F是AD的中点，所以BFAD. 因为平面PAD平面ABCD，BF 平面ABCD， 平面PAD平面
12、ABCD=AD，所以BF平面PAD. 又因为BF 平面BEF，所以平面BEF平面PAD.,【试题十七】 请你设计一个包装盒，如图所示，ABCD是边长为60cm的正方形硬纸片，切去阴影部分所示的四个全等的等腰直角三角形，再沿虚线折起，使得A，B，C，D四个点重合于图中的点P，正好形成一个正四棱柱形状的包装盒，E，F在AB上，是被切去的一个等腰直角三角形斜边的两个端点设AEFBx（cm） （1）某广告商要求包装盒的侧面积S（cm2）最大，试问x应取何值？,（2）某厂商要求包装盒的容积V（cm3）最大，试问x应取何值？并求出此时包装盒的高与底面边长的比值 【 解析】本题考查 函数的概念与性质、二 次
13、函数、三次函数导数 的应用，考查数学建模能力、空间想象能力、 数学阅读能力及解决实际问题能力.解决本题的 关键在于数学建模.,解：设包装盒的高为h(cm)，底面边长为a(cm).则 (1)S=4ah=8x(30-x)=-8(x-15)2+1800， 所以当 x=15时，S取得最大值. (2) 由V = 0，得x=20，或x=0(舍去). 当x(0,20)时V 0；当x(20,30)时V 0. 所以当x=20时，V取得极大值，也是最大值. 此时包装盒的高与底面边长的比值为,【试题十八】 如图，在平面直角坐标系xOy中，M、N分别是椭圆 的顶点，过坐标原点的直线交椭圆于P、A两点，其中点P在第一象
14、限，过P作x轴的垂线，垂足C为，连接AC，并延长交椭圆于点B设直线的斜率为k （1）当直线PA平分线段MN，求k的值； （2）当k=2时，求点P到直线AB的距离d； （3）对任意k0，求证： PA PB ,【解析】本题考查椭圆的标准方程、几何性质 、直线方程、直线与直线的位置关系、点到直线的距离，考查代数运算能力、推理论证能力，考查等价转换、函数与方程、待令系数等数学思想与方法.,(1)由题设易得，M(-2,0)，N(0，- )，所以线段MN中点的坐标为(-1，- )，所以k= (2)k=2时，直线AP的方程为y=2x，代入椭圆方程得易解得P( ， )，A( - ，- ). 于是C( ，0)，
15、由两点式得ABC的方程为 3x-3y-2=0，再由点到直线的距离公式得， d=,(3)证法一：由PA的斜率k求出与PB的斜率k1， 然后计算kk1=-1. 将直线PA的方程y=kx代入 解得 于是 所以直线AB的斜率kAB=,直线AB方程为 代入椭圆方程得 解之得：,于是直线PB斜率 即kPAkPB=-1，所以PAPB.,法二：设P(x1，y1)，A(-x1，-y1)，B(x2，y2)，C(x1,0).又设直线PB，PA的斜率分别为k1，k2. 因为C在直线AB上，所以k2= 所以,法三：参数法，将椭圆上的点用椭圆的参数形式表示. 设 则 因为A、C、B三点共线， 所以,所以 所以PAPB.,【试题十九】 已知a, b是实数, 函数f(x)=x3+ax，g(x)=x2+bx，f (x)和g(x)是f(x)和g(x)的导函数.若f (x)g(x)0在区间I上恒成立，则称f(x)和g(x)在区间上单调性一致 （1）设a0，若f(x)和g(x)在区间-1，+)上单调性一致，求实数b的取值范围； （2）设a0且ab，若f(x)和g(x)在以a、b为端点的开区间上单调性一致，求|a-b|的最大值,
