《【新步步高】2016-2017学年高一数学北师大版必修4课件：2.3.2 平面向量基本定理 》由会员分享，可在线阅读，更多相关《【新步步高】2016-2017学年高一数学北师大版必修4课件：2.3.2 平面向量基本定理 （31页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、3 从速度的倍数到数乘向量 3.2 平面向量基本定理,明目标 知重点,填要点 记疑点,探要点 究所然,内容 索引,01,02,03,当堂测 查疑缺,04,1.理解平面向量基本定理的内容,了解向量的一组基底的含义. 2.在平面内,当一组基底选定后,会用这组基底来表示其他向量. 3.会应用平面向量基本定理解决有关平面向量的综合问题.,明目标、知重点,填要点记疑点,平面向量基本定理 (1)定理：如果e1,e2是同一平面内的两个 向量,那么对于这一平面内的 向量a, 实数1,2,使a . (2)基底：把 的向量e1,e2叫作表示这一平面内 向量的一组基底.,任一,不共线,存在唯一一对,1e12e2,不
2、共线,所有,探要点究所然,情境导学,在物理学中我们知道,力是一个向量,力的合成就是向量的加法运算.而且力是可以分解的,任何一个大小不为零的力,都可以分解成两个不同方向的分力之和.将这种力的分解拓展到向量中来,会产生什么样的结论呢？,探究点一 平面向量基本定理的提出,答 通过观察,可得：,思考2 根据上述分析,平面内任一向量a都可以由这个平面内两个不共线的向量e1,e2表示出来,从而可形成一个定理.你能完整地描述这个定理的内容吗？ 答 若e1、e2是同一平面内的两个不共线向量,则对于这一平面内的任一向量a ,存在唯一一对实数1,2,使a1e12e2.,思考3 上述定理称为平面向量基本定理,不共线
3、向量e1,e2叫作表示这一平面内所有向量的一组基底. 那么同一平面内可以作基底的向量有多少组？不同基底对应向量a的表示式是否相同？平面向量的基底唯一吗？ 答 同一平面内可以作基底的向量有无数组,不同基底对应向量a的表示式不相同. 不唯一.只要两个向量不共线,都可以作为平面的一组基底.,例1 已知e1,e2是平面内两个不共线的向量,a3e12e2,b2e1e2,c7e14e2,试用向量a和b表示c. 解 a,b不共线, 可设cxayb,则xaybx(3e12e2)y(2e1e2)(3x2y) e1(2xy)e27e14e2.,解得x1,y2,ca2b.,反思与感悟 选定基底之后,就要“咬定”基底
4、不放,并围绕它做中心工作,千方百计用基底表示目标向量.这有时要利用平面几何知识.要注意将平面几何知识中的性质、结论与向量知识有机结合,具体问题具体分析解决.,探究点二 平面向量基本定理的证明及应用,(1)证明定理中1,2的存在性. 如图,e1,e2是平面内两个不共线的向量,a是这一平面内任一向量,a能否表示成1e12e2的形式,请通过作图探究a与e1、e2之间的关系.,(2)证明定理中1,2的唯一性. 如果e1、e2是同一平面内的两个不共线的向量,a是和e1、e2共面的任一向量,且存在实数1、2使a1e12e2,证明1,2是唯一确定的.(提示：利用反证法) 答 假设存在另一组实数 1 , 2
5、也能使 a 1 e1 2 e2成立,则 1 e1 2 e21e12e2. ( 1 1)e1( 2 2)e20. e1、e2不共线, 1 1220, 1 1, 2 2. 使a1e12e2成立的实数对1,2是唯一的.,反思与感悟 用基底表示向量的关键是利用三角形或平行四边形将基底和所要表示的向量联系起来.解决此类题时,首先仔细观察所给图形.借助于平面几何知识和共线向量定理,结合平面向量基本定理解决.,反思与感悟 (1)充分挖掘题目中的有利条件,本题中两次使用三点共线,注重方程思想的应用； (2)用基底表示向量也是运用向量解决问题的基础,应根据条件灵活应用,熟练掌握.,当堂测查疑缺,1,2,3,4,
6、1.如果e1、e2是平面内所有向量的一组基底,那么下列命题正确的是( ) A.若实数1、2使1e12e20,则120 B.对空间任一向量a都可以表示为a1e12e2,其中1、2R C.1e12e2不一定在平面内,1、2R D.对于平面内任一向量a,使a1e12e2的实数1、2有无数对,1,2,3,4,解析 A正确,B错,这样的a只能与e1、e2在同一平面内,不能是空间任一向量； C错,在平面内任一向量都可表示为1e12e2的形式,故1e12e2一定在平面内； D错,这样的1、2是唯一的,而不是有无数对. 答案 A,1,2,3,4,2.设e1、e2是不共线的两个向量,给出下列四组向量：e1与e1
7、e2；e12e2与e22e1；e12e2与4e22e1；e1e2与e1e2.其中能作为平面内所有向量的一组基底的序号是_.(写出所有满足条件的序号) 解析 对于4e22e12e14e22(e12e2), e12e2与4e22e1共线,不能作为基底.,1,2,3,4,1,2,3,4,解 连接AG并延长,交BC于点D,则D为BC的中点,1.对基底的理解 (1)基底的特征 基底具备两个主要特征：基底是两个不共线向量；基底的选择是不唯一的.平面内两向量不共线是这两个向量可以作为这个平面内所有向量的一组基底的条件. (2)零向量与任意向量共线,故不能作为基底.,呈重点、现规律,2.准确理解平面向量基本定理 (1)平面向量基本定理的实质是向量的分解,即平面内任一向量都可以沿两个不共线的方向分解成两个向量和的形式,且分解是唯一的. (2)平面向量基本定理体现了转化与化归的数学思想,用向量解决几何问题时,我们可以选择适当的基底,将问题中涉及的向量向基底化归,使问题得以解决.,
