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1、第一章 多项式习题课,（一）知识结构,复系数与实系数多项式的因式分解,多元多项式、对称多项式,（二）重难点归纳,重点：,最大公因式的定义，一元多项式的整除性，一元多项式的整除、最大公因式，互素及不可约多项式等概念之间的联系与区别。,难点：,一元多项式的概念，因式分解理论，多项式的根和对称多项式；,（三）题型归纳,（1）计算问题：,带余除法，综合除法，用辗转相除法求最大公因式，用微商判别多项式是否有重因式、重根；,（2）证明问题：,关于多项式的最大公因式与互素的证明问题，整除性的证明，重根、重因式的证明问题，多项式不可约的证明及其它证明等。,（四）综合举例,(1)计算问题,a)带余除法,例1.用
2、 除 ,求商式 与余式 ，其中,提示：采用竖式除法求解。,解,解：,例4.,解：,b)综合除法,解:,例6.,解：采用综合除法，可得,例8.,解：,c)用辗转相除法求最大公因式,例10.设 ，求 使得 。,提示：采用竖式除法及带余除法定理求解即可。,解：,所求的,例11.,解：,d)用微商判别一个多项式有否重因式、重根,例12.求 有重根的条件。,提示：应用 有重根当且仅当 即可。,解,有重根当且仅当 ，即做辗转相除法所得的余式 或 。 由于 蕴含 ，因此 有重根的条件是,例13.求 的非零根的重数。,提示：先求微商，再对 的关系分类讨论。,例14.求 的根。,解：因为如果 ，那么 ，没用非零
3、根，所以 的非零根的重数 。如果 ，则从 的因式 的根都是单根知， 中非零的根的重数 。,提示：先求微商，再用辗转相除法得到 与的最大公因式。,由于 与 有完全相同的不可约因式 ， 可见 有根 。再用综合除法，有,解：用辗转相除法，得,故1是四重根，同理可知-2是三重根。,（2）证明问题,a)关于多项式的最大公因式与互素的证明,例15.若 ， 则 。,提示：用最大公因式和互素的定义证明。,b)整除性的证明,证明 是 与 的公共复根,则 与 在复数域上的最大公因式 不是常数.由于 都在 中,所以它们的最大公因式 也在 中.由 的不可约性以及 ,得到 ,其中常数 ,因此 .,例19.证明：对任意的
4、正整数 ，均有,证明：设 为 的根，则且 因为故 是 的根 而 无重根，则 的根都是的根，故,证明 从 的构成易使人联想到公式所以即 ,因此有所以,证明 由条件设 是不等于1的不同的两个3次单位根,分别代入上式,得将 看作一个由两个方程,两个未知量构成的齐次线性方程组的解,这个方程组的系数行列式是由Cramer法则, .由余数定理,我们有,例23.次数大于零的整系数多项式 不能分解成两个次数较低的整系 数多项式的乘积，则 在复数域上无重根。,证明：由已知条件可知， 在有理数域上不可约，从而在有理数域上有又因为多项式互素与数域的扩张无关，因此在复数域上也有 故 在复数域上无重因式，从而也无重根,
5、证明 因为 . 若 ， 则有 ，由例24， 有 重根.由 知 ，因此 .,证明 若 在 中可约,则有 ,使其中 ， .则所以假如有 使 ,则由 的连续性,存在实数 ,使 ,于是有 ,这与 矛盾.所以 或者全为1,或者全为-1. 也是如此.不妨设则,如果 的次数小于 ,那么 的次数小于 ,但有 个不同的根,这是不可能的.所以 .的首项系数为1， ，所以 的首项系数同为1或 -1，若 ，则 但有 个不同的根 ，得到矛盾.所以 作多项式 .那么对次数小于 的多项式 都是它的根,因此 ,即 则 ,得到矛盾.,例27.设 是整系数多项式，若 为奇数，则 在有理数域上不可约。,证明：反证法。假设 在有理数
6、域上可约，则 可以 分解成一次与二次整系数多项式的乘积，设其中由 为奇数，知 为奇数由 知 为奇数为奇数为偶数产生矛盾，故假设不成立，从而 在有理数域上不可约,例29.设 其中 是互不相同的整数，证明： 在有理数域上不可约。,证明 用反证法.假如 在 中可约,那么有整系数多项式 使，可以假定 由 ,知 ,所以可假设于是,当 时,由上两式可以推出 或 ,这都与假设矛盾.当 时,由 得 ,于是可得 ,因此有 ,那么 有有理根,与条件矛盾.所以 在 中不可约.,例31. 在有理数域上不可约的充要条件是对任意有理数 ，有 在有理数域上不可约。,提示：用不可约多项式定义证明。,证明：必要性。假设 在有理
7、数域上可约，则存在 ， 使得其中令 ，由 知从而且即 在有理数域上可约，矛盾，故假设不成立,充分性。 假设 在有理数域上可约，则存在有理系数多项式 ， 使得其中 由 ，可得又因为 ，故有从而 是可约的，矛盾，故假设不成立 ， 从而 在有理数域上不可约,e)其它有关的证明,例32.实系数多项式 的首项系数 ，且无实根，证明：存在实多项式 使 。,证明：由实多项式 无实根，则其根全为虚根，设为，于是令 ，将 展开，把不含 的项集中起来记为 ，将含 的项集中起来，提出公因子 后记为 ，则其中 ，由故,例33.设 是实系数多项式，证明：若对任何实数 都有 ，则存在实系数多项式 ，使,证明：若 ，结论显然成立；若 ， 设 的标准分解式为 不妨设 ，由 充分大时， ，故下证 全为偶数，若其从右边数起第一个奇数为 ，取 ，则矛盾，故 全为偶数，,令而 是首项系数大于零且无实根，由上例知存在 使得令 则 与 是实系数多项式，且,
