《初三数学期中知识点梳理》由会员分享，可在线阅读，更多相关《初三数学期中知识点梳理（20页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、一元二次方程一元二次方程【要点梳理要点梳理】 要点一、一元二次方程的有关概念要点一、一元二次方程的有关概念 1 1一元二次方程的概念：一元二次方程的概念：通过化简后，只含有一个未知数(一元)，并且未知数的最高次数是 2(二次)的整式方 程，叫做一元二次方程 要点诠释：要点诠释： 识别一元二次方程必须抓住三个条件：（1）整式方程；（2）含有一个未知数；（3） 未知数的最高次数是 2.不满足其中任何一个条件的方程都不是一元二次方程，缺一不可. 2 2一元二次方程的一般形式：一元二次方程的一般形式：一般地，任何一个关于 x 的一元二次方程，都能化成形如，这种形式叫做一元二次方程的一般形式其中是二次项
2、，是二次项系数；bx 是一次项，b 是一次项系数；c 是常数项 要点诠释：要点诠释：(1)只有当时，方程才是一元二次方程；(2)在求各项系数时，应把一元二次方程化成一般形式，指明一元二次方程各项系数时 注意不要漏掉前面的性质符号.3.3.一元二次方程的解：一元二次方程的解：使一元二次方程左右两边相等的未知数的值叫做一元二次方程的解，也叫做一元二次 方程的根. 4.4.一元二次方程根的重要结论一元二次方程根的重要结论（1）若 a+b+c=0,则一元二次方程必有一根 x=1；反之也成立，即若 x=1 是一元二次方程的一个根，则 a+b+c=0.（2）若 a-b+c=0,则一元二次方程必有一根 x=
3、-1；反之也成立，即若 x=-1 是一元二次方程的一个根，则 a-b+c=0.（3）若一元二次方程有一个根 x=0，则 c=0；反之也成立，若 c=0，则一元二次方程必有一根为 0.要点二、一元二次方程的解法要点二、一元二次方程的解法 1 1直接开方法解一元二次方程：直接开方法解一元二次方程：(1)直接开方法解一元二次方程：利用平方根的定义直接开平方求一元二次方程的解的方法称为直接开平方法.(2)直接开平方法的理论依据：平方根的定义.(3)能用直接开平方法解一元二次方程的类型有两类：形如关于 x 的一元二次方程，可直接开平方求解.若，则；表示为，有两个不等实数根；若，则 x=O；表示为，有两个
4、相等的实数根；若，则方程无实数根形如关于 x 的一元二次方程，可直接开平方求解，两根是.要点诠释：要点诠释： 用直接开平方法解一元二次方程的理论依据是平方根的定义，应用时应把方程化成左边是 含未知数的完全平方式，右边是非负数的形式，就可以直接开平方求这个方程的根.2配方法解一元二次方程：配方法解一元二次方程：(1)配方法解一元二次方程：将一元二次方程配成的形式，再利用直接开平方法求解，这 种解一元二次方程的方法叫配方法.(2)配方法解一元二次方程的理论依据是公式：.(3)用配方法解一元二次方程的一般步骤：把原方程化为的形式；将常数项移到方程的右边；方程两边同时除以二次项的系数，将二次项系数化为
5、 1；方程两边同时加上一次项系数一半的平方；再把方程左边配成一个完全平方式，右边化为一个常数；若方程右边是非负数，则两边直接开平方，求出方程的解；若右边是一个负数， 则判定此方程无实数解. 要点诠释：要点诠释： （1）配方法解一元二次方程的口诀：一除二移三配四开方； （2）配方法关键的一步是“配方” ，即在方程两边都加上一次项系数一半的平方.（3）配方法的理论依据是完全平方公式2222()aabbab配方法的应用：配方法的应用： 1 1用于比较大小：用于比较大小： 在比较大小中的应用，通过作差法最后拆项或添项、配成完全平方，使此差大于零 （或小于零）而比较出大小. 2用于求待定字母的值：用于求
6、待定字母的值： 配方法在求值中的应用，将原等式右边变为 0，左边配成完全平方式后，再运用非负 数的性质求出待定字母的取值3用于求最值：用于求最值： “配方法”在求最大（小）值时的应用，将原式化成一个完全平方式后可求出最值 4 4用于证明：用于证明： “配方法”在代数证明中有着广泛的应用，我们学习二次函数后还会知道“配方法” 在二次函数中也有着广泛的应用 要点诠释：要点诠释： “配方法”在初中数学中占有非常重要的地位，是恒等变形的重要手段，是研究相等 关系，讨论不等关系的常用技巧，是挖掘题目当中隐含条件的有力工具，同学们一定要把 它学好3 3、公式法解一元二次方程、公式法解一元二次方程 1.一元
7、二次方程的求根公式一元二次方程的求根公式 一元二次方程，当时，.2.一元二次方程根的判别式一元二次方程根的判别式一元二次方程根的判别式：当时，原方程有两个不等的实数根；当时，原方程有两个相等的实数根；当时，原方程没有实数根.3.用公式法解一元二次方程的步骤用公式法解一元二次方程的步骤用公式法解关于 x 的一元二次方程的步骤：把一元二次方程化为一般形式；确定 a、b、c 的值（要注意符号）；求出的值；若，则利用公式求出原方程的解；若，则原方程无实根.要点诠释：要点诠释： （1）虽然所有的一元二次方程都可以用公式法来求解，但它往往并非最简单的，一定 要注意方法的选用. .（2）一元二次方程20 (
8、0)axbxca，用配方法将其变形为：2 2 24()24bbacxaa当240bac 时，右端是正数因此，方程有两个不相等的实根：21,24 2bbacxa 当240bac 时，右端是零因此，方程有两个相等的实根：1,22bxa 当240bac 时，右端是负数因此，方程没有实根.4 4、因式分解法解一元二次方程、因式分解法解一元二次方程 1.用因式分解法解一元二次方程的步骤用因式分解法解一元二次方程的步骤（1）将方程右边化为 0；（2）将方程左边分解为两个一次式的积；（3）令这两个一次式分别为 0，得到两个一元一次方程；（4）解这两个一元一次方程，它们的解就是原方程的解. 2.常用的因式分解
9、法常用的因式分解法提取公因式法，公式法（平方差公式、完全平方公式），十字相乘法等. 要点诠释：要点诠释：（1）能用分解因式法来解一元二次方程的结构特点：方程的一边是 0，另一边可以分 解成两个一次因式的积； （2）用分解因式法解一元二次方程的理论依据：两个因式的积为 0，那么这两个因式 中至少有一个等于 0； （3）用分解因式法解一元二次方程的注意点：必须将方程的右边化为 0；方程两 边不能同时除以含有未知数的代数式.要点三、一元二次方程根的判别式要点三、一元二次方程根的判别式 1.一元二次方程根的判别式一元二次方程根的判别式 一元二次方程)0(02acbxax中，acb42叫做一元二次方程)
10、0(02acbxax的根的判别式，通常用“”来表示，即acb42（1）当0 时，一元二次方程有 2 个不相等的实数根；（2）当=0 时，一元二次方程有 2 个相等的实数根；（3）当0 时，一元二次方程没有实数根.要点诠释：要点诠释：利用根的判别式判定一元二次方程根的情况的步骤：把一元二次方程化为一般形式；确定cba.,的值；计算acb42的值；根据acb42的符号判定方程根的情况.2. 一元二次方程根的判别式的逆用一元二次方程根的判别式的逆用 在方程002acbxax中，（1）方程有两个不相等的实数根acb420；（2）方程有两个相等的实数根acb42=0；（3）方程没有实数根acb420.要
11、点诠释：要点诠释： （1）逆用一元二次方程根的判别式求未知数的值或取值范围，但不能忽略二次项系数不为 0 这一条件；（2）若一元二次方程有两个实数根则 acb420.要点四、一元二次方程的根与系数的关系要点四、一元二次方程的根与系数的关系 1.一元二次方程的根与系数的关系一元二次方程的根与系数的关系如果一元二次方程)0(02acbxax的两个实数根是21xx，那么abxx21，acxx21.注意它的使用条件为 a0， 0. 也就是说，对于任何一个有实数根的一元二次方程，两根之和等于方程的一次项系数 除以二次项系数所得的商的相反数；两根之积等于常数项除以二次项系数所得的商.2.一元二次方程的根与
12、系数的关系的应用一元二次方程的根与系数的关系的应用(1)验根不解方程，利用根与系数的关系可以检验两个数是不是一元二次方程的两个 根；(2)已知方程的一个根，求方程的另一根及未知系数；(3)不解方程，可以利用根与系数的关系求关于 x1、x2的对称式的值此时，常常涉 及代数式的一些重要变形；如：222 121212()2xxxxx x；12121211xx xxxxA；22 12121212()x xx xx xxx；22 21121212xxxx xxx x2 121212()2xxx x x x；22 121212()()4xxxxx x；12()()xkxk2 1212()x xk xxk；
13、22 12121212|()()4xxxxxxx x；222 121212 22222 121212()211 ()xxxxx x xxx xx x；22 12121212()()4xxxxxxx x ；222 12121212|(|)+2|xxxxxxxxA2 121212()22|xxx xxxA(4)已知方程的两根，求作一个一元二次方程；以两个数为根的一元二次方程是.(5)已知一元二次方程两根满足某种关系，确定方程中字母系数的值或取值范围； （6）利用一元二次方程根与系数的关系可以进一步讨论根的符号.设一元二次方程20(0)axbxca的两根为1x、2x，则当0 且120x x 时，两根
14、同号当0 且120x x ，120xx时，两根同为正数；当0 且120x x ，120xx时，两根同为负数当0 且120x x 时，两根异号当0 且120x x ，120xx时，两根异号且正根的绝对值较大；当0 且120x x ，120xx时，两根异号且负根的绝对值较大要点诠释：要点诠释： （1）利用根与系数的关系求出一元二次方程中待定系数后，一定要验证方程 的一些考试中，往往利用这一点设置陷阱；（2）若有理系数一元二次方程有一根ab，则必有一根ab（a，b为有理数） 要点五、列一元二次方程解应用题要点五、列一元二次方程解应用题1.1.利用方程解决实际问题的关键是寻找等量关系利用方程解决实际问
15、题的关键是寻找等量关系. . 2.2.解决应用题的一般步骤：解决应用题的一般步骤：审(审题目，分清已知量、未知量、等量关系等)；设(设未知数，有时会用未知数表示相关的量)；列(根据题目中的等量关系，列出方程)；解(解方程，注意分式方程需检验，将所求量表示清晰)； 验（检验方程的解能否保证实际问题有意义）答(写出答案，切忌答非所问). 要点诠释：要点诠释： 列方程解实际问题的三个重要环节： 一是整体地、系统地审题；二是把握问题中的等量关系；三是正确求解方程并检验解的合理性.一元二次方程应用题的主要类型：一元二次方程应用题的主要类型： 1.1.数字问题数字问题 (1)任何一个多位数都是由数位和数位上的数组成.数位从右至左依次分别是：个位、 十位、百位、千位，它们数位上的单位从右至左依次分别为：1、10、100、1000、，数 位上的数字 只能是 0、1、2、9 之中的数，而最高位上的数不能为 0.因此，任何一个多 位数，都可用 其各数位上的数字与其数位上的单位的积的和来表示，这也就是用多项式的形式表 示了一个多位 数.如：一个三位数，个位上数为 a，十位上数为 b，百位上数为 c，则这个三位数 可表示为：100c+10b+a.(2)几个
