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1、第六章 线性反馈系统的时间域综合,主要容为： 状态反馈和输出反馈 结构对系统性能的影响 极点配置 状态反馈动态解耦 状态重构和状态观测器 带状态观测器的状态反馈系统,6.1 引言,一、综合问题的提法,系统的综合问题由受控系统，性能指标和控制输入三个要素组成。,所谓系统综合，就是对给定受控系统，确定反馈形式的控制，使所导出闭环系统的运动行为达到或优于指定的期望性能指标。,二、性能指标的类型,三、研究综合问题的思路,四、工程实现中的一些理论问题,线性定常系统方程为：,假定有n 个传感器，使全部状态变量均可以用于反馈。,其中，K 为 反馈增益矩阵；V 为p 维输入向量。,一、状态反馈,则有,传递矩阵
2、,6.2 状态反馈和输出反馈,二、输出反馈,结构一：,H 为 常数矩阵,传递矩阵,结构二：,F 为 常数矩阵,传递矩阵,两者比较：状态反馈效果较好；输出反馈实现较方便。,对系统可控性和可观测性的影响,线性定常系统方程 ：,引入状态反馈,状态反馈后系统方程 ：,三、反馈结构对系统性能的影响,定理：线性定常系统引入状态反馈后，不改变系统的可控性，但可能改变系统的可观测性。,证明,系统 的可控矩阵为：,系统 的可控矩阵为：,令,的列是 列的线性组合。同理有,的列是 列的线性组合。以次类推，,的每一列都可表示成 列的线性组合。,所以,另一方面， 又可看成 的状态反馈系统，即,同理可得,所以,系统状态反
3、馈不改变系统的可控性。,例 系统的动态方程如下，判断其状态反馈后的可观测性。,解：,系统状态可观。,引入状态反馈，取 则状态反馈系统为,系统状态不能观测。,和 的可观测性判别阵分别为：,定理：线性定常系统输出至参考输入反馈的引入能同时不改变系统的可控性和可观测性，即输出反馈系统 为可控（可观测）的充要条件是被控系统 为可控（可观测）。,证明：,由于对任意输出至参考输入的反馈系统都能找到一个,等价的状态反馈系统，因此该反馈不改变系统的可控性。,定理：线性定常系统输出至状态微分反馈的引入不改变系统的可观测性，但可能改变系统的可控性。,并且,设,则,令,则,的行是 的行的线性组合。同理有,的行是 行
4、的线性组合。以次类推,的每一行都可表示成 的行的线性组合。,所以,表明,由于,可看成 的输出反馈，因而有,所以,定理：当且仅当线性定常系统的不可控部分渐近稳定时，系统是状态反馈可镇定的。,证明,系统 不完全可控，则一定可通过非奇异变换进行,对任意的,对稳定性的影响,结构分解，使得,四、状态反馈和输出反馈的比较,反馈原理：状态反馈为系统结构信息的完全反馈，输出反馈则是系统结构信息的不完全反馈。 反馈功能：状态反馈在功能上远优于输出反馈。 改善输出反馈的途径：扩展输出反馈（动态输出反馈） 反馈实现上：输出反馈要优越于状态反馈。 解决状态反馈物理实现的途径：引入状态观测器 扩展状态反馈和扩展输出反馈
5、的等价性。,6.3 状态反馈极点配置：单输入情形,一、问题的提法,二、期望闭环极点组,1、极点可配置条件 2、极点配置算法,控制工程中性能指标转化为期望闭环极点组,利用状态反馈任意配置极点的充要条件是被控系统可控。,证明：,充分性：,三、极点配置定理,若系统 可控，则通过非奇异线性变换 可变换为可控标准型。,定理：对单输入 维连续时间线性定常系统,其中,引入状态反馈,引入状态反馈后闭环系统的状态矩阵为,若系统 不可控，就说明系统的有些状态将不受 的控制，则引入状态反馈时就不能通过控制来影响不可控的极点。,显然，该 阶特征方程中的 个系数，可通过 来独立设置，也就是说 的特征值可以任意选择。,引
6、入状态反馈后系统的闭环特征方程,必要性：,第三步：计算由 决定的期望特征多项式，即,第二步：计算 特征多项式，即,四、极点配置算法,规范算法,第四步：计算,第五步：计算变换矩阵,第六步：求,第七步：计算反馈增益向量,第一步：判断 能控性。,第三步：计算由 决定的期望特征多项式，即,第二步：状态反馈系统特征多项式为,比较上面两个特征多项式求K,直接算法,第四步：计算反馈增益向量,第一步：判断 能控性。,例 系统的动态方程如下，求状态反馈阵K使极点为-1，-2.,解：,系统状态可控。,引入状态反馈，取 则状态反馈系统为,计算期望特征多项式,状态反馈系统特征多项式为,求得,例：连续时间线性时不变状态
7、方程为,期望闭环极点为,计算状态反馈阵K,解：容易判断 系统能控,计算由期望闭环极点组决定的特征多项式,计算,二、极点配置定理,对多输入n维连续时间线性时不变系统,系统可通过状态反馈任意配置全部n个极点的充分必要条件为A,B完全能控。,6.4 状态反馈极点配置：多输入情形,一、系统的循环性,1、循环矩阵 2、循环系统 3、循环系统的约当规范形 4、循环系统的特征属性 5、循环系统的能控属性 6、非循环系统循环化,三、极点配置算法,算法一： 给定n维多输入连续时间线性时不变受控系统A,B和一组任意期望闭环特征值,要求确定一个pn状态反馈矩阵K，使,step1.判断A的循环性，若非循环，选取一个p
8、n实常阵K1，使,为循环；若循环，表,Step2.选取一个p1实常量，有b=B使,为完全能控,Step3.对等价单输入系统,利用单输入情形极点配置算法，计算状态反馈向量k。,Step4.对A为循环，Kk对A为非循环，KkK1,Step2.将期望闭环特征值组，按龙伯格能控规范形 的对角块阵个数和维数，分组并计算每组对应多项式。,算法二： 给定n维多输入连续时间线性时不变受控系统A,B和一组任意期望闭环特征值,要求确定一个pn状态反馈矩阵K，使,step1.将能控矩阵对（A，B）化为龙伯格能控规范形。,Step3.对龙伯格能控规范形 ，选取 状态反馈矩阵,Step4.计算化 为龙伯格能控规范形的变
9、换,step5.计算所求状态反馈矩阵 。,step6.停止计算,四、状态反馈对传递函数零点的影响,其传递矩阵为,完全可控的单输入-单输出系统通过非奇异线性变换 可变换为可控标准型。,状态反馈后的传递矩阵为,状态反馈对传递矩阵的零点不产生影响,6.5 输出反馈极点配置,F 为 常数矩阵,一、问题的提法,结论：对完全能控连续时间线性时不变受控系统,采用输出反馈,一般不能任意配置系统全部极点。,结论：对完全能控n维单输入单输出连续时间线性时不变受控系统,采用输出反馈,只能使用闭环系统极点配置到根轨迹上，而不能任意配置到根轨迹以外位置上。,二、输出反馈极点配置的局限性,所谓状态镇定问题就是：对给定时间
10、线性时不变受控系统，找到一个状态反馈型控制律,使所导出的状态反馈型闭环系统,为渐近稳定，即系统闭环特征值均具有负实部。,结论1：连续时间线性时不变系统可由状态反馈镇定，当且仅当系统不能控部分为为渐近稳定。,结论2：连续时间线性时不变系统可由状态反馈镇定的一个充分条件是系统完全能控。,6.6 状态反馈镇定,一、问题的提法,二、可镇定条件,三、状态反馈镇定算法 Step1 判断(A.B)能控性，若完全能控，去Step5。 Step2 对(A.B)按能控性分解 Step3 对能控部分进行极点配置 Step4 计算镇定状态反馈矩阵 ，去Step6。 Step5 对(A.B)计算镇定状态反馈矩阵 ，去S
11、tep6。 Step6 计算停止。,例：求系统,的原点平衡状态为渐近稳定时参数a的取值范围。,劳斯表,解：,解：不完全能控，不能控的状态对应的特征值为-1。 系统能够镇定。 不能将极点配置到第二个状态变量不能控，对应的极点不能任意配置。,例：考虑系统,能否通过状态反馈镇定？能否将极点配置到 ？ 请说明理由。,一、问题的提法,设多输入多输出连续时间线性时不变系统,采用包含输入变换的状态反馈系统,6.7 状态反馈动态解耦,则系统状态空间描述为：,所谓动态解耦控制，就是寻找输入变换,和状态反馈矩阵,使得所导出的闭环传递函数矩阵为非奇异对角有理分式矩阵,二、系统的结构特征量,输出矩阵,传递函数矩阵,对
12、连续时间线性时不变受控系统，结构特性指数定义为：,对连续时间线性时不变受控系统，结构特性向量定义为：,三、可解耦条件,结论：对方连续时间线性时不变受控系统，使包含输入变换状态反馈系统可实现动态解耦的充分必要条件是：基于结构特征向量组成的pp矩阵E非奇异,则可导出包含输入变换状态反馈系统,这种解耦称为积分型解耦系统。,四、解耦控制综合算法,给定n维方连续时间线性时不变受控系统,要求综合一个输入变换和状态反馈矩阵对L,K,使系统实现动态解耦，并使解耦后每个单输入单输出系统实现期望极点配置。,解：计算受控系统的结构特征指数 和结构特征向量,例：给出如下系统的解耦控制系统,可定出：,判断解耦条件：,非
13、奇异可动态解耦,确定积分型解耦系统：,1、全维观测器的构成方案,系统方程为,重构一个系统，该系统的各参数与原系统相同,开环观测器,6.8 全维状态观测器,当两个系统的初始状态完全一致，参数也完全一致，则 。但是实际系统总会有一些差别，因此实际上 。,当 时， 也不为零，可以引入信号 来校正系统形成闭环状态观测器。,其中， 为 矩阵,两式相减得,闭环（渐近）观测器,由上式可知，如果适当选择L 矩阵，使(A-LC) 的所有特征值具有负实部，则就是重构的状态。,原系统的状态方程与观测器方程相减,定理 系统的渐近状态观测器存在的充分必要条件是：系统能观测，或者系统虽然不能观测，但是其不能观测的子系统的
14、特征值具有负实部。,定理 线性定常系统 的观测器,可任意配置极点的充分必要条件是系统能观测并且能控。,例:设系统动态方程为,试设计一个状态观测器，其中矩阵A-LC的特征值（观测器极点）为-10，-10。,解：,希望的特征多项式,判断系统的能观测性,系统能观测,观测器方程,设,希望的特征多项式,解得,原系统及其状态观测器结构图如下,例 系统方程为,要求设计系统的状态观测器，其特征值为3、4、5。,解,首先判断系统的能观测性,系统能观测，可设计观测器。,设：,其中 ， 待定,希望特征值对应的特征多项式,同次幂系数分别相等，可以得出,几点说明：,1） 希望的特征值一定要具有负实部，且要比原系统的特征值更负。这样重构的状态才可以尽快地趋近原系统状态。,2）状态观测器的特征值与原系统的特征值相比，又不能太负，否则，抗干扰能力降低。,3）选择观测器特征值时，应该考虑到不至于因为参数变化而会有较大的变化，从而可能使系统不稳定。,而状态观测器的特征多项式,SISO线性定常系统,全维状态观测器,状态反馈,6.9 带状态观测器的状态反馈系统,写成矩阵形式,作线性变换,其中 为误差估计,
