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1、第十章 圆锥曲线与方程第 1 讲 椭 圆 一、填空题1已知椭圆y21 的左、右焦点分别为 F1、F2，点 M 在该椭圆上，x24且0，则点 M 到 y 轴的距离为_MF1MF2解析 由题意，得 F1(，0)，F2(，0)33设 M(x，y)，则(x，y)(x，y)0，MF1MF233整理得 x2y23.又因为点 M 在椭圆上，故y21，x24即 y21.来源:学_科_网x24将代入，得 x22，解得 x.342 63故点 M 到 y 轴的距离为.2 63答案 2 632方程为1(ab0)的椭圆的左顶点为 A，左、右焦点分别为x2a2y2b2F1、F2，D 是它短轴上的一个端点，若 32，则该椭
2、圆的离DF1DADF2心率为_解析 设点 D(0，b)，则(c，b)，(a，b)，DF1DA(c，b)，由 32得3ca2c，即 a5c，故 eDF2DF1DADF2.15答案 153如图，已知点 P 是以 F1、F2为焦点的椭圆1(ab0)上一点，若 PF1PF2，tanPF1F2 ，则此椭圆的x2a2y2b212离心率是_解析 由题得PF1F2为直角三角形，设 PF1m，tanPF1F2 ，PF2 ，F1F2m，12m252e .caF1F2PF1PF253答案 534如图所示，A，B 是椭圆的两个顶点，C 是 AB 的中点，F 为椭圆的右焦点，OC 的延长线交椭圆于点 M，且 OF，若
3、MFOA，则椭圆的方程为2_解析 设所求的椭圆方程为1(ab0)，则x2a2y2b2A(a,0)，B(0，b)，C，F(，0)(a2，b2)a2b2依题意，得，FM 的直线方程是 x，a2b222所以 M.(2，baa22)由于 O，C，M 三点共线，所以 ，即 a222，所以 a24，b a22a2b2a2b22.所求方程是1.x24y22答案 1x24y225已知 F1，F2为椭圆1 的两个焦点，点 P 在椭圆上，如果线段 PF1x212y23的中点在 y 轴上，且 PF1tPF2，则 t 的值为_解析 设 N 为 PF1的中点，则 NOPF2，故 PF2x 轴，故 PF2，而 PF1PF
4、22a4，b2a323PF1，t7.7 32答案 76设 F1、F2分别是椭圆1 的左、右焦点，P 为椭圆上任一点，点 Mx225y216的坐标为(6,4)，则 PMPF1的最大值为_解析 PF1PF210，PF110PF2，PMPF110PMPF2，易知 M点在椭圆外，连结 MF2并延长交椭圆于 P 点，此时 PMPF2取最大值MF2，故 PMPF1的最大值为 10MF21015.63242答案 157在ABC 中，ABBC，cos B，718若以 A、B 为焦点的椭圆经过点 C，则该椭圆的离心率 e_.解析 如图所示，设 ABBCx，由 cos B及余弦定理得 AC2AB2BC22ABBC
5、cos Bx2x22x2718，AC2x2，AC x.71825953椭圆以 A、B 为焦点，焦距为 2cABx.又椭圆经过点 C，ACBC xx2a，532a x，e .83ca38答案 388已知 F1(c,0)，F2(c,0)为椭圆1(ab0)的两个焦点，P 为椭圆上x2a2y2b2一点且c2，则此椭圆离心率的取值范围是_PF1PF2解析 设 P(x，y)，则(cx，y)PF1PF2(cx，y)x2c2y2c2将 y2b2x2代入式解得 x2，又 x20，a2b2a23c2a2a2c22c2a23c2，e .ca33，22答案 33，229点 M 是椭圆1(ab0)上的点，以 M 为圆心
6、的圆与 x 轴相切于椭圆x2a2y2b2的焦点 F，圆 M 与 y 轴相交于 P，Q，若PQM 是钝角三角形，则椭圆离心率的取值范围是_解析 由条件 MFx 轴，其半径大小为椭圆通径的一半，R，圆心到 yb2a轴距离为 c，若PMQ 为钝角，则其一半应超过 ，从而b0)的左、右焦点分别为 F1、F2.点 P(a，b)满足x2a2y2b2|PF2|F1F2|.(1)求椭圆的离心率 e；(2)设直线 PF2与椭圆相交于 A，B 两点，若直线 PF2与圆(x1)2(y)3216 相交于 M，N 两点，且|MN| |AB|，求椭圆的方程58解 (1)设 F1(c,0)，F2(c,0)，(c0)，因为|
7、PF2|F1F2|，所以2c.整理得 22 10，ac2b2(ca)ca得 1(舍)，或 .所以 e .caca1212(2)由(1)知 a2c，bc，可得椭圆方程为 3x24y212c2，直线 PF2的方3程为 y(xc)3A、B 两点的坐标满足方程组Error!消去 y 并整理，得 5x28cx0.解得 x10，x2 c.85得方程组的解为Error!Error!不妨设 A，B(0，c)，(85c，3 35c)3所以|AB| c.(85c)2(3 35c 3c)2165于是|MN| |AB|2c.58圆心(1，)到直线 PF2的距离 d.因为 d23| 3 3 3c|23|2c|2242，
8、所以 (2c)2c216.整理得 7c212c520.得 c(舍)，(|MN|2)34267或 c2.所以椭圆方程为1.x216y21213. 如图，已知椭圆 C1的中心在原点 O，长轴左、右端点 M，N 在 x 轴上，椭圆 C2的短轴为 MN，且 C1，C2的离心率都是 e.直线 lMN，l 与 C1交于两点，与 C2交于两点，这四点按纵坐标从大到小依次为A，B，C，D.(1)设 e ，求 BC 与 AD 的比值；12(2)当 e 变化时，是否存在直线 l，使得 BOAN，并说明理由解 (1)因为 C1，C2的离心率相同，故依题意可设C1：1，C2：1(ab0)x2a2y2b2b2y2a4x
9、2a2设直线 l：xt(|t|a)，分别与 C1，C2的方程联立，求得 A，B(t，aba2t2).(t，baa2t2)当 e 时，ba，分别用 yA，yB表示 A，B 的纵坐标，可知 BCAD1232 .2|yB|2|yA|b2a234(2)当 t0 时的 l 不符合题意，当 t0 时，BOAN 当且仅当 BO 的斜率 kBO与 AN 的斜率 kAN相等，即，解得baa2t2taba2t2tata.ab2a2b21e2e2因为|t|a，又 0e1，所以1，解得e1.1e2e222所以当 0e时，不存在直线 l，使得 BOAN；22当e1 时，存在直线 l，使得 BOAN.2214已知椭圆的中
10、心为坐标原点 O，椭圆短轴长为 2，动点 M(2，t)(t0)在椭圆的准线上(1)求椭圆的标准方程(2)求以 OM 为直径且被直线 3x4y50 截得的弦长为 2 的圆的方程；(3)设点 F 是椭圆的右焦点，过点 F 作 OM 的垂线 FH，且与以 OM 为直径的圆交于点 N，求证：线段 ON 的长为定值，并求出这个定值解 (1)由 2b2，得 b1.又由点 M 在准线上，得2.a2c故2.所以 c1.从而 a.1c2c2所以椭圆的方程为y21.x22(2)以 OM 为直径的圆的方程为 x(x2)y(yt)0，即(x1)22 1.(yt2)t24其圆心为，半径 r .(1，t2)t241因为以
11、 OM 为直径的圆被直线 3x4y50 截得的弦长为 2，所以圆心到直线 3x4y50 的距离 d .r21t2所以 ，解得 t4.|32t5|5t2故所求圆的方程为(x1)2(y2)25.(3)法一 由平面几何知 ON2OHOM.直线 OM：y x，直线 FN：y (x1)t22t由Error!得 xH.4t24所以 ON2 |xH|xM|1t241t2422.(1t24)4t24所以线段 ON 的长为定值.2法二 设 N(x0，y0)，则(x01，y0)，(2，t)，FNOM(x02，y0t)，(x0，y0)MNON因为，所以 2(x01)ty00.所以 2x0ty02.FNOM又，所以 x0(x02)y0(y0t)0.MNON所以 x y 2x0ty02.2 02 0所以|为定值.ONx2 0y2 02
