小波分析在信号处理中的应用

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1、目目 录录1信号去噪.2 1.1 小波变换特性.2 1.2 信号去噪过程.2 1.3 信号去噪方法.2 1.4 信号去噪 Matlab 实现.3 1.5 去噪方法对比分析6 2.信号压缩.6 2.1 小波压缩概述.7 2.2 信号压缩步骤.7 2.3 信号压缩实现法.7 2.4 信号压缩 Matlab 实现.8 3.信号检测.9 3.1 第一类间断点检测9 4.信号识别.11 4.1 识别信号的发展趋势.11 4.2 识别某一频率区间上的信号.12 4.3 分离信号的不同成分.13 附录.16小波分析在信号处理中的小波分析在信号处理中的 MATLAB 实现实现1信号去噪信号去噪是信号处理领域的

2、经典问题之一。 传统的去噪方法主要包括线性滤 波方法和非线性滤波方法，如中值滤波和 Wiener 滤波等。传统去噪方法的不足 在于使信号变换后的熵增高，无法刻画信号的非平稳特性，并且无法得到信号的 相关性。为了克服上述缺点，开始使用小波变换解决信号去噪问题。 1.1 小波变换特性 小波变换具有下列良好的特性。 （1）低熵性：小波系数稀疏分布，使信号变换后的熵较低。 （2）多分辨率特性：可以非常好地刻画信号的非平稳性，如边缘、尖锋、断 点等。 （3）去相关性：可去除信号的相关性，且噪声在小波变换后又自己的白化趋 势，更利于去噪。 （4）选基灵活性：由于小波变换可以灵活选择基函数，因此可以根据信号

3、特 点和去噪要求选择合适的小波。 1.2 信号去噪过程 一般地，信号去噪的过程可分为如下 3 个步骤： Step1. 信号的小波分解。 选择一个小波并确定分解的层次， 然后进行分解计 算。 Step2. 小波分解高频系数的阈值量化。 对各个分解尺度下的高频系数选择一 个阈值进行软阈值量化处理。 Step3. 小波重构。 根据小波分解的最底层低频系数和各层高频系数进行一维 小波重构。 这 3 个步骤中， 最关键的是如何选择阈值以及进行阈值量化。 在某种程度上， 它关系到信号消噪的质量。 总体上，对于一维离散信号来说，其高频部分所影响的是小波分解的第一层 细节， 其低频部分所影响的是小波分解的最深

4、层和低频层。如果对一个仅有白噪 声所组成的信号进行分析，可得到这样的结论：高频系数的幅值随着分解层次的 增加而迅速衰减，且其方差也有着同样的变化趋势。 1.3 信号去噪方法 小波分析进行去噪处理，一般有下述 3 种方法。 （1）默认阈值去噪处理 该方法利用函数 ddencmp 生成信号的默认阈值， 然后利用函数 wdencmp 进 行去噪处理。 （2）给定阈值去噪处理 在实际去噪过程中，阈值往往通过经验公式获得，且这种阈值比默认阈值的 可信度高。在进行阈值量化处理时可利用函数 wthresh。 （3）强制去噪处理 该方法是将小波分解结构中的高频系数全部置为 0，即滤掉所有高频部分， 然后对信号

5、进行小波重构。这种方法比较简单，且去噪后的信号比较平滑，但是 容易丢失信号中的有用成分。小波在信号去噪领域已经得到越来越广泛的应用。阈值去噪方法是一种实现 简单、效果较好的小波去噪方法。 1.4 信号去噪 Matlab 实现 1）抑制细节系数去噪 MATLAB 实现过程： Step1.在一个光滑的信号上加入一个白噪声。 Step2.使用db4小波对信号进行5层分解， 观察信号在时间-频率上的成分。 Step3.通过作用阈值抑制噪声信号，重建信号，达到去噪目的。 即：在小波分解过程中，每次分解得到的近似系数比以前更光滑，舍去的细 节信息存放在各层近似系数中，再通过重建第 i 层近似系数达到去噪的

6、目的。 运行程序，得到的结果如图 1-1 所示。020040060080010001200-10010原始信号020040060080010001200-10010重建后第五层近似信号020040060080010001200-10010通过抑制细节得到的去噪信号图 1-1 通过抑制细节系数对信号去噪处理 从图 1-1 可以看出， 使用单纯的抑制细节系数的方式确实可以实现消除信号 噪声的目的，但并没有利用噪声本身的信息，没有通过噪声本身来确定去噪，所 以作为衡量相似性的标准差仍然很大， 而且去噪后的信号损失了很多原信号的能 量成分（6%左右）。这能说明在去噪的过程中，不仅抑制了噪声，也抑制了很

7、 多有用的信息成分。 2）FFT 方法去噪 在小波域中的近似系数如果映射到傅里叶分析中的频域，则代表高频系数， 如果只对高频系数进行抑制，同样可以达到去噪的效果。 MATLAB 实现过程： Step1.对原始信号进行傅里叶变换，求出其频谱。 Step2.根据频谱， 对比所关心的频谱成分， 对不需要的频谱成分进行抑制。 Step3.对变换后的频谱作傅里叶逆变换，得到去噪后的信号。 这个过程相当于对原信号在一定范围进行滤波， 还原到时域则相当于对信号 进行卷积运算。设原始信号为,去噪后的信号为，其傅里叶变换形式分别为和，那么这个过程可表示为：010020030040050000.20.40.60.

8、811.21.41.61.82x 106图 1-2FFT 下的频谱图 由图 1-2 可以看出，信号的能量主要集中在低频部分，在 20Hz 以后迅速 衰减到零，50Hz 以后就几乎没有能量了，这样可以进行简单的低通滤波。020040060080010001200-10010原始信号020040060080010001200-10010宽度为10的低通滤波器后的信号020040060080010001200-10010宽度为30的低通滤波器后的信号020040060080010001200-10010宽度为50的低通滤波器后的信号图 1-3 在频域使用低通滤波器的去噪效果 由图 1-3 可知原信号

9、 noisdopp 初始发展阶段的振荡频率很高， 被认为是系统 自身的特性。但是对于低通滤波器，这些成分就被过滤掉了。多余单纯对频域滤 波有“一刀切”的缺陷，也就是把带通之外的频谱不加区分地过滤掉。 与方法 2）中用的小波域中的抑制噪声的方法相比较，可以看出，傅里叶变 换只能在频域范围内表述，对系数进行处理的手法也相对单一，而小波分解后可 以在各个层次选择阈值，对噪声成分进行抑制，手段更加灵活。 3）全局阈值和分层阈值方法去噪 MATLAB 实现过程： Step1.计算信号的噪声强度，给出全局阈值。 Step2.根据得到的全局阈值对信号去噪。 Step3.用 sym4 小波对信号做 4 层分解

10、，得到每个层次的分层阈值。 Step4.根据得到的分层阈值使用软阈值方法对信号去噪。 Step5.绘制原始信号和去噪信号的图形， 并求得去噪信号的能量成分和与原信号的标准差。 运行程序，得到结果如图 1-4 所示。020040060080010001200-10010原始信号020040060080010001200-10010使用全局阈值去噪后的信号020040060080010001200-10010使用分层阈值去噪后的信号图 1-4 阈值方法去噪效果 由图 1-4 可以看出， 全局阈值和分层阈值方法去噪的信号都很好地保留了信 号发展初期的高频特性，且性能参数优于抑制细节系数的策略和 FF

11、T 方法。在这 两者之间，分层阈值虽然损失了部分的性能（与原信号的相似性），但比全局阈 值的结果光滑很多。而且信号发展初期的高频系数也几乎不受影响，最大限度地 反映了原信号本身的特性。 4）利用小波包去噪 MATLAB 实现过程： Step1.计算信号的噪声强度，给出全局阈值 Step2.使用 sym6 小波变换对信号分别进行 3 层、4 层、5 层和 8 层分解。 Step3.绘制原始信号和去噪信号的图形，并求得去噪信号的能量成分和 与原信号的标准差。 运行程序，得到结果如图 1-5 所示。02004006008001000-10010原始信号02004006008001000-100103

12、层分解去噪02004006008001000-100104层分解去噪02004006008001000-100105层分解去噪02004006008001000-100108层分解去噪图 1-5 小波包去噪效果由图 1-5 可知，随着小波包分解层次的增加，去噪效果变好，但是分解层次 增加到第 4 层之后，去噪效果并不明显，此时反而增加了计算量。 得到的不同分解层次后的去噪结果（能量比例和与原信号的标准差）如下表 1-1 所示。 表 1-1 小波包不同分解层去噪效果 分解层数3 层4 层5 层8 层 能量比例97.74%97.56%97.32%97.00% 与原信号的标准差28.126029.2

13、29730.562331.9719 由表 1-1 可知，分解到第 4 层的能量比例是最高的，此时与原信号的标准差 也是比较小的，可以保持原信号大量信息，因此可以确定分解层数为 4 层分解。 1.5 去噪方法对比分析 将不同的去噪方法得到的能量比例和与原信号的标准差绘制成表格如下图 所示: 表 1-2 去噪效果 去噪方法能量比例与原信号的标准差 抑制噪声93.87%32.4658 FFT95.42%36.8576 全局阈值97.74%28.0714 分层阈值96.54%31.0548 小波包97.56%29.2297 由表 1-2 可知，在使用小波变换进行噪声抑制时，去噪结果的能量比例为 93.

14、87%，虽然没有 FFT 滤波器的结果 95.42%高，但是在与原信号的标准差这个 指标上，小波变换的标准差为 32.4658，小于 FFT 的标准差 36.8576，说明小波变 换保持了更高的与原信号的相似程度。 另外可以看出， 全局阈值和分层阈值方法的性能参数优于抑制细节系数的策 略和 FFT 方法。在这两者之间，分层阈值的标准差虽然高于全局阈值的结果，但 比全局阈值的结果光滑很多。而且能量比例高达 96.54%，信号发展初期的高频 系数也几乎不受影响，最大限度地反映了原信号本身的特性。 从通常意义上说，去噪的两个标准，光滑性和相似性在时间和频率两个空 间上体现的比重不同。时域分析，更容易

15、体现信号的相似性，而不太好处理信号 的光滑性，因为时域的分析可以很好地判断信号的动态性质；而在频域中，可以 很方便地过滤掉高频的信号，使得信号无限光滑，但是在原信号中的能量比重很 小的很多有用的信号成分也可能因此被过滤掉。 小波分析的多分辨分析在变换时对时间和频谱的兼顾，与传统频域方法相 比有着无可比拟的优势。 因为展开后的小波系数可以根据某些频段的系数进行滤 波， 更重要的是可以根据某些频段分离出来的系数随时间的变换，通过某些准则 来确定其是信号本身所包含的信息，还是在统计上无规律的噪声。2.信号压缩信号压缩的动机源于对模拟信号的数字化。在离散化的过程中，大部分应用 使用统一的采样率，而像一

16、般数字电话的采样率都是统一的，所以在很多时间使 用的采样率高于需要的精度，造成了信息的冗余。与信号去噪形似，在压缩领域 中，由于小波的特殊有点，应用其进行压缩也受到了人们的重视，并获得了非常 好的效果。2.1 小波压缩概述 随着数据压缩理论的不断发展和日益成熟，一些研究人员逐渐开始对声音、 文字和图像等信号的压缩技术开始研究， 先后经历了经典压缩方法和现代压缩方 法两个阶段。 2.2 信号压缩步骤 MATLAB 中，信号压缩分为如下 3 个步骤。 （1） 对原始信号进行小波分解，得到分解系数。 （2） 对小波域中的系数进行处理，去除信号中的冗余。在此步骤中，指导 去除信号的冗余的是信号的能量剩余、小波域的模平方比和零系数成 分等性能指标。 能量剩余：对双正交小波：小波域的模平方比零系数成分（3） 重建分解后的系数，得到压缩后的信号 2.3 信号压缩实现法 在小波变换中， 信号压缩可归结为在信号的小波分解域对小波系数进行量化 的过程。由于量化的过程可以看作是系数的内部扰动，所以在小波域中的系数对 扰动的稳定性是至关重要的。对于实现来讲，一个首要的问题就是用更少的位来 储存小波系