《《固体物理学(黄昆)》课后习题答案(1)》由会员分享，可在线阅读，更多相关《《固体物理学(黄昆)》课后习题答案(1)（46页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、黄昆固体物理黄昆固体物理黄昆固体物理黄昆固体物理习题解答习题解答习题解答习题解答( (第一版第一版) )小木虫物理版出品小木虫物理版出品小木虫物理版出品小木虫物理版出品2010201020102010-4-4-4-4序序序序经过和教师版 shiningx 版主商议，决定组织这个活动，用来帮大家汇总、解答固体物理习题。由物理版负责搜集、整理现有固体物理各种版本的习题解答，然后把有答案的习题都整理到一个电子书中。原帖网址：http:/ Abigale209、bdtlyh、shiningx、jennyge、wangzf1128、akakcolin、lxq0628、yzcluster、xiaomuch
2、ong916、冰月 6110、chengran、wfliu2301、大葱 1890 等虫友，是他们为本版提供了答案和意见。本书后期整理工作由物理版版主小木虫： ）完成。本活动从 2008 年 12 月 1 日发起，至今已有 15 个月，一直拖到现在才整理完，在此向大家表示深深的歉意。物理版的各位斑竹都是利用业余时间为大家无偿服务，由于现实中各种各样的事情，工作效率较低，还望大家能理解。本资料是小木虫物理版广大虫友和斑竹汗水的结晶， 但是由于我们时间和精力有限，难免有错误和不尽人意之处，希望各位虫友不吝指教。最后，感谢各位虫友一直以来对小木虫物理版的支持！同时也希望，今后能后更多的虫友来加入物理
3、版，把这里建成大家交流的乐园！zt9780312010 年 4 月 7 日目录目录目录目录第一章习 题 1第二章习 题 6第三章习 题10第五章习 题31第六章习 题36第七章习 题42固体物理习题解答感谢大家对木虫和物理版的支持！1第一章第一章第一章第一章习习习习 题题题题1.11.11.11.1如果将等体积球分别排列下列结构，设如果将等体积球分别排列下列结构，设x x x x表示刚球所占体积与总体积之比，证明表示刚球所占体积与总体积之比，证明解解设n为一个晶胞中的刚性原子数，r表示刚性原子球半径，V表示晶胞体积，则致密度为:（设立方晶格的边长为a） r取原子球相切是的半径于是343nrV=
4、1.21.21.21.2证明理想的六角密堆积结构（证明理想的六角密堆积结构（hcphcphcphcp）的轴比）的轴比633. 18322/1=c解解 由1.1题，六角密排中，故232232crah=633. 18322/1=c1.31.31.31.3证明：体心立方晶格的倒格子是面心立方；面心立方晶格的倒格子是体心立方证明：体心立方晶格的倒格子是面心立方；面心立方晶格的倒格子是体心立方解解 由倒格子定义2311232aaba aa=3121232aaba aa=1231232aaba aa=体心立方格子原胞基矢123(),(),()222aaaaijkaijkaijk= +=+=+结构x简单立方
5、(书P2, 图1-2)/60.52体心立方(书P3, 图1-3)3 /80.68面心立方(书P3, 图1-7)2/60.74六方密排(书P4, 图1-6)2/60.74金刚石(书P5, 图1-8)3 /160.34结构rnV简单立方a/21a3/60.52体心立方a/21a33 /80.68面心立方3 /4a2a32/60.74六方密排2 /4a4a32/60.74金刚石a/2232a3 /160.34固体物理习题解答感谢大家对木虫和物理版的支持！2倒格子基矢231123022()()22aaaabijkijka aav=+202() ()4aijkijkv=+2()jka=+同理312123
6、22()aabika aaa=+32()bija=+可见由为基矢构成的格子为面心立方格子123,b b b 面心立方格子原胞基矢123()/2()/2()/2aa jkaa kiaa ij=+=+=+倒格子基矢2311232aaba aa=12()bijka= +同理22()bijka=+32()bijka=+可见由为基矢构成的格子为体心立方格子123,b b b 1.41.41.41.4 证明倒格子原胞的体积为证明倒格子原胞的体积为，其中，其中为正格子原胞体积为正格子原胞体积03(2 )v0v证证倒格子基矢2311232aaba aa=3121232aaba aa=1231232aaba a
7、a=倒格子体积*0123()vbbb=3*023311230(2 )() () ()vaaaaaav=3*00(2 )vv=1.51.51.51.5证明：倒格子矢量证明：倒格子矢量垂直于密勒指数为垂直于密勒指数为的晶面系。的晶面系。1 1223 3Ghbh bh b=+1 23()hh h证：证：固体物理习题解答感谢大家对木虫和物理版的支持！333121323,aaaaCACBhhhh= 容易证明1 2 31 2 300h h hh h hGCAGCB= 与晶面系正交。1 1223 3Ghbh bh b=+1 23()hh h1.61.61.61.6如果基矢如果基矢构成简单正交系构成简单正交系
8、, ,a b c证明晶面族证明晶面族的面间距为的面间距为()hkl2221( )( )( )hkldabc=+说明面指数简单的晶面，其面密度较大，容易解理说明面指数简单的晶面，其面密度较大，容易解理证证简单正交系abc123,aaiabjack=倒格子基矢2311232aaba aa=3121232aaba aa=1231232aaba aa=123222,bibjbkabc=倒格子矢量123Ghbkblb=+222hikjlkabc=+晶面族的面间距()hkl2dG= 2221( )( )( )hklabc=+面指数越简单的晶面，其晶面的间距越大晶面上格点的密度越大，这样的晶面越容易解理1.
9、71.71.71.7 写出体心立方和面心立方晶格结构中，最近邻和次近邻的原子数，若立方边长为写出体心立方和面心立方晶格结构中，最近邻和次近邻的原子数，若立方边长为a a a a，写，写出最近邻和次近邻原子间距出最近邻和次近邻原子间距解解1. 1. 1. 1.8 8 8 8画体心立方和面心立方晶格结构的金属在画体心立方和面心立方晶格结构的金属在，面上面上)100()110()111(原子排列原子排列解：解：简立方面心立方体心立方最近邻数6128最近邻间距a2/2a2/3a次近邻数1266次近邻间距a2aa固体物理习题解答感谢大家对木虫和物理版的支持！4体心立方面心立方1.91.91.91.9指出
10、立方晶格指出立方晶格(111)(111)(111)(111)面与面与(100)(100)(100)(100)面，面，(111)(111)(111)(111)面与面与(110)(110)(110)(110)面的交线的晶向面的交线的晶向解解(111)面与(100)面的交线的 ABAB 平移，A 与 O 重合。B 点位矢BRajak= +（111）与（100） 面的交线的晶向 晶ABajak= + 向指数011(111)面与(110)面的交线的 AB 将 AB 平移 ， A 与原 点 O 重合 ， B 点位 矢BRaiaj= +(111)面与(110)面的交线的晶向ABaiaj= + 晶向指数110
11、1.101.101.101.10 找出立方体中保持找出立方体中保持x x x x 轴不变的所有对称操作，并指出他们中任意两个操作乘积的结果轴不变的所有对称操作，并指出他们中任意两个操作乘积的结果解：解：立方体中保持x轴不变，可有绕x轴转、加上不动C1，所有对称操作构2/2/3固体物理习题解答感谢大家对木虫和物理版的支持！5成群C4:C4=（C1C2C3C4） ，群中任意两元素乘积仍是群中元素。1.111.111.111.11 证明六角晶体的介电常数张量为证明六角晶体的介电常数张量为321000000证明证明 若是一旋转对称操作，则晶体的介电常数满足，对六角晶系，绕x轴AAAT=（即轴）旋转 1
12、80 度和绕z轴（即轴）旋转 120 度都是对称操作，坐标变换矩阵分别为ac=100010001xA=10002/12/302/32/1zA假 设 六 角 晶 系 统 的 介 电 常 数 为则 由得=333231232221131211xTAAx=可见将上式代入=333231232221131211333231232221131211=33322322110000zTzAA=得所以+=332323232211221123221122113332232211223244343432343434340000可得到六角晶系的介电常数为选择相应的坐标变换0113223=332211000000可得到=
13、3210000001.121.121.121.12比较面心立方晶格、金刚石晶格、闪锌矿晶格、比较面心立方晶格、金刚石晶格、闪锌矿晶格、NaclNaclNaclNacl 晶格的晶系、布拉伐格子、平晶格的晶系、布拉伐格子、平移群、点群、空间群。移群、点群、空间群。晶格晶系布拉伐格子点群空间群面心立方晶格立方面心立方OhFm3m金刚石晶格立方面心立方OhFd3m闪锌矿晶格立方面心立方TdmF34Nacl 晶格的晶系立方面心立方OhFm3m固体物理习题解答感谢大家对木虫和物理版的支持！6第二章第二章第二章第二章习习习习 题题题题2.12.12.12.1证明两种一价离子组成的一维晶格的马德隆常数为证明两
14、种一价离子组成的一维晶格的马德隆常数为. . . .2ln2=证设想一个由正负两种离子相间排列的无限长的离子键，取任一负离子作参考离子（这样马德隆常数中的正负号可以这样取，即遇正离子取正号，遇负离子取负号） ，用 r 表示相邻离子间的距离，于是有( 1)11112.234jijrrrrrr=+前边的因子 2 是因为存在着两个相等距离的离子，一个在参考离子左面，一个在其右面，ir故对一边求和后要乘 2，马德隆常数为234(1).34nxxxxxx+=+当 X=1 时，有1111.2234n+= 2.22.22.22.2讨论使离子电荷加倍所引起的对讨论使离子电荷加倍所引起的对 NaclNaclNa
15、clNacl 晶格常数及结合能的影响（排斥势看作不变）晶格常数及结合能的影响（排斥势看作不变）解解( )nrCreru+=2由解 可 得于 是 当e变 成2e时 有0102020=+nrrnCredrdu( )1120+=nenCer()( )erenCernn0111120442+=结合能为当e变成2e时有( )=nreru1102()()( )102411242+=nneunereeu2.32.32.32.3若一晶体的相互作用能可以表示为若一晶体的相互作用能可以表示为( )mnu rrr= +求求 1 1 1 1）平衡间距）平衡间距2 2 2 2）结合能）结合能 WWWW（单个原子的）（单
16、个原子的）3 3 3 3）体弹性模量）体弹性模量4 4 4 4）若取）若取0r，计算，计算值。值。02,10,0.3,4mnrnm WeV=, 解解1）晶体内能( )()2mnNU rrr=+平衡条件00r rdUdr=11000mnmnrr+=10()n mnrm=11121.234=+22n= 固体物理习题解答感谢大家对木虫和物理版的支持！72)单个原子的结合能01( )2Wu r= 00( )()mnr ru rrr= +1(1)()2mn mmnWnm=3)体弹性模量0202()VUKVV=晶体的体积A 为常数，N 为原胞数目3VNAr=晶体内能( )()2mnNU rrr=+1121
17、()23mnNmnrrNAr+=221121()23mnUNrmnVVrrrNAr+=体弹性模量0202()VUKVV=0222220000012 9mnmnV VUNmnmnVVrrrr=+由平衡条件01120001()023mnV VUNmnVrrNAr+=00mnmnrr=02222200012 9mnV VUNmnVVrr=+体弹性模量0202()VUKVV=000()2mnNUrr=+02222200012 9mnV VUNmnVVrr=+022200012 9mnV VUNmnmnVVrr=+（）00mnmnrr=20002 9mnN nmVrr= +固体物理习题解答感谢大家对木虫
18、和物理版的支持！8020220()9V VUmnUVV=009mnKUV=4）00mnmnrr=10()n mnrm=1(1)()2mn mmnWnm=1002Wr=95101.18 10eV m=201002rWr=+1929.0 10eV m=2.42.42.42.4经过经过spspspsp3 3 3 3杂化后形成的共价键， 其方向沿着立方体的四条对角线的方向， 求共价键之杂化后形成的共价键， 其方向沿着立方体的四条对角线的方向， 求共价键之间间的夹角。的夹角。解解sp3轨道杂化过程形成的共价键如图所示共价键沿立方体四对角线方向，与中心可构成正四面体，易得键角为281092.52.52.5
19、2.5假设假设 III-VIII-VIII-VIII-V 族化合物中，族化合物中，IIIIIIIIIIII 族、族、V V V V 族原子都是电中性的（族原子都是电中性的（q*=0q*=0q*=0q*=0）求其电离度）求其电离度f f f fi i i i解解 对于 III 族原子，有效电荷电中性时q*=0，所以22*183+=q5/32=由 Coulson 定义电离度得 III-V 族化合物（q*=0）的电离度为25. 01122=+=+=BABAippppf2.62.62.62.6用林纳德用林纳德琼斯琼斯(Lennard(Lennard(Lennard(LennardJones)Jones
20、)Jones)Jones)势计算势计算 NeNeNeNe 在在bccbccbccbcc（球心立方）和（球心立方）和fccfccfccfcc（面心立方）（面心立方）结结构中的结合能之比值构中的结合能之比值解解1261261( )4()(), ( )(4 )()()2nlu ru rNAArrrr=固体物理习题解答感谢大家对木虫和物理版的支持！926661200612( )1022rAAdu rruNrAA= 22066201212( )12.25 /9.11()/()0.957( )14.45 /12.13bccbccfccfccu rAAu rAA=2.72.72.72.7对于对于，从气体的测
21、量得到，从气体的测量得到 LennardLennardLennardLennardJonesJonesJonesJones 势参数为势参数为2H650 10,2.96.JA=计算计算结合成面心立方固体分子氢时的结合能（以结合成面心立方固体分子氢时的结合能（以KJ/molKJ/molKJ/molKJ/mol单位） ，每个氢分子可当做球单位） ，每个氢分子可当做球形形2H来处理结合能的实验值为来处理结合能的实验值为 0.751kJ0.751kJ0.751kJ0.751kJmo1mo1mo1mo1，试与计算值比较，试与计算值比较解解以为基团，组成 fcc 结构的晶体，如略去动能，分子间按 Lenna
22、rdJones 势相互作2H用，则晶体的总相互作用能为：1261262.ijijijUNPPRR=61214.45392;12.13188,ijijjiPP=162350 10,2.96 ,6.022 10/.ergA Nmol=()()12628162.962.962 6 022 10/50 1012.1314.452.55/.3.163.16UUmolergKJ mol= 0将R 代入得到平衡时的晶体总能量为。因此，计算得到的晶体的结合能为 2.55KJmol，远大于实验观察值 0.75lKJmo12H对于的晶体，量子修正是很重要的，我们计算中没有考虑零点能的量子修正，2H这正是造成理论和
23、实验值之间巨大差别的原因固体物理习题解答感谢大家对木虫和物理版的支持！10第三章第三章第三章第三章习习习习 题题题题3.13.13.13.1 已 知 一 维 单 原 子 链 ， 其 中 第 已 知 一 维 单 原 子 链 ， 其 中 第个 格 波 ， 在 第个 格 波 ， 在 第个 格 点 引 起 的 位 移 为 ，个 格 点 引 起 的 位 移 为 ，jn，为任意个相位因子，并已知在较高温度下每个格波的平为任意个相位因子，并已知在较高温度下每个格波的平sin(_)njjjjjatnaq=+j均能量为均能量为，具体计算每个原子的平方平均位移。，具体计算每个原子的平方平均位移。kT解解任意一个原
24、子的位移是所有格波引起的位移的叠加，即（1）sin()nnjjjjjjjatnaq=+2*2*nnjnjnjnjnjjjjjj=+i由于数目非常大为数量级，而且取正或取负几率相等，因此上式得第 2 项与第一项njnj相比是一小量，可以忽略不计。所以22nnjj=由于是时间 的周期性函数，其长时间平均等于一个周期内的时间平均值为njt（2）02220011sin()2TjjjjjjatnaqdtaT=+=已知较高温度下的每个格波的能量为 kT，的动能时间平均值为nj002222200000111sin()224LTTnjjjnjjjjjjjdw aTdxdtLatnaqdtw LaTdtT=+=
25、其中 L 是原子链的长度，使质量密度，为周期。0T所以（3）221142njjjTw LaKT=因此将此式代入（2）式有22njjKTPL=所以每个原子的平均位移为22221nnjjjjjjKTKTPLPL=3.23.23.23.2讨论讨论 N N N N 个原胞的一维双原子链个原胞的一维双原子链( ( ( (相邻原子间距为相邻原子间距为 a)a)a)a)，其，其 2N2N2N2N 个格波解，当个格波解，当 M=mM=mM=mM=m 时与时与一一维单原子链结果一一对应维单原子链结果一一对应解解质量为 M 的原子位于2n-1， 2n+1， 2n+3 。质量为 m 的原子位于2n，2n+2，2n+
26、4 。固体物理习题解答感谢大家对木虫和物理版的支持！11牛顿运动方程2221212121222(2)(2)nnnnnnnnmM+= = 体系有 N 个原胞，有 2N 个独立的方程方程的解2221212121222(2)(2)nnnnnnnnmM+= = (2) 2(21)21itna qnitnaqnAeBe+=A, B 有 非零解2222cos02cos2maqaqM=12222()41 1sin ()mMmMaqmMmM+=+ 两种不同的格波的色散关系12222()41 1sin ()mMmMaqmMmM+=+12222()41 1sin ()mMmMaqmMmM+=+对应一个 q 有两支
27、格波：一支声学波和一支光学波 总的格波数目为 2NM=m4cos2aqm+=4sin2aqm=长波极限情况下0qsin()22qaqa(2)qm=与一维单原子晶格格波的色散关系一致22(2)(2cos)0(2cos)(2)0mAaq Baq AMB=+=固体物理习题解答感谢大家对木虫和物理版的支持！123.33.33.33.3考虑一双原子链的晶格振动，链上最近邻原子间力常数交错的等于考虑一双原子链的晶格振动，链上最近邻原子间力常数交错的等于c c c c 和和 10101010 c c c c令两种令两种原子质量相同，且最近邻间距为原子质量相同，且最近邻间距为求在求在和和处的处的大略地画出色散
28、关大略地画出色散关2a0k=ka=( )k系本题模拟双原子分子晶体，如系本题模拟双原子分子晶体，如。2H解解a/2C10c1su1svsusv1su+1sv+，()()21210sssssd uMC VuC Vudt=+()()21210,sssssd VMC uVC uVdt+=+将代入上式有,.isKai tisKai tssuueeVVee=()()221011,1011,ikaikaMuCeVCuMVC euCV=+=+是 U，v 的线性齐次方程组，存在非零解的条件为=0，解出2211 ,(10)(10),11iKaiKaMC CeC eMC+()242222220(1)011121
29、20 1.MMCCconKaCconKaM+=当 K=0 时，当 K=时/a2222/,0,C M+=2220/,2/,C MC M+=与的关系如下图所示这是一个双原子(例如)晶体2K2H3.4考虑一个全同离子组成的平面格子，用记第l行，第m列的原子垂直于格平面的lmU位移，每个原子质量为M，最近邻原子的里常数为c（a）证明运动方程为() ()mlmlmlmlmlmlmluuuuuucdtudM,1,1, 1, 12,222+=+（b）设解的形式为。 这里 a 是最近邻原子的间距， 证明( )()tamkalkiuuyxml+=exp0,固体物理习题解答感谢大家对木虫和物理版的支持！13运动方
30、程是可以满足的，如果。这就是问题的色散关系()akakcMyxcoscos222=（c）证明独立解存在的k k k k空间区域是一个边长为的正方形，这就是平方格子的第 1 布a2里渊区，构出k=kx，而ky=0时，和kx=ky时的图k（d）对于，证明1akkMcakkMcayx2222=+=解解 （a）对于 0 原子（）考虑左右上下原子与其相对位移有lmU()()()()mllmlmmllmlmlmlmlmUUCUUCUUCUUCUM1111+= ()()lmmlmllmlmlmlmUUUCUUUCUM221111+=+ （b）由题知为平面格子运动方程的解，故( )()tamkalkiUUyx
31、ml+=exp0,( )()()tamkakliUUyxml+=+1exp0, 1( )()()tamkakliUUyxml+=1exp0, 1( )()()takmalkiUUyxml+=+1exp01,( )()()takmalkiUUyxml+=1exp01,将上式嗲如平面运动方程可得色散关系()akakcMyxcoscos222=（c）由色散关系周期性边界条件知道故在独立解存在的kaakx,aaky,空间区域为一边长为的正方形，即二维方正格子的第一布里渊区。a2k=kx而ky=0时()kacMcos222=kx=ky时()=2cos22cos222kacakcMx（d）对于ka1，由(
32、)212sin21coscos22222akkakaakMcx=即()yxyxkkMcakakMc+=2212122222()kMcakkMcayx22=+=3.53.53.53.5 已知某离子晶体每对离子平均互作用能为已知某离子晶体每对离子平均互作用能为其中马德隆常数其中马德隆常数nrrqru+=2)(固体物理习题解答感谢大家对木虫和物理版的支持！14，平衡离子间距，平衡离子间距。9,75. 1=nA82. 20=r 试求离子在平衡位置附近的振动频率。试求离子在平衡位置附近的振动频率。 计算与该频率相当的电磁波的波长，并与计算与该频率相当的电磁波的波长，并与 NaClNaClNaClNaCl
33、红外吸收频率的测量值红外吸收频率的测量值进行进行比比u61较。较。解：解： 把一对 NaCI 离子看成一对谐振子，其振动势能可表示为(1)20021ru=其中为力常数。它与振动频率有如下关系.(2)2=其中，(3)Mm111+=(1)式左边为每对离子的平均作用能。0u因为041020020=+=nrrrncreru所以(4)nrercn140020=JnreruEb1800201027. 1)11 (4)(=+=由(1)(2)(3)式得)11(222020Mmurr+=把数值代入得131025. 5=所以1121035. 82=sv 波长。与吸收频带的关察值mmvc361059. 31035.
34、 81035128=很接近。m61=3.63.63.63.6计算一维单原子链的频率分布函数计算一维单原子链的频率分布函数( ) 固体物理习题解答感谢大家对木虫和物理版的支持！15解解设单原子链长度LNa=波矢取值每个波矢的宽度2qhNa=2Na状态密度dq 间隔内的状态数2Na2Nadq 对应取值相同，间隔内的状态数目,q d( )22Naddq =一维单原子链色散关系224sin ()2aqm=令04m=0sin()2aq=两边微分得到0cos()22aaqddq=220cos()12aq=2202addq=2202addq=2202ddqa=代入( )22Naddq =22012Nd=一维
35、单原子链的频率分布函数22021( )N =3.73.73.73.7设三维晶格的光学振动在设三维晶格的光学振动在q=0q=0q=0q=0 附近的长波极限有附近的长波极限有20( )qAq=求证：频率分布函数为求证：频率分布函数为; ; ; ;()1/20023/21( ),4VfA=解解()11222200000 ( )0,0AqfAqqA=时，依据，并带入上边结果有()3( )2,( )( )2qqVdsqAq fq= =( )()()()()()()1/21/200331/2223/201142( )222qVdsVAVfAAq =固体物理习题解答感谢大家对木虫和物理版的支持！16所以()
36、222222222,222BxyKKmmaama=+=+=B点能量/2BA=3.83.83.83.8有有 N N N N 个相同原子组成的面积为个相同原子组成的面积为 S S S S 的二维晶格，在德拜近似下计算比热，并论述在的二维晶格，在德拜近似下计算比热，并论述在低低温极限比热正比于温极限比热正比于。2T证明：证明：在到间的独立振动模式对应于平面中半径到间圆环的面积kkdk+nndn+，且则2ndn( )22532222Lsndnkdkkdkdv =即()()233220/222220333212121mDDBBxBBBBk Tk TxDDds k Ts k Tk Tk Tsdx dxEE
37、veveve=+=20,()vsETETCTT=3时，3.93.93.93.9 写 出 量 子 谐 振 子 系 统 的 自 由 能 ， 证 明 在 经 典 极 限 下 ， 自 由 能 为 写 出 量 子 谐 振 子 系 统 的 自 由 能 ， 证 明 在 经 典 极 限 下 ， 自 由 能 为0qBnqBFUk Tk T+证明证明: : : :量子谐振子的自由能为112qBqk TBnqBFUk Tek T=+经典极限意味着（温度较高）BTgk 应用21.xexx= +所以21.qBqqk TBBek Tk T= +因此011 12qqqBnBnqqBBFUk TUk Tk Tk T+ +其中
38、012qqUU+3.103.103.103.10 设晶体中每个振子的零点振动能为设晶体中每个振子的零点振动能为，使用德拜模型求晶体的零点振动能。，使用德拜模型求晶体的零点振动能。12证明证明: : : :根据量子力学零点能是谐振子所固有的，与温度无关，故 T=0K 时振动能就是各振0E动模零点能之和。和代入积( ) ( )( )000012mEEgdE=将( )22332sVgv=固体物理习题解答感谢大家对木虫和物理版的支持！17分有，由于402339168mmsVENv=098mBDBDkENk=得一股晶体德拜温度为，可见零点振动能是相当大的，其量值可与温升数百度所需热210K能相比拟3.1
39、13.113.113.11一维复式格子一维复式格子2415 1.67 10,4,1.5 10/MmgN mm= =4( 1.51 10/),dyn cm即求（求（1 1 1 1） ，光学波） ，光学波，声学波，声学波。00maxmin,maxA（2 2 2 2） ，相应声子能量是多少电子伏。） ，相应声子能量是多少电子伏。（3 3 3 3） ，在） ，在300k300k300k300k 时的平均声子数。时的平均声子数。（4 4 4 4） ，与） ，与相对应的电磁波波长在什么波段。相对应的电磁波波长在什么波段。0max解解 （1） ，4131max2422 1.5 10/3.00 10,4 5
40、1.67 10Adyn cmsM= ()()424131max242422 1.5 104 551.67 10/6.70 104 5 1.67 105 1.67 10oMmdyn cmsMm+ += 4131max2422 1.5 10/5.99 105 1.67 10Adyn cmsm=（2）161312max161312max161312min6.58 105.99 101.97 106.58 106.70 104.41 106.58 103.00 103.95 10AooseVseVseV=（3）maxmaxmaxmax/110.873,0.22111AOBBAOk Tk Tnnee=m
41、inmin/10.2761OBOk Tne=（4）228.1cm=固体物理习题解答感谢大家对木虫和物理版的支持！18第四章第四章第四章第四章习习习习 题题题题4.14.14.14.1根据根据根据根据状态简并微扰结果，求出与状态简并微扰结果，求出与状态简并微扰结果，求出与状态简并微扰结果，求出与及及及及相应的波函数相应的波函数相应的波函数相应的波函数及及及及。说明它们。说明它们。说明它们。说明它们ka= EE+都代表驻波，并比较两个电子云分布（即都代表驻波，并比较两个电子云分布（即都代表驻波，并比较两个电子云分布（即都代表驻波，并比较两个电子云分布（即）说明能隙的来源）说明能隙的来源）说明能隙的
42、来源）说明能隙的来源( ( ( (假设假设假设假设= = = =) ) ) )。2nV*nV解解令，简并微扰波函数为ka= +ka = 00( )( )kkAxBx=+0*( )0nEkE A V B+=取( )00nV AEkE B+=EE+=带入上式，其中0( )nEEkV+=+V(x)0,从上式得到 B= -A,于是0nV01( )ssik RssRNearestEkJJe= 任选取一个格点为原点 最近邻格点有 12 个12 个最邻近格点的位置,022,022,022,022aaaaaaaa0,220,220,220,22aaaaaaaa,0,22,0,22,0,22,0,22aaaaa
43、aaa固体物理习题解答感谢大家对木虫和物理版的支持！21022saaRijk=+01( )ssik RssRNearestEkJJe= () (0 )22()2(cossin)(cossin)2222xyzsxyaai k ik j k kijkik Raikkyyxxeek ak ak ak aeii+= 类似的表示共有 12 项 归并化简后得到面心立方 s 态原子能级相对应的能带01( )4(coscoscoscoscoscos)222222ssyyxxzzEkJk ak ak ak ak ak aJ=+对于体心立方格子任选取一个格点为原点 有 8 个最邻近格点 最近邻格点的位置,222,
44、222,222,222aaaaaaaaaaaa ,222,222,222,222aaaaaaaaaaaa222saaaRijk=+01( )ssik RssRNearestEkJJe= () ()()2222(cossin)(cossin)(cossin)222222xyzxyzsaaaai k ik j k kijkikkkik Ryyxxzzeeek ak ak ak ak ak aiii+= 类似的表示共有 8 项归并化简后得到体心立方 s 态原子能级相对应的能带01( )8cos(/2)cos(/2)cos(/2)ssxyzEkJJk ak ak a=4.54.54.54.5用用|n|
45、n|n|n表示一维晶格的第表示一维晶格的第n n n n个格点的个格点的s s s s态，在只计入近邻作用的紧束缚近似下，写出态，在只计入近邻作用的紧束缚近似下，写出矩矩阵元阵元的表达式的表达式固体物理习题解答感谢大家对木虫和物理版的支持！22解解 对于N个原子组成的相同一维晶格，第n个院子的位矢为，当作为孤立原子时，其 snx态电子的球对称性势能函数为，设归一化的波函数为，能量为，在()nxxu()nxx( )0E晶格中该电子的势能函数为，电子态是N度简并的，考虑微扰后的零级近似波函数为( )xv其中与有关不是的函数，根据 Bloch 定理，波函数可以( )()nnknkxxCx=knCkn
46、x写成即( )()()()nnxk innxxk ixk ikxxexxeexnnn=xk ikneC=薛定谔方程为()( )xExxHknk=其中( )()( )()HHxxurvxxumrvmHnn+=+=+=2202222其中为微扰项，在附近非常小，而在离较远处，( )()Hxxurvn=nxHnx()nxx又非常小，所求能量的一级近似为所求矩阵元( )( )( )( )=dxxdxHxEkkkk*( )( )( )()( )( )()()( )( )( )()()( )()()()( )()()()+=+=+=+=+=0( )( )()()bnaikbanaikJJkEi+=expex
47、p010( )( )+=2exp2exp212exp010aikaikbanikJJkEi( )( )+=2cos212exp2010aikbanikJJkEi4.74.74.74.7有一一维单原子链，间距为有一一维单原子链，间距为a a a a，总长度为，总长度为 NaNaNaNa。（1 1 1 1）用紧束缚近似求出原子）用紧束缚近似求出原子 s s s s 态能级对应的能带态能级对应的能带 E(k)E(k)E(k)E(k)函数。函数。（2 2 2 2）求出其能态密度函数的表达式。）求出其能态密度函数的表达式。（3 3 3 3）如果每个原子）如果每个原子 s s s s 态只有一个电子，求等
48、于态只有一个电子，求等于 T=0KT=0KT=0KT=0K 的费米能级的费米能级及及处的能态密度。处的能态密度。0FE0FE解：解：010101(1),( )()2cos2cosikaikassE kJJ eeJJkaEJka=+=0( )()sik RsE kEJJ p e=(2) ,1121( )2222sinsinLdkNaNN EdEJ akaJka=(3),0000022 ( ) 22222FkFFFNakNaNkdkkka=000111()2cos,()2sin2FFsFNNEE kEJaE N EaJJaa=4.84.84.84.8(1)(1)(1)(1)证明一个自由简单晶格在第
49、一布里渊区顶角上的一个自由电子动能比该区一证明一个自由简单晶格在第一布里渊区顶角上的一个自由电子动能比该区一边中点大边中点大 2 2 2 2 倍倍(2)(2)(2)(2)对于一个简单立力晶格在第一布里渊区顶角上的一个自由电子动能对于一个简单立力晶格在第一布里渊区顶角上的一个自由电子动能比该区面心上大多少？比该区面心上大多少？(3)(2)(3)(2)(3)(2)(3)(2)的结果对于二价金属的电导率可能会产生什么影响的结果对于二价金属的电导率可能会产生什么影响7 7 7 7解 （1）二维简单正方晶格的晶格常数为 a，倒格子晶格基矢22,Ai Bjaa=第一布里渊区如图所示固体物理习题解答感谢大家
50、对木虫和物理版的支持！24a0aa()2222,.,2BxyziBKijaaaKKKm=+=+A区边中点的波矢为K角顶 点的波矢为自由电子能量222222,222AxKmmama=A点能量22;2Ama=A点能量()22222222223,222BxyzKKKmmaaama=+=+=B点能量所以/3BA=(3)如果二价金属具有简单立方品格结构，布里渊区如图 72 所示根据自由电子理论，自由电子的能量为，FerM 面应为球面由(2)可知，内()22222xyzKKKm=+切于 4 点的内切球的体积，于是在 K 空间中，内切球内能容纳的电子数为343a固体物理习题解答感谢大家对木虫和物理版的支持！
51、25其中()33421.047332VNNa =3VNa=二价金属每个原子可以提供2个自由电子， 内切球内只能装下每原子1.047个电子 ，余下的 0.953 个电子可填入其它状态中如果布里渊区边界上存在大的能量间隙，则余下的电子只能填满第一区内余下的所有状态(包括 B 点)这样，晶体将只有绝缘体性质 然而由(b)可知，B 点的能员比 A 点高很多， 从能量上看， 这种电子排列是不利的 事实上，对于二价金属，布里渊区边界上的能隙很小，对于三维晶体，可出现一区、二区能带重迭这样，处于第一区角顶附近的高能态的电子可以“流向”第二区中的能量较低的状态，并形成横跨一、二区的球形 Ferm 面因此，一区
52、中有空态存在，而二区中有电子存在， 从而具有导电功能 实际上， 多数的二价金届具有六角密堆和面心立方结构 ，能带出现重达，所以可以导电4.94.94.94.9半金属交叠的能带半金属交叠的能带22111122220022( )(0),0.182( )()() ,0.062kE kEmmmE kE kkkmmm=+=其中其中为能带为能带 1 1 1 1 的带顶，的带顶，为能带为能带 2 2 2 2 的带底的带底1(0)E20()E k120(0)()0.1EE keV=由于能带的交叠，能带由于能带的交叠，能带 1 1 1 1 中的部分电子转移到能带中的部分电子转移到能带 2 2 2 2 中，而在能
53、带中，而在能带 1 1 1 1 中形成空穴，中形成空穴，讨论讨论 T=0KT=0KT=0KT=0K 的费密能级的费密能级解解半金属的能带 1 和能带 2能带 1 的能态密度221112222002( )(0)2( )()()2kE kEmE kE kkkm=+固体物理习题解答感谢大家对木虫和物理版的支持！2613( )2(2 )kVdSN EE=21kkEm=1112(0)( )/kEEE km=13( )2(2 )kVdSN EE=2131114( )2(2 )2(0)( )/VkN EEE km=()1113212222( )(0)( )2VmN EEE k= 同理能带 2 的能态密度()
54、22210322222( )( )()2VmN EE kE k=如果不发生能带重合，电子刚好填满一个能带由于能带交叠，能带 1 中的电子填充到能带 2 中，满足01(0)02()012( )( )FFkEEEEN E dENE dE=1(0)0312112222()(0)( )(2 )FEEmVEE k dE=02()03222202222()( )()(2 )FkEEmVE kE k dE01(0)02()03/23/23/23/21112220(0)( )( )()FFkEEEEmEE kmE kE k=0011220(0)()FFm EEm EE k=01122012(0)()Fm Em
55、 E kEmm+=+120.18,0.06mm mm=120(0)()0.1EE keV=020()0.075FEE keV=+4.104.104.104.10向铜中掺锌，一些铜原子将被锌原子所取代，采用自由电子模型，求锌原子与铜原向铜中掺锌，一些铜原子将被锌原子所取代，采用自由电子模型，求锌原子与铜原子子之比为什么值是，费米球与第一布里渊区边界相接触？（铜是面心立方晶格，单价，锌是之比为什么值是，费米球与第一布里渊区边界相接触？（铜是面心立方晶格，单价，锌是二价）二价）解解 设锌原子个数与总原子个数之比为m，则有()NkVF=33342232234433amVNkF+=面 心 立 方 倒 格
56、 子 为 体 心 立 方 ， 格 常 数 为， 111 方 向a/4固体物理习题解答感谢大家对木虫和物理版的支持！27aak32121212222min=+=相切时有，minkkF=143=m所以锌原子与铜原子之比为83431+=mm4.114.114.114.11三维简单立方晶格，立方原胞变成为三维简单立方晶格，立方原胞变成为a a a a，试用简约布里渊区表示自由电子能量，定，试用简约布里渊区表示自由电子能量，定性性画出沿画出沿轴与留个近邻倒格点相对应的自由电子轴与留个近邻倒格点相对应的自由电子E(k)E(k)E(k)E(k)函数函数X解解 简单立方晶格的晶格常数为 a，倒格子基矢为，ia
57、A2=jaB2=kaC2=倒格子仍然是简单立方格子，如下图自由电子能量为，为广延波矢，不一定在简约去中，但一定可以找到位( )( )mkkE2220=k移的一个倒格矢，使得，是简约波矢，则nGnGkk=k( )( )( )()22200nnnnGkmGkEkE+=+=对于三维简单立方格子( )( )+=222222220zzyyxxnnaknaknakmkEk为简约波矢，为简单起见，去k的单位为，的单位是a/( )( )kEn0222am固体物理习题解答感谢大家对木虫和物理版的支持！28则对于方向，且取( )( ) ()()()2222220zzyyxxnnknknkkE+=Xxxkk=0=z
58、ykk内讨论，则10()()()()()()()()1111,1111;221111,1111;22CGC KGCGCGC KGCG=+()()()()()()11121112111111022111111022GGCGUCGCGUCG=+=，因为()()111211120GGuu=()()()222211211112211122GGGmma=22222()0,UUUma =由行列式有解得 =2 .u =+所以在（,-）处的能隙为=aa2)简单立方晶格的晶格常数为a，倒格子基矢为222,Ai Bj Ckaaa=第一布里渊区如图72所示4.134.134.134.13 证明面心立方晶体的证明面心
59、立方晶体的s s s s带紧束近似下的带紧束近似下的E(k)E(k)E(k)E(k)函数， 在沿着布里渊区几个住对此轴防线函数， 在沿着布里渊区几个住对此轴防线， ，可以约华成以下形式可以约华成以下形式(1): 沿X 方向（,）akx2=, 0=yxkk10()cos214+=ssE(2): 沿L 方向,（，）ZyxKKak=22/102cos12=ssE(3): 沿K 方向,（, kz=0，）yxkak=24/30()cos2cos42+=ssE固体物理习题解答感谢大家对木虫和物理版的支持！30(4): 沿W 方向,（,，）akx2=akkyz221, 0=10+=2coscos2cosco
60、s4ssE解：解：面心立方点阵最紧邻近似下 S 的电子紧束缚近似能带为( )+=akakakakakakEkzyzxyxs21cos21cos21cos21cos21cos21cos4(1): 沿X 方向,将,代入（1）得 :akx2=, 0=yxkk( )+=akakakakakakEkzyzxyxs21cos21cos21cos21cos21cos21cos4=()cos214+sE(2):沿 L方 向, 将, 代 入 （1 ） 得:ZyxKKak=2( )+=akakakakakakEkzyzxyxs21cos21cos21cos21cos21cos21cos4=212COSEs(3):
61、 沿K 方向,将,kz=0 代入（1）得 :yxkak=2( )+=akakakakakakEkzyzxyxs21cos21cos21cos21cos21cos21cos4=()cos242+COSEs(4): 沿W 方向,将,代入（1）得 :akx2=akkyz221, 0=( )+=akakakakakakEkzyzxyxs21cos21cos21cos21cos21cos21cos4=+2coscos2coscos4sE固体物理习题解答感谢大家对木虫和物理版的支持！31第五章第五章第五章第五章习习习习 题题题题5.15.15.15.1设一维晶体的电子能带可以写成设一维晶体的电子能带可以写
62、成2271( )(coscos2)88E kkakama=+其中其中 a a a a 为晶格常数，计算为晶格常数，计算1 1 1 1） 能带的宽度能带的宽度2 2 2 2） 电子在波矢电子在波矢 k k k k 的状态时的速度的状态时的速度3 3 3 3） 能带底部和能带顶部电子的有效质量能带底部和能带顶部电子的有效质量解解1) 能带的宽度的计算2271( )(coscos2)88E kkakama=+能带底部0k=(0)0E=能带顶部ka=222()Eama=能带宽度()(0)EEEa=222ma=2）电子在波矢 k 的状态时的速度2271( )(coscos2)88E kkakama=+电
63、子的速度1( )( )dE kv kdk=1( )(sinsin2)4v kkakama=3) 能带底部和能带顶部电子的有效质量2271( )(coscos2)88E kkakama=+电子的有效质量2*22/Emk=cos(1/2)cos2mkaka=能带底部有效质量0k=*2mm=能带顶部有效质量ka=*23mm= 5.25.25.25.2晶格常数为晶格常数为的一维晶格，当外加的一维晶格，当外加和和电场是，试分别估算电子电场是，试分别估算电子A5 . 2mV/102mV/107自能带底运动到能带顶所需要的时间自能带底运动到能带顶所需要的时间固体物理习题解答感谢大家对木虫和物理版的支持！32
64、解解 对晶体施加压力电场，电子在电场作用下不断改变状态，表现为电子在空间的运动，k有晶体中电子运动的准经典运动方程Eedtkd=则电子在空间的速度kEedtkd=顶与带底相距故所需时间aEaeEeat=时mVE/1021=st8103 . 8=时mVE/1072=st13103 . 8=5.35.35.35.3试证在磁场中运动的布拉格电子，在试证在磁场中运动的布拉格电子，在k k k k空间中轨迹面积空间中轨迹面积和在和在r r r r空间的轨迹面积空间的轨迹面积nSnA之间的关系为之间的关系为nnSqBcA2=解解 电子在磁场中运动受到洛伦兹力作用，有晶体运动准经典运动方程()=Bdtrdc
65、eBvcedtkd11对t积分Brekc=在垂直于B的平面内keBcr=所以，电子在k空间中的轨道面积和r空间中的轨道面积之间有nnSqBcA2=5.45.45.45.4（1 1 1 1）根据自由电子模型计算钾的德）根据自由电子模型计算钾的德. . . .哈斯哈斯- - - -范范. . . .阿尔芬效应的周期阿尔芬效应的周期B1（2 2 2 2） 对于对于 B1=TB1=TB1=TB1=T，在其实空间中电子运动轨迹的面积有多大？，在其实空间中电子运动轨迹的面积有多大？解解 （1）FSqB21=222LNSF=二维自由电子气费米圆的面积2FFkS=三维k空间形成一系列圆柱面， 每当有一个圆柱面
66、恰好与费米球相切是， 系统能量增量最大 ，使得带脑子系统能量增量随着呈现周期变化，周期取决于最大截面，钾的EB/1FS固体物理习题解答感谢大家对木虫和物理版的支持！33222602. 0=qkSFF34219102602. 0055. 1102602. 11=aBa为体心立方晶胞的边长（2）TB1=21510905362=mqSF在真空空间中电子运动轨迹的面积214221008. 442mSkSFF=5.55.55.55.5设电子等能面为椭球设电子等能面为椭球222222312123( )222kkkE kmmm=+外加磁场外加磁场 B B B B 相对于椭球主轴方向余弦为相对于椭球主轴方向余
67、弦为,1 1 1 1） 写出电子的准经典运动方程写出电子的准经典运动方程2 2 2 2） 证明电子绕磁场回转频率为证明电子绕磁场回转频率为。其中。其中*qBm=*123222123m m mmmmm=+解解恒定磁场中电子运动的基本方程( )dkqv kBdt= 电子的速度1( )( )kv kE k=电子能量222222312123( )222kkkE kmmm=+123123( )kEEEE kkkkkkk=+222312123123( )kkkkE kkkkmmm=+电子的速度312123123( )kkkv kkkkmmm=+磁感应强度123()BB kkk=+电子运动方程( )dkqv
68、 kBdt= 应用关系123kkk=固体物理习题解答感谢大家对木虫和物理版的支持！34312123123123() ()kkkdkqBkkkkkkdtmmm= + 电子运动方程312233213131212()()()kdkkqBdtmmkdkkqBdtmmdkkkqBdtmm= = = 312233213131212()0()0()0kdkkqBdtmmkdkkqBdtmmdkkkqBdtmm+=+=+=令000112233,i ti ti tkk ekk ekk e=312233213131212()0()0()0kdkkqBdtmmkdkkqBdtmmdkkkqBdtmm+=+=+=00
69、0123230002313100031212000qBqBi kkkmmqBqBi kkkmmqBqBi kkkmm+=+=+=有非零解，系数行列式为零000123,kkk000123230002313100031212000qBqBi kkkmmqBqBi kkkmmqBqBi kkkmm+=+=+=2313120qBqBimmqBqBimmqBqBimm=2222222231213()()()0qBqBqBim mm mm m+=无意义0=旋转频率222231213111qBm mm mm m=+222123123mmmqBm m m+=*qBm=其中123222123*m m mmmmm
70、=+5.65.65.65.6若已知若已知，导出，导出 k=0k=0k=0k=0 点上的有效质量张量，并找出点上的有效质量张量，并找出( )()xzzyyxkkkkkkcAkkE+=2固体物理习题解答感谢大家对木虫和物理版的支持！35主轴方向主轴方向解解 先求导有效质量张量=ACCCACCCAp22202222=ACCCACCCAApCA=221CA223+=故求导有效质量张量为+CACACA22000200021k=0时的有效质量张量为+CACACA22100021000212接着求主轴方向()0=XEP时得，CA=2210=zyxCCCCCCCCC=1011=0112时，同理可得，但和不正交
71、，故需正交化CA223+=111312，则=10111()()=121211111222单位化得三个主轴方向=10121111=12161222=11131333固体物理习题解答感谢大家对木虫和物理版的支持！36第六章第六章第六章第六章习习习习 题题题题6.16.16.16.1HeHeHeHe3 3 3 3的自旋为的自旋为 1/21/21/21/2，是费米子。液体，是费米子。液体 HeHeHeHe3 3 3 3在绝对零度附近的密度为在绝对零度附近的密度为 0.081gcm0.081gcm0.081gcm0.081gcm-3-3-3-3. . . .计算费计算费米米能能 E E E EF F F
72、 F和费米温度和费米温度 T T T TF F F F解解 在绝对零度时，近似等触面为球面()23081. 0342233=AFNVNkVJmkEFF1822109545. 02=()183/121025. 1324. 0=cmNkAFKKJJkETBFF42318109 . 6/1038. 1109545. 0/=6.26.26.26.2 在低温下金属钾的摩尔热容量的实验结果可写成在低温下金属钾的摩尔热容量的实验结果可写成32.082.57/eCTTmJ mol K=+如果一个摩尔的金属钾有如果一个摩尔的金属钾有个电子，求钾的费米温度个电子，求钾的费米温度236 10N=FT解解一摩尔的电子
73、对热容的贡献200()2BVBFk TCNkE=与实验结果比较32.082.57/eCTTmJ mol K=+20()2BBBFk TNkk T32.08 10/mJ mol K=费米温度203196242 2.08 10BFkTNK=6.36.36.36.3若将银看成具有球形费米面的单价金属，计算以下各量若将银看成具有球形费米面的单价金属，计算以下各量1)1)1)1)费密能量和费密温度费密能量和费密温度2 2 2 2） 费米球半径费米球半径3 3 3 3） 费米速度费米速度4 4 4 4） 费米球面的横截面积费米球面的横截面积5 5 5 5） 在室温以及低温时电子的平均自由程在室温以及低温时
74、电子的平均自由程解解1）费密能量2022/3(3)2FEnm=210/3(3)Fkn=固体物理习题解答感谢大家对木虫和物理版的支持！376293313410.5100.586 10/107.879.11 101.05 10AnNmmkgJ s=0198.82 105.5FEJeV=费密温度046.4 10FFBETKk=2)费密球半径020()2FFkEm=0022FFmEk=0198.82 10FEJ=01011.2 10Fkm=3)费密速度0FFkvm=61.38 10Fvm s=4)费密球面的横截面积是与 z 轴间夹角02022(sin )sinFFSkk=Fk 021/3(3)Fkn=
75、2223(3) sinSn=5)在室温以及低温时电子的平均自由程电导率1=20()1FnqEm=驰豫时间02()FmEnq=平均自由程0()FFlvE=2Fmvlnq =2Fknq =0 K 到室温之间的费密半径变化很小01011.2 10FFkkm=平均自由程将代入02Fklnq =1929334010162956201.6 100.586 10/1.05 101.2 101.61 100.038 10FTKTKqCnmJ skmcmcm=82955.24 1052.4TKlmnm=固体物理习题解答感谢大家对木虫和物理版的支持！3863202.2 102.2 10TKlmnm=6.46.46
76、.46.4设设 N N N N 个电子组成简并电子气，体积为个电子组成简并电子气，体积为 V V V V，证明，证明 T=0KT=0KT=0KT=0K 时时1 1 1 1） 每个电子的平均能量每个电子的平均能量035FUE=2 2 2 2） 自由电子气的压强满足自由电子气的压强满足23pVNU=解解自由电子的能态密度3/21/222( )4()mN EVEh=T=0 K，费米分布函数001()( )0()FFEEf EEE=电子总数0( ) ( )NN E f E dE=电子平均能量0003/21/220( )24()FFEEEN E dEUmVEdEh=035FUE=将电子气看作是理想气体，
77、压强23pnU=23NpUV=23pVNU=6.56.56.56.5如果弛豫时间如果弛豫时间r(k)r(k)r(k)r(k)为一与为一与k k k k无关的常数。说明在电场中的一级近似解无关的常数。说明在电场中的一级近似解f f f f0 0 0 0+f+f+f+f1 1 1 1，实际表明，实际表明整个平衡分在整个平衡分在k k k k空间平移了一定的距离。空间平移了一定的距离。解解: : : : 定态问题的波尔兹曼方程见教材 296 页（655）式。如果采取弛豫时间近似并仅加上电场，设电场强度为，则波尔兹曼方程可以简化为（即书上 297 页（658）式）(1)0ffef= k k k k由此
78、可以得到(2)0efff=+ k k k k一般来说， 不是很大，是弱场。所以f和f0差别不大，因此（2）式右端的f可以用f0代替，所以（2）式可以写成(3)00feff=+ k k k k对比数学公式(4)()( )0ffrdrfrdrr+=+则（3）式可以化为固体物理习题解答感谢大家对木虫和物理版的支持！39(5)( )0eff=+kkkkkkkk 从（5）式可以看出来，由于认为弛豫时间是一个与k k k k无关的常数，所以整个分布函数在k k k k空间平移了一定的距离。6.66.66.66.6考虑球形等能面的一阶金属（布里渊区半满） ，设布里渊区的形状为简单立方，具体考虑球形等能面的一
79、阶金属（布里渊区半满） ，设布里渊区的形状为简单立方，具体估估计，电子为格波散射，在大多的散射角之内，旋转定则中计，电子为格波散射，在大多的散射角之内，旋转定则中G G G Gn n n n=0=0=0=0解解: : : : 设波矢为k k k k的电子发射或是吸收动量为q q q q的声子之后波矢变为k k k k ， 由于声子同时具有能量和动量，所以电子的能量和动量均不守恒。但是，由于一般来说声子所携带的能量相对于电子不大，所以这里近似认为电子发射或是吸收声子之后只改变动量，能量不变，即，其中kf为费米波矢。换句话说，这里仅仅考虑弹性散射，波矢大小保持不变fk=kkkkkkkk但方向改变，
80、并且散射发生在费米面上。由于Gn=0，所以这里的电子声子的散射过程是一个正常过程（N过程） ，也就是电子散射前后其动量和声子的动量都在第一布里渊区。 如果以带箭头的直线代表电子线， 弯曲线代表声子线，则动量关系如右图所示（方框代表第一布里渊区，需要注意的是图中没有给出费米面） 。动量三角形是一个等腰三角形。设最大的散射角为1，则(1)112sin2fkq=对声子的处理取德拜模型，此时q有最大值qmax，由第三章的只是可以求得，对于单价原子的金属可以求得，其中是晶胞的体积。1/32max6q=1/323fk=由（1）式可以得到1/31max1sin/22/22fqk=即()1/312arcsin
81、 2/279=所以在以内的范围中，选择定则中的Gn=0。796.76.76.76.7利用波尔兹曼方程的弛豫时间近似解法利用波尔兹曼方程的弛豫时间近似解法（1 1 1 1）证明弱磁场并不改变电子的平衡分布，并说明其反映的物理图像证明弱磁场并不改变电子的平衡分布，并说明其反映的物理图像（2 2 2 2）若电场若电场，磁场为，磁场为，求出含，求出含E E E E一次方程的近似解一次方程的近似解()0 ,yxE=()0, 0 , 0HH=固体物理习题解答感谢大家对木虫和物理版的支持！40解解: : : :(1)，设磁感应强度为 B，则在电场磁场同时存在的情况下应该有(1)()dedt= +k k k
82、k vBvBvBvB波尔兹曼方程写成(2)()0efff=+ vBvBvBvBk k k k一般外界电场和磁场对于电子的作用远小于晶体中原子对于电子的作用， 因而可以看成是弱场，所以（2）式右边的f 可以用f0 代替，由此（2）式可以写成(3)()00feff=+ vBvBvBvBk k k k由于(4)000fffEEE=v v v vkkkkkkkk将（4）式带入（3）式有(5)()0000ffefffeEE=+=+ vBvvBvvBvvBv v v v v因此，在一级近似下，磁场对分布函数没有贡献。其原因是在经典理论中，磁场只改变电子的运动方向，不改变电子的能量，所以从经典理论来看，磁场
83、不改变电子的分布函数。(2)，很显然由于一级近似下的(5)式与磁场无关，所以如果要体现磁场的影响，必须考虑更高阶的近似。设与磁场强度H H H H相应的磁感强度为B B B B = (0，0，B0)，而B B B B = 0H H H H，其中0为真空磁导率，以下求解时使用磁感强度B B B B，最后结果中再以H H H H代回。如前所述，由于一般情况下外场可以看成是弱场，所以非平衡态分布函数f与平衡态分布函数f0差别不大，可以对f进行展开，即(a)00fffE=+其中是一个小量。从第一问可以看到，的一级近似为，在一级近似下，磁1e= v v v v场对分布函数并无影响，如果想要求出含B B
84、B B一次方的解，则要求出的二级近似将(a)式代入(2)式，得到(6)()fefE=+ vBvBvBvBk k k k对(a)式两端求梯度，即(7)000ffffEE=+kkkkkkkkkkkkkkkk将（4）式代入（7）式右端第一项，并忽略掉包含的第二项（这是由于是一个小量，所以（7）式右边的第二项可以忽略。但是，最后一项是的导数项则不能忽略） ，应有固体物理习题解答感谢大家对木虫和物理版的支持！41(8)00fffEE=+v v v vkkkkkkkk将（8）式代入（6）式可以得到()000fffeEEE=+ vBvvBvvBvvBvk k k k即(9)()ee=+ v v v v vB
85、vBvBvBk k k k将（9）式右边最后一项中的近似的取为，并考虑到，其中/k k k k1/k k k k*m=kvkvkvkv*m是电子有效质量，计算时同时忽略掉包含的项，则（9）式可以简化为2 (10)()22*2eemm=+ kBkBkBkB k k k k将（10）式代入（a）式有（同时考虑到）0=BHBHBHBH(11)()22000*2feeffEmm=+ kHkHkHkH k k k k从上面的表达式可以看出，所求的f精确到了的一次项并同时体现了H H H H的影响。有第一问可知，弱磁场不改变电子的平衡分布，所以（11）式中没有出现单独的H H H H一次项。固体物理习题解
86、答感谢大家对木虫和物理版的支持！42第七章第七章第七章第七章习习习习 题题题题7.17.17.17.1InSbInSbInSbInSb 电子有效质量电子有效质量，介电常数，介电常数，晶格常数，晶格常数。试计。试计算 ；算 ；0.015emm=18=6.49aA=(1)(1)(1)(1)施主的电离能；施主的电离能；(2)(2)(2)(2)基态的轨道半径；基态的轨道半径；(3)(3)(3)(3)施主均匀分布，相邻杂质原子的轨道之间发生施主均匀分布，相邻杂质原子的轨道之间发生交交叠时，掺有的施主杂质浓度应高于多少？叠时，掺有的施主杂质浓度应高于多少？解 ：解 ：（1）由于施主电离能是氢原子电离能的D
87、EiE20*mm 倍，420*0.014 13.6()6.59 10 ()(17)iDm EEeVeVm =（2） ，22800002417 0.52( )6.31 10 ( )6.31 10 ( )*0.014maaAAmm em =（3） ，如果施主的电子与类氢基态轨道发生重叠，则均匀分布于中施主杂质浓度InSbDN就一定满足332028 311(2 )1,()4.98 10 ()2(2 6.31 10 )DDaNNma= =7.27.27.27.2设有两个价带，带顶均在设有两个价带，带顶均在k=0k=0k=0k=0且能量相等，带顶空穴有效质量有以下关系且能量相等，带顶空穴有效质量有以下关
88、系m m m m1 1 1 1=3m=3m=3m=3m2 2 2 2，定定性画出两者的性画出两者的E-kE-kE-kE-k图图解解根据带边有效质量与能带关系， 在能带极值处有效质量的大小反比于能带曲率的比例关系，即有效质量越大，能带开口越大，可以定性画出两者的E-k关系图7.37.37.37.3已知已知SiSiSiSi中只含施主杂质中只含施主杂质。 现在。 现在 40K40K40K40K 下测得电子浓度为下测得电子浓度为，试，试估估31510=cmND31210cm算施主杂质的电离能算施主杂质的电离能解解我们知道电子的浓度为(a)()TkEECBFCeNn/0=又因为在 40K 的低温下，载流
89、子将主要是有施主激发到导带的电子。在这种情况下，导带中电子数目显然和空的施主能级数目相等。因此(b)()()TkEEDDDBDFeNEfNn/0111+=固体物理习题解答感谢大家对木虫和物理版的支持！43由以上 a 和 b 两式可得(c)()TkEECDBDFeNnNn/001+=将 c 式中的导带底施主能级的能量差，显然它就是施主的电离能DCEE(d)DCiEEE=将 d 代入 c，并整理得到(e)()200lnnNnNTkECDBi=由于，而又知，故有2/3TNC()319106 . 2300=cmKNC()318192/310266. 1106 . 23004040=cmKNC由此可知施
90、主杂质的电离能为()eVJEi0722. 010156. 11010266. 11010ln4010381. 1202418121523=7.47.47.47.4某一某一 N N N N 型半导体电子浓度为型半导体电子浓度为，电子迁移率为，电子迁移率为。求其电阻。求其电阻率率315101cmsVcm/10002解解mnee=42.6210100010602. 1101011114196157.57.57.57.5已知已知 T=300KT=300KT=300KT=300K 硅的本征载流子浓度硅的本征载流子浓度硅的硅的 PNPNPNPN 结结 N N N N 区掺杂为区掺杂为310105 . 1=cmni，P P P P 区的掺杂为区的掺杂为，求平衡时的势垒高度，求平衡时的势垒高度316105 . 1=cmND318105 . 1=cmNA解解T=300K 时，硅 PN 结的接触电势差为( )()eVnNNeTkSiViADBD18. 0105 . 1105 . 1105 . 1ln10602. 130010381. 1ln210181619232=
