第九章振动习题及解答

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1、第九章 振动习题及解答 9.2.1 一刚体可绕水平轴摆动.已知刚体质量为 m，其重心 C 和轴 O 间的距离为 h，刚体对转动轴线的转动惯量为 I.问刚体围绕平衡位置的微小摆动是否是简谐运动？如果是，求固有频率，不计一切阻力.解： 刚体受力如图所示，规定逆时针为转动正方向， 为与 铅垂线（为平衡位置）的夹角，由对 的转动定理；因 很小故 9.2.2 轻弹簧与物体的连接如图所示，物体质量为 m，轻弹簧的劲度系数为 和 ，支承面是理想光滑面，求系统振 动的固有频率 . 解： 以物体 m 为隔离体,水平方向受 的弹性力 以平衡位置为原点建立坐标系 ，水平向右为 x 轴正方向。设 m 处于 点对两弹簧

2、的伸长量为 0，即两个弹簧都处于原长状态。m 发生一小位移 x之后，弹簧 的伸长量为 x，弹簧 被压缩长也为 x。 故物体受力为： （线性恢复力） m 相当于受到刚度系数为 的单一弹簧的作用 由牛顿第二定律： 9.2.3 一垂直悬挂的弹簧振子，振子质量为 m，弹簧的劲度系数为 .若在振子和弹簧 之间串联另一弹簧，使系统的频率减少一半.串联上的弹簧的劲度系数 应是 的多少倍？ 解： 未串时：平衡位置 串联另一刚度系数为 的弹簧： 此时弹簧组的劲度系数为 已知： 解得： 9.2.4 单摆周期的研究.（1）单摆悬挂于以加速度 a 沿水平方向直线行驶的车厢内.（2）单摆悬挂于以加速度a 上升的电梯内.

3、（3）单摆悬挂于以加速度 a(g)下降的电梯内.求此三种情况下单摆的周期.摆长为 . 解： （ 1）以车为参照系，摆锤为隔离体，受重力 ，摆线张力 ，惯性力 。 平衡位置处有： 由此可得平衡位置时摆线铅直夹角 (1) 由平衡位置发生小角位移 由牛顿第二定律 :在切线方向的分量式 即 角很小,故 .于是得: 利用 (1)式, 则 即 因为 所以 (2)以电梯为参照系,惯性力与重力沿铅垂方向,同于的分析摆线为铅垂位置时为平衡态. (3) 同(2)的分析得: 9.2.5 在通常温度下，固体内原子振动的频率数量级为 .设想各原子之间彼此以弹簧连结.一摩尔银的质量为 108g 且包含 个原子. 现仅考虑

4、一列原子，且假设只有一个原子以上述频率振动，其它原子皆处于静止，计算一根弹簧的劲度系数. 解 ： 由 9.2.2 知 这里 9.2.6 一弹簧振子，弹簧的劲度系数为 ，物体质量为 20g 现将弹簧自平衡位置拉长 并给物体一远离平衡位置的速度，其大小 为 7.0m/s，求该振子的运动学方程(SI). 解： 以平衡位置为原点建立坐标系 O-x,水平向右为正方向。弹簧振子的运动方程为: 故 时， 时， 弹簧振子的运动方程： 9.2.7 质量为 的物体悬挂在劲度系数为 的弹簧下面.（1）求其振动的周期.（2）在 时，物体距平衡位置的 位移为 ，速度为 ，求其运动学方程. 解： 以平衡位置为原点，建立坐

5、标系 O-x，竖直向下为正方向。 （ 1） （ 2）设运动方程为： 即 故 所以运动学方程为： 9.2.8 （ 1）一简谐振动的运动规律为 ，若计时起点提前 0.5s，其运动学方程如何表示？欲使其初相为零，计时起点应提前或推迟若干？ （2）一简谐振动的运动学方程为 .若计时起点推迟 1s，它的初相是多少？欲使其初相为零，应怎样调整计时起点？ （3）画出上面两种简谐振动在计时起点改变前后 时旋转矢量的位置. 解： （ 1） （1） 计时起点提前 0.5，则 ，代入（1）式，运动方程为： 设计时起点提前 秒，可使初相为零，即 ，代入（1）式得： 有 即提前 秒时计时可使其初相为零。 （ 2） （2

6、） 计时起点提前 秒时 代入 若计时起点推迟一秒，则 ，此时初相为 若要 ，需 即推迟 秒计时时，可使初相为零。 （ 3） 见图 a,b (a) (b) 9.2.9 画出某简谐振动的位移时间曲线，其运动规律为 （SI 制） 解： （ 制） 令 则有 为周期引的余弦曲线。 画出 曲线，再根据 的关系。将 轴右移 周期。 9.2.10 半径为 R 的薄圆环静止于刀口 O 上，令其在自身平面内作微小摆动.（1）求其振动的周期.（2）求与其振动周期相等的单摆的长度.（3）将圆环去掉 而刀口支于剩余圆弧的中央，求其周期与整圆环摆动周期之比. 解： （ 1）该装置为物理摆，利用 9.2.1 对一般刚体得到

7、的公式 为薄圆球质量。 根据平行轴定理： （ 2）根据单摆公式 由 可得 （ 3）该装置为物理摆，仍利用公式 由对称性可知，质心位于 上。 为剩余圆弧的质量， 。 根据平衡轴定理。 故 即 可知不管圆环去掉多少，只要刀口高于剩余圆弧中央，其振动周期均不变。 9.2.11 1m 长的杆绕过其一端的水平轴作微小摆动而成为物理摆.另一线度极小的物体与杆的质量相等.固定于杆上离转轴为 h 的地方.用 表示未加小物体时杆子的周期，用 表示加上小物体以后的周期.（1）求当 和 时的比值 .（2）是否存在某一 h 值，可令 ，若有可能，求出 h 值并解释为什么 h 取此值时周期不变. 解 ： （ 1）利用

8、9.2.1 得到的物理摆公式 设 为杆质量， 为杆长，未加小物体时， 加小物体后， （ 2）由 ，即 可得： 讨论： 由 ，此物理摆的等效单摆长度为 。在 处加另一物体，相当于使等效单摆的摆锤质量增加而摆长不变，故周期不变。 ，即小物体置于转动轴上，对运动无影响。故周期不变。 9.2.12 天花板下以 0.9m 长的轻线悬挂一个质量为 0.9kg 的小球.最初小球静止，后另有一质量为 0.1kg 的小球沿水平方向以 1.0m/s 的速度与它发生完全非弹性碰撞。求两小球碰撞后的运动学方程. 解： 以小球 为物体系。碰撞前后的过程始末，在过程中认为 仍在原小球 静止处。水平方向动量守恒： 碰撞后成

9、为一个单摆作简谐运动，设其运动方程为 以碰后小球 获得速度 0.1(m/s)，而 时为计时起点，即 由 ， 故运动方程 在 很小的条件下， ，所以用线量描述的运动方程为 。 9.2.13 求第四章习题 4.6.5 题中铅块落入框架后的运动学方程. 解： 以物体 为隔离体，根据自由落体的运动规律可知： 落至盘上的速度为 在以框架 ，物体 为物体系。完全非弹性碰撞前后为过程始末，因外力（弹簧弹性力，重力） 内力，故可用动量守恒定律求近似解： 设弹簧自由伸展的位置为 a，挂框架后平衡位置为 b,碰后平衡位置为 O，O 即为坐标系 O-x 之原点. 依题意 因 碰撞后系统为一数值悬挂的弹簧振子，舍弃运

10、动方程为 以碰撞之后 ， 的共同速度 运动，而处于 b 处时为计时起点，即： 由 运动方程为： 可选择适当的计时起点使初项为零，则运动方程可表示为 9.2.14 第四章习题 4.6.5 题中的框架若与一个由框架下方沿铅垂方向飞来的小球发生完全弹性碰撞，碰后框架的运动学方程是怎样的？已知小球 20g，碰框架前的速度为 10m/s. 解： 以框架 ，小球 为物体系。以框架平衡位置为原点建立坐标系 O-x，竖直向下为正方向： 以完全弹性碰撞前后为过程始末，设小球的碰撞前速度为 ，小球框架碰后速度为 ，因外力 内力，故可用动量守恒定律近似求解。又因碰撞为完全弹性碰撞，碰撞前后总动能相等。 可以求得：

11、在一框架为隔离体。碰撞之后平衡位置不变，仍未 O 点。系统为一竖直悬挂的弹簧振子，设其运动方程为： 以碰撞后，框架获得速度 ，而处于 O 点时为计时起点，即： 根据题意，弹簧刚性系数 故 由 知 所以运动方程为 9.2.15 质量为 m 的物体自倾角为 的光滑斜面顶点处由静止而滑下，滑行了 远后与一质量为 的物体发生完全非弹性碰撞. 与劲度系数为 k 的弹簧相连.碰撞前 静止于斜面上，如图所示.问两物体碰撞后作何种运动，并解出其运动方程.已知 . 解 ： a 为弹簧自由伸展位置,b 为加 后平衡位置，O 为 发生完全非弹性碰撞后的平衡位置，以 O 为原点建立坐标系 O-x 如图： 故 以物体

12、m 为隔离体，物体 m 由斜面顶滑下，做匀加速运动滑行 远后速度为 再以 为物体系。以完全非弹性碰撞前后为过程始末，且近似认为碰撞过程中 位置不变。 当 发生完全非弹性碰撞之后，沿 ox 方向的动力学方程为 受线性恢复力，做简谐运动。 根据定义 的运动方程为 若以碰撞后弹簧压缩最甚时为计时起点，设此时坐标为 则 现在求 。以弹簧自由伸长位置 a 为重力势能、弹性势能零点。在由碰撞后到达压缩最甚的过程中机械能守恒，有 代数， 运动方程 9.3.1 1851 年佛科做证明地球自转的实验，摆长 69m，下悬重球 28kg.设其振幅为 ，求其周期和振动的总能量，重球最低处势能为零. 解 ： 根据单摆周

13、期公式 以悬线铅直时为势能零点，则振动的总能量即等于摆锤在最高点时的势能 9.3.2 弹簧下面悬挂质量为 50g 的物体，物体沿竖直方向的运动学方程为 ，平衡位置为势能零点（单位时间：s，长度单位：cm）. （1）求弹簧的劲度系数，（2）求最大动能，（3）总能量. 解： （ 1）根据弹簧振子 （ 2）由 则 速度最大值 故最大动能 （ 3）总能即等于最大动能 或 9.3.3 若单摆的振幅为 ，试证明悬线所受最大拉力等于 . 解 ： 设摆锤质量为 m,摆长为 ， 为最大摆角。以摆锤为隔离体。受重力 ，张力 单摆的运动方程为 当摆角为 时，沿法向方向的动力学方程为 单摆 很小，故 则 而 故 又

14、又由 机械能守恒 故 9.4.1 在电子示波器中，由于互相垂直的电场的作用，使电子在荧光屏上的位移为 求出 时的轨迹方程并画图表示. 解： 由 当 当 由垂直与水平方向简谐振动合成公式 得 令 （坐标轴转动 ， 的关系式） 则上式可得： 是一个长半轴为 ，短半轴为 的椭圆。 当 时， 则 是一个半径为 的圆。 9.6.1 某阻尼振动的振幅经过一周期后减为原来的 ，问振动频率比振动系统的固有频率少几分之几？（弱阻尼状态） 解 ： 弱阻尼振动 由题意 取对数 故 所以 即振动频率比振动系统的固有频率少 1.49%。 9.6.2 阻尼振动起初振幅 ，经过 后振幅变为 ，问经过多长时间，振幅将变为 ？（弱阻尼状态） 解： 弱阻尼振动 已知 固 故 设 由 所以 9.7.1 某受迫振动与驱动力同相位，求驱动力的频率. 解： 受迫振动稳定状态的初位相为 由于强迫力初位相为零，所以 即为受迫振动稳定状态与强迫力的位相差。 固 为有限值，故有