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1、书书书洛阳市 学年高中三年级第一次统一考试数 学 试 卷 （ 理）本试卷分第卷（ 选择题） 和第卷（ 非选择题） 两部分第卷至页， 第卷至页共 分考试时间 分钟第卷（ 选择题， 共 分）注意事项：答卷前， 考生务必将自己的姓名、 考号填写在答题卡上考试结束， 将答题卡交回一、 选择题： 本大题共 小题， 每小题分， 共 分在每小题给出的四个选项中， 只有一项是符合题目要求的设全集犝犚， 集合犃狓狘 狓 ，犅狓狘狓狓 ， 则犃 瓓犝犅，（ （，（，） ，若犿（ ）狀 犻（犿，狀犚，犻是虚数单位） ， 则狀犿等于 若函数同时满足下列两个条件， 则称该函数为“ 优美函数” ：（）对狓犚， 都有犳（狓
2、）犳（狓）；（）对狓，狓犚， 且狓狓， 都有犳（狓）犳（狓）狓狓犳（狓） 狓；犳（狓）狓；犳（狓）狓；犳（狓） （狓槡狓）以上四个函数中， “ 优美函数”的个数是 已知向量珗犪（犿，） ，珗犫（，） ， 若狘珗犪珗犫狘狘珗犪珗犫狘，则实数犿的值是 已知某算法的程序框图如图所示， 则该算法的功能是求首项为， 公差为的等差数列前 项和求首项为， 公差为的等差数列前 项和求首项为， 公差为的等差数列前 项和求首项为， 公差为的等差数列前 项和高三数学（ 理）第页（ 共页）（ ）设狓，狔满足约束条件狓狔狓狔狓烅烄烆， 则狕狓狔的最小值与最大值的和为 已知函数犳（狓） 狓槡 狓（狓犚） ，先将狔犳（狓）
3、的图象上所有点的横坐标缩短到原来的（ 纵坐标不变） ， 再将得到的图象上所有点向右平移（）个单位长度， 得到的图象关于狔轴对称，则的最小值为 一个几何体的三视图如图所示， 图中的三个正方形的边长均为， 则该几何体的体积为 若犪 狓 犱 狓， 则二项式（槡犪 狓狓）的展开式中的常数项为 在犃 犅 犆中， 角犃，犅，犆的对边分别是犪，犫，犮， 若犪，犫，犮成等比数列， 且犪犮犪 犮犫 犮， 则犮犫 犅槡槡 槡槡 已知犉是抛物线犆：狔狆 狓（狆） 的焦点， 曲线犆是以犉为圆心， 以狆为半径的圆， 直线狓狔狆与曲线犆，犆从上到下依次相交于点犃，犅，犆，犇，则犃 犅犆 犇 已知函数犳（狓）满足犳（狓）犳
4、（狓）犳（狓） （狓犚） ， 且当狓时，犳（狓）狓， 则方程狘 （ 狓）狘 犳（狓）在，上的所有根之和为 高三数学（ 理）第页（ 共页）（ ）第卷（ 非选择题， 共 分）二、 填空题： 本大题共小题， 每小题分， 共 分 已知 槡， 则 某校有个社团向高一学生招收新成员， 现有名同学， 每人只选报个社团， 恰有个社团没有同学选报的报法数有种（ 用数字作答） 在半径为的球面上有不同的四点，犆，犇， 若 犆 犇， 则平面 犆 犇被球所截得图形的面积为 已知犉，犉为双曲线犆：狓犪狔犫（犪，犫） 的左、 右焦点，犘 狓，狔（）是双曲线犆右支上的一点， 连接犘 犉并过犉作垂直于犘 犉的直线交双曲线左支于
5、犚，犙， 其中犚狓，狔（），犙 犉为等腰三角形则双曲线犆的离心率为三、 解答题： 本大题共小题， 共 分解答应写出文字说明、 证明过程或演算步骤 （ 本小题满分 分）已知各项均不为零的数列犪狀 的前狀项和为犛狀， 且对任意狀犖， 满足犛狀犪（犪狀）（）求数列犪狀的通项公式；（）设数列犫狀满足犪狀犫狀 犪狀， 数列犫狀的前狀项和为犜狀， 求证：犜狀 （ 本小题满分 分）甲、 乙两家外卖公司， 其送餐员的日工资方案如下： 甲公司的底薪 元， 每单抽成元； 乙公司无底薪， 单以内（ 含 单） 的部分每单抽成元， 超出 单的部分每单抽成元， 假设同一公司送餐员一天的送餐单数相同， 现从两家公司各随机抽
6、取一名送餐员， 并分别记录其 天的送餐单数， 得到如下频数表：甲公司送餐员送餐单数频数表送餐单数 天数 乙公司送餐员送餐单数频数表送餐单数 天数 （） 现从甲公司记录的 天中随机抽取天， 求这天送餐单数都不小于 的概率；（）若将频率视为概率， 回答下列两个问题：记乙公司送餐员日工资为犡（ 单位： 元） ， 求犡的分布列和数学期望；小王打算到甲、 乙两家公司中的一家应聘送餐员， 如果仅从日工资的角度考虑， 请利用所学的统计学知识为小王作出选择， 并说明理由 （ 本小题满分 分）如图， 在四棱锥犘犃 犅 犆 犇中，犈，犉分别是犘 犆，犘 犇的中点， 底面犃 犅 犆 犇是边长为的正方形，犘 犃犘 犇
7、， 且平面犘 犃犇平面犃 犅 犆 犇高三数学（ 理）第页（ 共页）（ ）（）求证： 平面犃 犈 犉平面犘 犆 犇；（）求平面犃 犈 犉与平面犃 犆 犈所成锐二面角的余弦值 （ 本小题满分 分）已知短轴长为的椭圆犈：狓犪狔犫（犪犫） ， 直线狀的横、 纵截距分别为犪， 且原点到直线狀的距离为槡（）求椭圆犈的方程；（）直线犾经过椭圆的右焦点犉且与椭圆犈交于犃，犅两点， 若椭圆犈上存在一点犆满足 犗 犃槡 犗 犅 犗 犆 ， 求直线犾的方程 （ 本小题满分 分）已知函数犳（ ）狓犿 狓狓狀，犵（ ）狓狓（犳（狓）狓犪）犿，狀，犪（）犚， 且曲线狔犳（ ）狓在点，犳（）（）处的切线方程为狔狓（）求实数
8、犿，狀的值及函数犳（ ）狓的最大值；（）当犪，（）犲时， 记函数犵（狓）的最小值为犫， 求犫的取值范围请考生在第 、 题中任选一题做答， 如果多做， 则按所做的第一题记分做答时， 用 铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号后的方框涂黑 （ 本小题满分 分）选修： 坐标系与参数方程在直角坐标系狓 犗 狔中， 曲线犆的参数方程为狓狋狔犿狋（狋为参数，犿犚） ， 以原点犗为极点，狓轴的非负半轴为极轴建立极坐标系， 曲线犆的极坐标方程为 （）（）写出曲线犆的普通方程和曲线犆的直角坐标方程；（）已知点犘是曲线犆上一点， 若点犘到曲线犆的最小距离为槡， 求犿的值 （ 本小题满分 分）选修： 不等式选讲已知函数
9、犳（狓）狘狓犪狘（犪犚）（）当犪时， 解不等式狘狓狘 犳（狓）；（） 设不等式狘狓狘 犳（狓）狓的解集为犕， 若，犕， 求实数犪的取值范围高三数学（ 理）第页（ 共页）（ ）洛阳市 学年高中三年级第一次统一考试数学试卷参考答案（ 理）一、 选择题 二、 填空题 槡 （）当狀时，犪犛犪（犪）犪犪，犪，犪分犛狀（犪狀） ，当狀时，犛狀 （犪狀 ） ，两式相减得犪狀犪狀 ，分数列犪狀是首项为， 公比为的等比数列，犪狀狀分（）犪狀犫狀 犪狀狀，犫狀狀狀，分犜狀狀狀，犜狀 狀狀 ，分两式相减得犜狀狀狀狀 （狀）狀狀 （狀）狀狀 狀狀狀 狀狀 分犜狀狀狀 分 （）记抽取的天送餐单数都不小于 为事件犕，则犘
10、（犕）犆 犆 分（）设乙公司送餐员送餐单数为犪，则当犪 时，犡 ， 当犪 时，犡 ， 当犪 时，犡 ，当犪 时，犡 ， 当犪 时，犡 所以犡的所有可能取值为 ， ， ， ， 故犡的分布列为：犡 犘 分犈（犡） 高三数学答案（ 理）第页（ 共页）（ ）依题意， 甲公司送餐员日平均送餐单数为 分所以甲公司送餐员日平均工资为 元 分由得乙公司送餐员日平均工资为 元因为 ， 故推荐小王去乙公司应聘 分 （）由题犘 犃犘 犇犃 犇，犉为犘 犇的中点， 可得犃 犉犘 犇，分平面犘 犃犇平面犃 犅 犆 犇，犆 犇犃 犇，犆 犇平面犘 犃犇分又犃 犉平面犘 犃犇，犆 犇犃 犉犆 犇犘 犇犇分犃 犉平面犘 犆
11、犇分平面犃 犈 犉平面犘 犆 犇分（）取犃 犇的中点犗，犅 犆的中点犉， 连接犗 犘，犗 犉，犘 犃犘 犇犃 犇，犗 犘犃 犇平面犘 犃犇平面犃 犅 犆 犇，犗 犘平面犘 犃犇，犗 犘平面犃 犅 犆 犇分分别以犗 犃，犗 犉，犗 犘为狓，狔，狕轴建立空间直角坐标系，则犃（，） ，犆（，） ，犈（，槡） ，犉（，槡） ， 犃 犉（，槡） ， 犉 犈（，）分设 平 面犃 犈 犉的 法 向 量 为珤犿（狓，狔，狕） ，则珤犿 犃 犉，珤犿 犉 犈烅烄烆即狓槡狕，狔烅烄烆可取珤犿（，槡）分同理， 可得平面犃 犆 犈的法向量珗狀（槡，槡，） 分 珤犿，珗狀珤犿珗狀珤犿珗狀槡槡槡槡 分所以平面犃 犈 犉与
12、平面犃 犆 犈所成锐二面角余弦值为槡 分 （）因为椭圆犈的短轴长为， 故犫分依题意设直线狀的方程为：狓犪狔， 由犪槡槡解得犪槡，分故椭圆的方程为狓狔分（）设犃（狓，狔） ，犅（狓，狔） ，犆（狓，狔）当直线犾的斜率为时， 显然不符合题意当直线犾的斜率不为时，犉（槡，） ， 设其方程为狓狋 狔槡，分由狓狔，狓狋 狔槡烅烄烆，得（狋）狔槡狋 狔，高三数学答案（ 理）第页（ 共页）（ ）所以狔狔槡狋狋，狔狔狋，分因为 犗 犃槡 犗 犅 犗 犆 ， 所以狓狓槡狓，狔狔槡狔又点犆在椭圆犈上，狓狔（狓槡狓）（狔槡狔）（狓狔）（狓狔）槡（狓狓狔狔）又狓狔，狓狔狓狓狔狔， 分将狓狋 狔槡，狓狋 狔槡及代入得狋
13、， 即狋或狋故直线犾的方程为狓狔槡 或狓狔槡 分 （）函数犳（ ）狓的定义域为， （） ，犳（ ） 狓犿 （）狓狓，因为犳（ ）狓的图象在点，犳（）（）处的切线方程为狔狓，所以犳 （） 犿，犳（） 犿 狀烅烄烆解得犿，狀分所以犳（ ）狓 狓狓 故犳（ ） 狓 狓狓令犳（ ） 狓， 得狓，当狓犲时，犳（ ） 狓，犳（ ）狓单调递增；当狓犲时，犳（ ） 狓，犳（ ）狓单调递减所以当狓犲时，犳（狓）取得最大值犳（犲）犲分（）犵（ ）狓狓（犳（狓）狓犪）狓 狓犪 狓狓，犵（ ）狓狓（犳（狓）狓犪）狓 狓犪 狓狓，犵（ ） 狓 狓犪 狓狓（ 狓狓犪） ，分 犪犲，犳（ ）犲犪，犳（）犲犲犪，所以存在狋犲
14、，（）犲，犵（）狋即 狋犪 狋，当狓（，狋） 时，犵（ ） 狓，犵（ ）狓单调递减， 当狓（狋，犲 时，犵（ ） 狓，犵（ ）狓单调递增，所以犵（ ）狓的最小值为犫狋 狋犪狋狋狋 狋狋， 分令犫狋 狋狋犺（狋） ，高三数学答案（ 理）第页（ 共页）（ ）因为（）犺 狋 狋， 所以犺（狋）在犲，（）犲单调递减，从而犺（狋）犲，（） ， 即犫的取值范围是（犲，犲） 分 （）由曲线犆的参数方程， 消去参数狋， 可得犆的普通方程为：狓狔犿分由曲线犆的极坐标方程得 ， ，曲线犆的直角坐标方程为：狓狔（狔） ，分（）设曲线犆上任意一点犘为槡 ， （）， ，分则点犘到曲线犆的距离为犱槡 犿槡 （）犿槡分， （），槡 ， （），槡 ，分当犿槡 时，犿槡 ， 即犿槡；当犿时，犿， 即犿犿槡或犿 分 （）当犪时， 原不等式可化为狓 狓 分当狓时， 原不等式可化为狓狓， 解得狓，所以狓；当狓时， 原不等式可化为狓狓， 解得狓，所以狓；当狓时， 原不等式可化为狓狓， 解得狓， 所以狓分综上所述， 当犪时， 不等式的解集为狓狘狓或狓 分（）不等式狘狓狘 犳（狓）狓可化为狘狓狘 狘狓犪狘狓，依题意不等式狘狓狘 狘狓犪狘狓在，恒成立，分所以狓 狘狓犪狘狓， 即狓犪，分即犪狓犪， 所以犪，犪烅烄烆解得犪， 故所求实数犪的取值范围是， 分高三数学答案（ 理）第页（ 共页）（ ）
