《江西省宜春市高中数学（理）学案： 反证法 选修2-2》由会员分享，可在线阅读，更多相关《江西省宜春市高中数学（理）学案： 反证法 选修2-2（4页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、高考资源网（ ） ，您身边的高考专家欢迎广大教师踊跃来稿，稿酬丰厚。 学习目标：学习目标：1. 结合已经学过的数学实例，了解间接证明的一种基本方法反证法； 2. 了解反证法的思考过程、特点； 3. 会用反证法证明问题.学习重点：学习重点：会用反证法证明问题；了解反证法的思考过程学习难点：学习难点：根据问题的特点，选择适当的证明方法.学习过程：学习过程：1、预习预习导导航，要点指津航，要点指津（约 3 分钟）问题问题 1：已知 A 为平面 BCD 外的一点，直线 AB、CD 是异面直线吗?答：AB、CD 一定是异面在线,证明如下：证明如下：假设 AB、CD 不是异面直线，则 AB、CD 共面，从
2、而A、B、C、D 四点共面, 这与 A 为平面 BCD 外的一点矛盾, 即假设不成立, 故直线 AB、CD 是异面直线。问题问题 2：A、B、C 三个人，A 说 B 撒谎，B 说 C 撒谎，C 说 A、B 都撒谎。则 C 必定是在撒谎，为什么？ 证明如下：证明如下： 假设 C 没有撒谎, 则 C 真.那么 A 假且 B 假;由 A 假, 知 B 真. 这与 B 假矛盾.那么假设 C 没 有撒谎不成立， 则 C 必定是在撒谎.上面的证明方法叫作用反证法上面的证明方法叫作用反证法反证法的概念与步骤 1.概念概念:（1 1）在证明数学命题时，先假定命题结论的_反面反面_ _成立，在这个前题下，若推出
3、的结果与_定定 义义、公理、定理、公理、定理_相矛盾，或与命题中的_己知条件己知条件_相矛盾，或与_假设假设_相矛盾，从而说明命题结论的反 面_ _不可能不可能_成立，由此断定命题的结论_ _成立成立_. 这种证明方法叫作_反证法反证法_. （2 2）反证法是 一种_ _间接间接_证明的方法。 2反证法的证明步骤：（1）作出否定_结论结论_的假设；（2）进行推理，导出_矛盾矛盾_ _；（3）否定假设（即假设不成立），肯定原命题的_结论结论_成立. 二、自主探索，独立二、自主探索，独立思思考考（约 10 分钟）1. 用反证法证题时，否定结论准确写出结论的反设词至关重要，也是一个难点，请同学在下表
4、中写出一些常见结论词的反设词：原结论词是都是至少有一个至少有 n 个至多有一个至多有 n 个反设词反设词不是不是不都是不都是一个也没有一个也没有（不存在）（不存在）至多有至多有 n-1个个至少有两个至少有两个至少有至少有 n+1个个原结论词 只有一个对所有 x成立对任意 x不成立或 pq且pq反设词反设词没有或至没有或至少有两个少有两个存在某个存在某个x 不成立不成立存在某个存在某个x 成立成立 且且pq或pq2. 已知，且，试证：中至少有一个小于 2. 0,0xy2xy11,xy yx证明：假设结论不成立，即 112,2xy yx12 ,12222xyyxxyxy，这与巳知矛盾，故原结论正确
5、， 即中至少有一个小于 2.2xy11,xy yx高考资源网（ ） ，您身边的高考专家欢迎广大教师踊跃来稿，稿酬丰厚。 3. 证明不是有理数.2证明：若是有理数，那么它就可以表示成两个整数之比，2设，且 ，互素，则。所以 . 20qpp，pqqp2222qp 故是偶数，也必然为偶数。设，代入式，则有，即，2qq2qk2242kp 222kp 所以是偶数,从而也为偶数。故和 都是偶数，它们有公约数 2，这与，互素相矛盾。2pppqpq因此，假设不成立， 即不是理数。24. 求证：不可能是一个等差数列中的三项。1, 2,3证明：假设是公差为的等差数列的笫项，则 1, 2,3d, ,p q r21(
6、) ,3 1()qp drp d ，而此式的左边是无理数，右边是有理数，两者不可能相等，推出矛盾，21 2qp rp所以不可能是一个等差数列中的三项。1, 2,35. 如图所示，直线 a 平行于平面 ， 是过直线 a 的平面，平面 与 相交于直线 b，求证：直线 a 平行于直线 b。证明：假设命题的结论不成立，即“直线 a 不平行于直线 b”。由于直线 a，b 在同一平面 中，且直线 a，b 不平行。故直线 a，b 相交，设交点为 A，A 在直线 b 上，故 A 在平面 上。所以，直线 a 与平面 相交于 A。这与条件“直线 a 平行于平面 ”矛盾。因此，假设不成立，即“直线 a 平行于直线
7、b”。三、小组合作探究，三、小组合作探究，议议疑解惑疑解惑（约 5 分钟）各学习小组将上面自主探索的结论、解题方法、知识技巧进行讨论，交流，议疑解惑。四、四、展展示你的收获示你的收获（约 8 分钟）由各学习小组派出代表利用多媒体或演板或口头叙述等形式展示个人或小组合作探究的结论、解题方法、知识技巧。 （即学习成果）五、重、难、疑点五、重、难、疑点评评析析（约 5 分钟）由教师归纳总结点评六、达标六、达标检检测（测（约 8 分钟）1. 用反证法证明命题“三角形的内角至少有一个不大于”时，反设正确的是（ B ）.60 A假设三内角都不大于 B假设三内角都大于6060 C假设三内角至多有一个大于 D
8、假设三内角至多有两个大于6060高考资源网（ ） ，您身边的高考专家欢迎广大教师踊跃来稿，稿酬丰厚。 2. 设都是正数，则三个数（ C ）., ,a b c111,abcbcaA.都大于 2 B.至少有一个大于 2 C.至少有一个不小于 2 D.至少有一个不大于 23. 设是两个实数,给出下列条件: ； ., a b1ab2ab2ab222ab其中能推出“中至少有一个大于 1”的条件是_(填序号), a b4. 已知均为实数, 且., ,a b c2222,2,2236axybyzczx求证:中至少有一个大于 0. , ,a b c证明:假设都不大于 0. 即, ,a b c0,0,00abc
9、abc而, 这与矛盾222(1)(1)(1)330abcxyz0abc所以假设不成立， 故中至少有一个大于 0., ,a b c5. 桌面上有 3 枚正面朝上的硬币，每次用双手同时翻转 2 枚硬币，请证明: 无论怎么翻转，都不能使硬币 全部反面朝上。 证明：假设经过若干次翻转可以使硬币全部反面向上，由于每枚硬币从正面朝上变为反面朝上都需要 翻转奇数次，所以 3 枚硬币全部反面朝上时，需要翻转 3 个奇数之和次，即要翻转奇数次但由于每次 用双手同时翻转 2 枚硬币， 3 枚硬币被翻转的次数只能是 2 的倍数，即偶数次这个矛盾说明假设错误， 原结论正确，即无论怎样翻转都不能使 3 枚硬币全部反面朝
10、上七、课后练习七、课后练习1. 实数不全为 0 等价于为（ D ） , ,a b cA均不为 0 B中至多有一个为 0, ,a b c, ,a b cC中至少有一个为 0 D中至少有一个不为 0, ,a b c, ,a b c2. 用反证法证明命题：若整系数一元二次方程20(0)axbxca有有理根，那么abc，中至少有一个是偶数时，下列假设中正确的是（ B ）假设abc，都是偶数 假设abc，都不是偶数假设abc，至多有一个是偶数 假设abc，至多有两个是偶数3. 用反证法证明命题“自然数中恰有一个偶数”的反设为 没有偶数或至少有两个偶数没有偶数或至少有两个偶数 ., ,a b c4.4.
11、已知，求证：中，至少有一个数大于 25.1004321aaaa4321aaaa，证明：假设命题的结论不成立，即均不大于 25， 4321aaaa，那么，100252525254321aaaa这与已知条件相矛盾。所以，中，至少有一个数大于 25。4321aaaa，5. 已知直线和平面，如果，且，求证。, a b,ab|a b|a高考资源网（ ） ，您身边的高考专家欢迎广大教师踊跃来稿，稿酬丰厚。 证明: 假设直线 a 与平面有公共点，则，即点是直线 a 与 b 的公共点，这与PPbP矛盾所以 .|a b|a6. 设二次函数， qpxxxf2)(求证：中至少有一个不小于.)3(, )2(, ) 1
12、 (fff21证明：假设都小于， 则 （1）)3(, )2(, ) 1 (fff21. 2)3()2(2) 1 (fff另一方面，由绝对值不等式的性质，有（2）(1)2(2)(3)(1)2 (2)(3)(1)2(42)(93)2ffffffpqpqpq（1） 、 （2）两式的结果矛盾，所以假设不成立， 故原来的结论正确。 7. 设 a1，a2，a7是 1,2，7 的一个排列，求证：乘积 p(a11)(a22)(a77)为偶数 证明：假设 p 为奇数，则 a11，a22，a77 均为奇数因奇数个奇数之和为奇数， 故有(a11)(a22)(a77)为奇数 即(a1a2a7)(127)为奇数 又a1
13、，a2，a7是 1,2，7 的一个排列， 127)(127)0aaa（ 奇数，这可能成立，即假设不成立，故乘积 p(a11)(a22)(a77)为偶数08. 设，求证233ba. 2ba证明：假设，则有，从而2baba 233323(2)8 126ababbb, 即, 这与题设条件矛盾， 332261286(1)22abbbb332ab233ba所以假设不成立， 故成立。2ba9已知实数abcd，满足1abcd，1acbd，求证abcd，中至少有一个是负数证明:假设都为非负实数, 又因为, 所以, , , ,a b c d1abcd, , ,0,1a b c d 所以, 从而, 这与1acbd矛盾.,22acbdacacbdbd122acbdacbd所以假设不成立, 故abcd，中至少有一个是负数
