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1、,第一章 推理与证明,3 反证法,1反证法的定义 先假定命题结论的反面成立，在这个前提下，若推出的结果与_相矛盾，或与命题中的_相矛盾，或与_相矛盾，从而说明命题的结论的反面不可能成立，由此断定命题的结论成立这种证明方法叫作_,定义、公理、定理,已知条件,假定,反证法,温馨提示：一般地，由证明pq转向证明qrt，t与假设或与某个真命题矛盾，q为假，推出q为真的方法，叫作反证法 关于反证法，法国数学家阿达玛曾说过：“这种证法在于表明，若肯定定理的假设而否定其结论，就会导致矛盾”这是对反证法的精辟的概括,2反证法的证明步骤 (1)作出_的假设； (2)进行推理，导出_； (3)否定_，肯定_ 温馨
2、提示： 1反证法推证问题模式框图,否定结论,矛盾,假设,结论,2适合反证法的类型题 (1)问题共有n种情形，现在要证其中一种情形成立时，可利用反证法把其余的n1种情形排除，从而确定这种情形成立 (2)命题用否定形式叙述的，如证明2不是方程2x10的根，可用反证法证明假设2是方程2x10的根，推导出矛盾，从而确定2不是方程的根 (3)命题用“至少”“至多”等叙述时，可用反证法证明,(4)命题成立非常明显，而要直接证明，所能用的理论太少，且不容易说明白，可用反证法证明 3应用反证法时，推出的矛盾常见的有： (1)与数学公理、定理、公式、定义或已证明了的结论相矛盾； (2)与假设矛盾； (3)与公认
3、的事实或自相矛盾等,设an是公比为q的等比数列设q1，证明：数列an1不是等比数列,用反证法证明否定性命题,a10，2qkqk1qk1. q0，q22q10. q1，这与已知矛盾 假设不成立，an1不是等比数列 【点评】 1.用反证法证明否定性命题的适用类型 结论中含有“不”“不是”“不可能”“不存在”等词语的命题称为否定性命题，此类问题的正面比较模糊，而反面比较具体，适合使用反证法,2用反证法证明数学命题的步骤,用反证法证明“至多”“至少”类问题,abc0.这与abc0矛盾， 假设不成立， 故a，b，c中至少有一个大于0. 【点评】 应用反证法常见的“结论词”与“反设词” 当命题中出现“至多
4、”“至少”等词语时，直接证明不易入手且讨论较复杂这时，可用反证法证明，证明时常见的“结论词”与“反设词”如下：,2已知a，b，c是互不相等的实数，求证：由y1ax22bxc，y2bx22cxa和y3cx22axb确定的三条抛物线至少有一条与x轴有两个不同的交点 证明：假设题设中的函数确定的三条抛物线都不与x轴有两个不同的交点， 由y1ax22bxc，y2bx22cxa，y3cx22axb， 得1(2b)24ac0，且2(2c)24ab0，,且3(2a)24bc0. 同向不等式求和得： 4b24c24a24ac4ab4bc0， 2a22b22c22ab2bc2ac0. (ab)2(bc)2(ac
5、)20. abc. 这与题设a，b，c互不相等矛盾， 假设不成立，从而命题得证,求证：方程2x3有且只有一个根 证明：2x3，xlog23. 这说明方程2x3有根 下面用反证法证明方程2x3的根是唯一的 假设方程2x3至少有两个根b1，b2(b1b2)，则2b13,2b23，两式相除得2b1b21. b1b20.即b1b2，这与b1b2矛盾 假设不成立，从而原命题得证,用反证法证明唯一性命题,【点评】 用反证法证明唯一性命题的一般思路：证明“有且只有一个”的问题，需要证明两个命题，即存在性和唯 一性当证明结论以“有且只有”“只有一个”“唯一存在”等形式出现的命题时，可先证“存在性”，由于假设“
6、唯一性”结论不成立易导出矛盾，因此可用反证法证其唯一性,3若函数f(x)在区间a，b上是增函数，求证：方程f(x)0在区间a，b上至多有一个实根 证明：假设方程f(x)0在区间a，b上至少有两个实根，设，为其中的两个实根因为，不妨设，又因为函数f(x)在a，b上是增函数，所以f()f()这与假设f()0f()矛盾，所以方程f(x)0在区间a，b上至多有一个实根,用反证法证题要把握三点： (1)必须先否定结论，对于结论的反面出现的多种可能，要逐一论证，缺少任何一种可能，证明都是不完全的 (2)反证法必须从否定结论进行推理，且必须根据这一条件进行论证，否则，仅否定结论，不从结论的反面出发进行论证，就不是反证法 (3)推导出来的矛盾可能多种多样，有的与已知矛盾，有的与假设矛盾，有的与定理、公理相矛盾，但推导出的矛盾必须是明显的,活页作业(三),谢谢观看！,
