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第六节 高阶导数,一、问题的提出,二、主要定理,三、典型例题,四、小结与思考,2,一、问题的提出,问题:,(1) 解析函数是否有高阶导数?,(2) 若有高阶导数, 其定义和求法是否与实变函数相同?,回答:,(1) 解析函数有各高阶导数.,(2) 高阶导数的值可以用函数在边界上的值通过积分来表示, 这与实变函数完全不同.,解析函数高阶导数的定义是什么?,3,二、主要定理,定理,证,(z-z0)2,4,根据导数的定义,从柯西积分公式得,5,(z-z0)2,6,7,8,再利用以上方法求极限,9,至此我们证明了一个解析函数的导数仍然是解析函数.,依次类推, 利用数学归纳法可证,证毕,高阶导数公式的作用:,不在于通过积分来求导, 而在于通过求导来求积分.,10,三、典型例题,例1,解,11,根据复合闭路定理,13,例2,解,14,15,例3,解,由柯西古萨基本定理得,由柯西积分公式得,16,17,四、小结与思考,高阶导数公式是复积分的重要公式. 它表明 了解析函数的导数仍然是解析函数这一异常重 要的结论, 同时表明了解析函数与实变函数的本 质区别.,高阶导数公式,
