2017年北京市高考数学试卷理科

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1、第 1 页（共 25 页）2017 年北京市高考数学试卷（理科）年北京市高考数学试卷（理科）一、选择题一、选择题.（每小题（每小题 5 分）分）1 （5 分）若集合 A=x|2x1，B=x|x1 或 x3，则 AB=（ ）Ax|2x1Bx|2x3Cx|1x1Dx|1x32 （5 分）若复数（1i） （a+i）在复平面内对应的点在第二象限，则实数 a 的取值范围是（ ）A （，1）B （，1）C （1，+）D （1，+）3 （5 分）执行如图所示的程序框图，输出的 S 值为（ ）A2BCD4 （5 分）若 x，y 满足，则 x+2y 的最大值为（ ）A1B3C5D95 （5 分）已知函数 f（x

2、）=3x（）x，则 f（x） （ ）A是奇函数，且在 R 上是增函数B是偶函数，且在 R 上是增函数C是奇函数，且在 R 上是减函数D是偶函数，且在 R 上是减函数6 （5 分）设 ， 为非零向量，则“存在负数 ，使得 = ”是 0”的（ ）A充分而不必要条件B必要而不充分条件第 2 页（共 25 页）C充分必要条件D既不充分也不必要条件7 （5 分）某四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的最长棱的长度为（ ）A3B2C2D28 （5 分）根据有关资料，围棋状态空间复杂度的上限 M 约为 3361，而可观测宇宙中普通物质的原子总数 N 约为 1080，则下列各数中与最接近的是（ ）（参考数据：l

3、g30.48）A1033B1053C1073D1093二、填空题（每小题二、填空题（每小题 5 分）分）9 （5 分）若双曲线 x2=1 的离心率为，则实数 m= 10 （5 分）若等差数列an和等比数列bn满足 a1=b1=1，a4=b4=8，则= 11 （5 分）在极坐标系中，点 A 在圆 22cos4sin+4=0 上，点 P 的坐标为（1，0） ，则|AP|的最小值为 12 （5 分）在平面直角坐标系 xOy 中，角 与角 均以 Ox 为始边，它们的终边关于 y 轴对称，若 sin=，则 cos（）= 第 3 页（共 25 页）13 （5 分）能够说明“设 a，b，c 是任意实数若 a

4、bc，则 a+bc”是假命题的一组整数 a，b，c 的值依次为 14 （5 分）三名工人加工同一种零件，他们在一天中的工作情况如图所示，其中 Ai的横、纵坐标分别为第 i 名工人上午的工作时间和加工的零件数，点 Bi的横、纵坐标分别为第 i 名工人下午的工作时间和加工的零件数，i=1，2，3（1）记 Qi为第 i 名工人在这一天中加工的零件总数，则 Q1，Q2，Q3中最大的是 （2）记 pi为第 i 名工人在这一天中平均每小时加工的零件数，则 p1，p2，p3中最大的是 三、解答题三、解答题15 （13 分）在ABC 中，A=60，c=a（1）求 sinC 的值；（2）若 a=7，求ABC 的

5、面积16 （14 分）如图，在四棱锥 PABCD 中，底面 ABCD 为正方形，平面 PAD平面 ABCD，点 M 在线段 PB 上，PD平面 MAC，PA=PD=，AB=4（1）求证：M 为 PB 的中点；（2）求二面角 BPDA 的大小；（3）求直线 MC 与平面 BDP 所成角的正弦值第 4 页（共 25 页）17 （13 分）为了研究一种新药的疗效，选 100 名患者随机分成两组，每组各50 名，一组服药，另一组不服药一段时间后，记录了两组患者的生理指标 x和 y 的数据，并制成如图，其中“*”表示服药者， “+”表示未服药者（1）从服药的 50 名患者中随机选出一人，求此人指标 y

6、的值小于 60 的概率；（2）从图中 A，B，C，D 四人中随机选出两人，记 为选出的两人中指标 x 的值大于 1.7 的人数，求 的分布列和数学期望 E（） ；（3）试判断这 100 名患者中服药者指标 y 数据的方差与未服药者指标 y 数据的方差的大小 （只需写出结论）18 （14 分）已知抛物线 C：y2=2px 过点 P（1，1） 过点（0，）作直线 l 与抛物线 C 交于不同的两点 M，N，过点 M 作 x 轴的垂线分别与直线 OP、ON 交于点 A，B，其中 O 为原点（1）求抛物线 C 的方程，并求其焦点坐标和准线方程；（2）求证：A 为线段 BM 的中点19 （13 分）已知函

7、数 f（x）=excosxx（1）求曲线 y=f（x）在点（0，f（0） ）处的切线方程；（2）求函数 f（x）在区间0，上的最大值和最小值20 （13 分）设an和bn是两个等差数列，记第 5 页（共 25 页）cn=maxb1a1n，b2a2n，bnann（n=1，2，3，） ，其中 maxx1，x2，xs表示 x1，x2，xs这 s 个数中最大的数（1）若 an=n，bn=2n1，求 c1，c2，c3的值，并证明cn是等差数列；（2）证明：或者对任意正数 M，存在正整数 m，当 nm 时，M；或者存在正整数 m，使得 cm，cm+1，cm+2，是等差数列第 6 页（共 25 页）2017

8、 年北京市高考数学试卷（理科）年北京市高考数学试卷（理科）参考答案与试题解析参考答案与试题解析一、选择题一、选择题.（每小题（每小题 5 分）分）1 （5 分）若集合 A=x|2x1，B=x|x1 或 x3，则 AB=（ ）Ax|2x1Bx|2x3Cx|1x1Dx|1x3【分析】根据已知中集合 A 和 B，结合集合交集的定义，可得答案【解答】解：集合 A=x|2x1，B=x|x1 或 x3，AB=x|2x1故选：A【点评】本题考查的知识点集合的交集运算，难度不大，属于基础题2 （5 分）若复数（1i） （a+i）在复平面内对应的点在第二象限，则实数 a 的取值范围是（ ）A （，1）B （，1

9、）C （1，+）D （1，+）【分析】复数（1i） （a+i）=a+1+（1a）i 在复平面内对应的点在第二象限，可得，解得 a 范围【解答】解：复数（1i） （a+i）=a+1+（1a）i 在复平面内对应的点在第二象限，解得 a1则实数 a 的取值范围是（，1） 故选：B【点评】本题考查了复数的运算法则、几何意义、不等式的解法，考查了推理第 7 页（共 25 页）能力与计算能力，属于基础题3 （5 分） （2015 春西城区期末）执行如图所示的程序框图，输出的 S 值为（ ）A2BCD【分析】由已知中的程序框图可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量 S 的值，模拟程序的运行过程，分析

10、循环中各变量值的变化情况，可得答案【解答】解：当 k=0 时，满足进行循环的条件，执行完循环体后，k=1，S=2，当 k=1 时，满足进行循环的条件，执行完循环体后，k=2，S=，当 k=2 时，满足进行循环的条件，执行完循环体后，k=3，S=，当 k=3 时，不满足进行循环的条件，故输出结果为：，故选：C【点评】本题考查的知识点是程序框图，当循环的次数不多，或有规律时，常采用模拟循环的方法解答4 （5 分）若 x，y 满足，则 x+2y 的最大值为（ ）A1B3C5D9第 8 页（共 25 页）【分析】画出约束条件的可行域，利用目标函数的最优解求解目标函数的最值即可【解答】解：x，y 满足的

11、可行域如图：由可行域可知目标函数 z=x+2y 经过可行域的 A 时，取得最大值，由，可得 A（3，3） ，目标函数的最大值为：3+23=9故选：D【点评】本题考查线性规划的简单应用，画出可行域判断目标函数的最优解是解题的关键5 （5 分）已知函数 f（x）=3x（）x，则 f（x） （ ）A是奇函数，且在 R 上是增函数B是偶函数，且在 R 上是增函数C是奇函数，且在 R 上是减函数D是偶函数，且在 R 上是减函数【分析】由已知得 f（x）=f（x） ，即函数 f（x）为奇函数，由函数 y=3x为增函数，y=（）x为减函数，结合“增”“减”=“增”可得答案【解答】解：f（x）=3x（）x=3

12、x3x，f（x）=3x3x=f（x） ，即函数 f（x）为奇函数，又由函数 y=3x为增函数，y=（）x为减函数，第 9 页（共 25 页）故函数 f（x）=3x（）x为增函数，故选：A【点评】本题考查的知识点是函数的奇偶性，函数的单调性，是函数图象和性质的综合应用，难度不大，属于基础题6 （5 分）设 ， 为非零向量，则“存在负数 ，使得 = ”是 0”的（ ）A充分而不必要条件B必要而不充分条件C充分必要条件D既不充分也不必要条件【分析】 ， 为非零向量，存在负数 ，使得 = ，则向量 ， 共线且方向相反，可得 0反之不成立，非零向量 ， 的夹角为钝角，满足 0，而 = 不成立即可判断出结

13、论【解答】解： ， 为非零向量，存在负数 ，使得 = ，则向量 ， 共线且方向相反，可得 0反之不成立，非零向量 ， 的夹角为钝角，满足 0，而 = 不成立 ， 为非零向量，则“存在负数 ，使得 = ”是 0”的充分不必要条件故选：A【点评】本题考查了向量共线定理、向量夹角公式、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题7 （5 分）某四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的最长棱的长度为（ ）第 10 页（共 25 页）A3B2C2D2【分析】根据三视图可得物体的直观图，结合图形可得最长的棱为 PA，根据勾股定理求出即可【解答】解：由三视图可得直观图，再四棱锥 PABCD 中，最长

14、的棱为 PA，即 PA=2，故选：B【点评】本题考查了三视图的问题，关键画出物体的直观图，属于基础题8 （5 分）根据有关资料，围棋状态空间复杂度的上限 M 约为 3361，而可观测宇宙中普通物质的原子总数 N 约为 1080，则下列各数中与最接近的是（ ）第 11 页（共 25 页）（参考数据：lg30.48）A1033B1053C1073D1093【分析】根据对数的性质：T=，可得：3=10lg3100.48，代入 M 将 M 也化为 10 为底的指数形式，进而可得结果【解答】解：由题意：M3361，N1080，根据对数性质有：3=10lg3100.48，M3361（100.48）3611

15、0173，=1093，故本题选：D【点评】本题解题关键是将一个给定正数 T 写成指数形式：T=，考查指数形式与对数形式的互化，属于简单题二、填空题（每小题二、填空题（每小题 5 分）分）9 （5 分）若双曲线 x2=1 的离心率为，则实数 m= 2 【分析】利用双曲线的离心率，列出方程求和求解 m 即可【解答】解：双曲线 x2=1（m0）的离心率为，可得：，解得 m=2故答案为：2【点评】本题考查双曲线的简单性质，考查计算能力10 （5 分）若等差数列an和等比数列bn满足 a1=b1=1，a4=b4=8，则= 1 【分析】利用等差数列求出公差，等比数列求出公比，然后求解第二项，即可第 12 页（共 25 页）得到结果【解答】解：等差数列an和等比数列bn满足 a1=b1=1，a4=b4