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1、学案学案 35 合情推理与演绎推理合情推理与演绎推理导学目标： 1.了解合情推理的含义，能利用归纳和类比等进行简单的推理，了解合情 推理在数学发现中的作用.2.了解演绎推理的重要性，掌握演绎推理的基本模式，并能运用 它们进行一些简单推理.3.了解合情推理和演绎推理之间的联系和差异自主梳理Error!推 理 自我检测 1(2010山东改编)观察(x2)2x，(x4)4x3，(cos x)sin x，由归纳推理可得： 若定义在 R 上的函数 f(x)满足 f(x)f(x)，记 g(x)为 f(x)的导函数，则 g(x)_. 2(2010珠海质检)给出下面类比推理命题(其中 Q 为有理数集，R 为实
2、数集，C 为复 数集)： “若 a，bR，则 ab0ab”类比推出“若 a，bC，则 ab0ab” ； “若 a，b，c，dR，则复数 abicdiac，bd”类比推出“若 a，b，c，dQ，则 abcdac，bd” ；22“若 a，bR，则 ab0ab”类比推出“若 a，bC，则 ab0ab” 其中 类比结论正确的个数是_ 3(2009江苏)在平面上，若两个正三角形的边长比为 12，则它们的面积比为 14，类似地，在空间中，若两个正四面体的棱长比为 12，则它们的体积比为 _ 4(2010陕西)观察下列等式：132332,13233362,13233343102，根 据上述规律，第五个等式为
3、_ 5(2010苏州统一测试)一切奇数都不能被 2 整除，21001 是奇数，所以 21001 不能 被 2 整除，其演绎推理的“三段论”的形式为_ _.探究点一 归纳推理例 1 在数列an中，a11，an1，nN*，猜想这个数列的通项公式，这个2an2an 猜想正确吗？请说明理由变式迁移 1 观察：sin210cos240sin 10cos 40 ；sin26cos236sin 634cos 36 .34 由上面两题的结构规律，你能否提出一个猜想？并证明你的猜想探究点二 类比推理 例 2 在平面内，可以用面积法证明下面的结论： 从三角形内部任意一点，向各边引垂线，其长度分别为 pa，pb，p
4、c，且相应各边上的高分别为 ha，hb，hc，则有1.pahapbhbpchc 请你运用类比的方法将此结论推广到四面体中并证明你的结论变式迁移 2 在 RtABC 中，若C90，ACb，BCa，则ABC 的外接圆半径r，将此结论类比到空间有_a2b22_ _. 探究点三 演绎推理 例 3 在锐角三角形 ABC 中，ADBC，BEAC，D、E 是垂足求证：AB 的中点 M 到 D、E 的距离相等变式迁移 3 指出对结论“已知和是无理数，证明是无理数”的下述证明2323是否为“三段论” ，证明有错误吗？ 证明：无理数与无理数的和是无理数，而与都是无理数，也是无理2323数1合情推理是指“合乎情理”
5、的推理，数学研究中，得到一个新结论之前，合情推理 常常能帮助我们猜测和发现结论；证明一个数学结论之前，合情推理常常能为我们提供证 明的思路和方向合情推理的过程概括为： .一般来说，由从具体问题出发观察、分析、比较、联想归纳、类比提出猜想合情推理所获得的结论，仅仅是一种猜想，其可靠性还需进一步证明 2归纳推理与类比推理都属合情推理：(1)归纳推理：由某类事物的部分对象具有某 些特征，推出该类事物的全部对象都具有这些特征的推理，或由个别事实概括出一般结论 的推理，称为归纳推理它是一种由部分到整体，由个别到一般的推理(2)类比推理：由 两类对象具有某些类似特征和其中一类对象的某些已知特征，推出另一类
6、对象也具有这些 特征的推理称为类比推理，它是一种由特殊到特殊的推理 3从一般性的原理出发，推出某个特殊情况下的结论，把这种推理称为演绎推理，也 就是由一般到特殊的推理，三段论是演绎推理的一般模式，包括大前提，小前提，结论(满分：90 分)一、填空题(每小题 6 分，共 48 分) 1(2010福建厦门华侨中学模拟)定义 A*B，B*C，C*D，D*A 的运算分别对应下图中 的(1)、(2)、(3)、(4)，那么下图中的(A)、(B)所对应的运算结果分别为_2(2010厦门模拟)设 f(x)，又记 f1(x)f(x)，fk1(x)f(fk(x)，k1,2，则 f2 1x1x011(x)_. 3由
7、代数式的乘法法则类比推导向量的数量积的运算法则： “mnnm”类比得到“abba” ； “(mn)tmtnt”类比得到“(ab)cacbc” ； “(mn)tm(nt)”类比得到“(ab)ca(bc)” ； “t0，mtxtmx”类比得到“p0，apxpax” ； “|mn|m|n|”类比得到“|ab|a|b|” ；“ ”类比得到“ ” acbcabacbcab 以上的式子中，类比得到的结论正确的个数是_ 4(2011南通月考)有一个奇数列 1,3,5,7,9，现在进行如下分组：第一组含有一个 数 1，第二组含有两个数 3,5；第三组含有三个数：7,9,11；第四组含有四个数： 13,15,1
8、7,19；试观察每组内各数之和与组的编号数 n 的关系为 _ 5已知整数的数对如下：(1,1)，(1,2)，(2,1)，(1,3)，(2,2)，(3,1)，(1,4)，(2,3)，(3,2)， (4,1)，(1,5)，(2,4)，则第 60 个数对是_6已知正三角形内切圆的半径是高的 ，把这个结论推广到空间正四面体，类似的结13论是_ _. 7(2010广东深圳高级中学一模)定义一种运算“*”：对于自然数 n 满足以下运算性质：(1)1 . 8(2011陕西，13)观察下列等式 11 2349 3456725 4567891049 照此规律，第 n 个等式为_二、解答题(共 42 分)9(14
9、 分)已知数列an的前 n 项和为 Sn，a1 ，且 Sn20(n2)计算231Sn1 S1，S2，S3，S4，并猜想 Sn的表达式10(14 分)已知函数 f(x) (a0 且 a1)，aax a(1)证明：函数 yf(x)的图象关于点对称；(12，12) (2)求 f(2)f(1)f(0)f(1)f(2)f(3)的值11(14 分)如图 1，若射线 OM，ON 上分别存在点 M1，M2与点 N1，N2，则；如图 2，若不在同一平面内的射线 OP，OQ 和 OR 上分别存在S OM1N1S OM2N2OM1OM2ON1ON2 点 P1，P2，点 Q1，Q2和点 R1，R2，则类似的结论是什么
10、？这个结论正确吗？说明理由学案学案 3535 合情推理与演绎推理合情推理与演绎推理 答案答案自主梳理 归纳推理 一般性 部分 个别 类比推理 一般性原理 特殊对象 特殊对 象 一般 特殊 自我检测 1g(x) 解析 由所给函数及其导数知，偶函数的导函数为奇函数因此当 f(x)是偶函数时， 其导函数应为奇函数，故 g(x)g(x) 22 解析 正确，错误因为两个复数如果不全是实数，不能比较大小 318 解析 两个正三角形是相似的三角形，它们的面积之比是相似比的平方同理， 两个正四面体是两个相似几何体，体积之比为相似比的立方，所以它们的体积比为 18. 4132333435363212 解析 由前
11、三个式子可以得出如下规律：每个式子等号的左边是从 1 开始的连续正整 数的立方和，且个数依次多 1，等号的右边是一个正整数的平方，后一个正整数依次比前 一个大 3,4，因此，第五个等式为 132333435363212. 5一切奇数都不能被 2 整除 大前提 21001 是奇数 小前提 所以 21001 不能被 2 整除 结论 课堂活动区 例 1 解题导引 归纳分为完全归纳和不完全归纳，由归纳推理所得的结论虽然未必 是可靠的，但它由特殊到一般、由具体到抽象的认识功能，对科学的发现是十分有用的， 观察、实验，对有限的资料作归纳整理，提出带规律性的说法是科学研究的最基本的方法 之一解 在an中，a
12、11，a2 ，2a12a123a3 ，a4 ，2a22a212242a32a325所以猜想an的通项公式为 an.2n1 这个猜想是正确的，证明如下：因为 a11，an1，2an2an所以 ，1an12an2an1an12即 ，所以数列是以1 为首项，1an11an121an1a1为公差的等差数列，12所以1(n1) n ，1an121212所以通项公式 an.2n1变式迁移 1 解 猜想 sin2cos2(30)sin cos(30) .34 证明如下： 左边sin2cos(30)cos(30)sin sin2(32cos 12sin )(32cos 12sin )sin2 cos2 sin
13、2 右边341434 例 2 解题导引 类比推理是根据两个对象有一部分属性类似，推出这两个对象的其 他属性亦类似的一种推理方法，例如我们拿分式同分数来类比，平面几何与立体几何中的 某些对象类比等等我们必须清楚类比并不是论证，它可以帮助我们发现真理类比推理 应从具体问题出发，通过观察、分析、联想进行对比、归纳、提出猜想 解 类比：从四面体内部任意一点向各面引垂线，其长度分别为 pa，pb，pc，pd，且相应各面上的高分别为 ha，hb，hc，hd，则有1.pahapbhbpchcpdhd 证明如下：，paha13S BCDpa13S BCDhaVPBCDVABCD同理有，pbhbVPCDAVBCDApchcVPBDAVCBDApdhdVPABCVDABC VPBCDVPCDAVPBDAVPABCVABCD，
