《【创新设计】2015高考数学（苏教文）一轮配套文档：第4篇第5讲 两角和与差的正弦、余弦和正切》由会员分享，可在线阅读，更多相关《【创新设计】2015高考数学（苏教文）一轮配套文档：第4篇第5讲 两角和与差的正弦、余弦和正切（18页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、第 5 讲 两角和与差的正弦、余弦和正切知 识 梳 理1两角和与差的正弦、余弦和正切公式sin()sin_cos_cos_sin_.cos()cos_cos_sin_sin_.tan().tan tan 1 tan tan 2二倍角的正弦、余弦、正切公式sin 22sin_cos_.cos 2cos2sin22cos2112sin2.tan 2.2tan 1tan23有关公式的逆用、变形等(1)tan tan tan()(1tan_tan_)(2)cos2，sin2.1cos 221cos 22(3)1sin 2(sin cos )2，1sin 2(sin cos )2，sin cos sin
2、.2( 4)4函数 f()asin bcos (a，b 为常数)，可以化为 f()sin()，a2b2其中 tan .ba辨 析 感 悟1对两角和与差的三角函数公式的理解(1)两角和与差的正弦、余弦公式中的角 ， 是任意的()(2)存在实数 ，使等式 cos()cos cos .()(3)(教材练习改编)cos 80cos 20sin 80sin 20cos(8020)cos 60 .()12(4)(教材习题改编)tan.()1tan 1tan (4)(5)(2014湘潭月考改编)设 tan ，tan 是方程 x23x20 的两根，则tan()3.()2对二倍角公式的理解(6)cos 2cos
3、2112sin2.()22(7)(2013江西卷改编)若 sin ，则 cos .()23313(8)ysin 2xcos 2x 的最大值为 1.()(9)(2013新课标全国卷改编)已知 sin 2 ，则 cos2 .()23(4)16感悟提升一个防范 运用公式时要注意审查公式成立的条件，要注意和差、倍角的相对性，要注意升幂、降幂的灵活运用.考点一 三角函数式的化简、求值问题【例 1】 (1)(2012重庆卷改编)_.sin 47sin 17cos 30cos 17(2)_.cos2sin22tan(4)cos2(4)解析 (1)sin 47sin 17cos 30cos 17sin3017
4、sin 17cos 30cos 17sin 30cos 17cos 30sin 17sin 17cos 30cos 17sin 30 .sin 30cos 17cos 1712(2)原式cos2sin22sin(4)cos(4)cos2(4)cos2sin22sin(4)cos(4)1.cos 2sin(22)cos 2cos 2答案 (1) (2)112规律方法 (1)技巧：寻求角与角之间的关系，化非特殊角为特殊角；正确灵活地运用公式，通过三角变换消去或约去一些非特殊角的三角函数值；一些常规技巧：“1”的代换、和积互化等(2)常用方法：异名三角函数化为同名三角函数，异角化为同角，异次化为同次
5、，切化弦，特殊值与特殊角的三角函数互化【训练 1】 (1)化简：2sin 50sin 10(1tan 10)_.32sin280(2)化简：(00，222所以原式cos .答案 (1) (2)cos 6考点二 三角函数的给角求值与给值求角问题【例 2】 (1)已知 00，1217112171300，2tan 1tan22 131(13)23402 ，2tan(2)1.tan 2tan 1tan 2tan 341713417tan 0， ，20，1722.34规律方法 (1)给值求值问题一般是正用公式将所求“复角”展开，看需要求相关角的哪些三角函数值，然后根据角的范围求出相应角的三角函数值，代入
6、展开式即可(2)通过求所求角的某种三角函数值来求角，关键点在选取函数，常遵照以下原则：已知正切函数值，选正切函数；已知正、余弦函数值，选正弦或余弦函数；若角的范围是，选正、余弦皆可；若角的范围是(0，)，选余弦较(0，2)好；若角的范围为，选正弦较好(2，2)【训练 2】 已知 cos ，cos()，且 0 ，1713142(1)求 tan 2 的值；(2)求 .解 (1)cos ，0 ，sin ，1724 37tan 4，3tan 2.2tan 1tan22 4 31488 347(2)0 ，0 ，22sin()，3 314cos cos()cos cos()sin sin() .17131
7、44 373 31412 .3考点三 三角变换的简单应用【例 3】 已知 f(x)sin2x2sinsin.(11tan x)(x4)(x4)(1)若 tan 2，求 f()的值；(2)若 x，求 f(x)的取值范围12，2解 (1)f(x)(sin2xsin xcos x)2sin(x4)cos(x4) sin 2xsin1cos 2x212(2x2) (sin 2xcos 2x)cos 2x1212 (sin 2xcos 2x) .1212由 tan 2，得 sin 2 .2sin cos sin2cos22tan tan2145cos 2 .cos2sin2sin2cos21tan21t
8、an235所以，f() (sin 2cos 2) .121235(2)由(1)得 f(x) (sin 2xcos 2x)1212sin .22(2x4)12由 x，得 2x .12，24512，54sin1，0f(x)，22(2x4)212所以 f(x)的取值范围是.0，212规律方法 (1)将 f(x)化简是解题的关键，本题中巧妙运用“1”的代换技巧，将 sin 2，cos 2 化为关于正切 tan 的关系式，为第(1)问铺平道路(2)把形如 yasin xbcos x 化为 ysin(x)，可进一步研究函数的周a2b2期、单调性、最值与对称性【训练 3】 已知函数 f(x)4cos xsi
9、n1.(x6)(1)求 f(x)的最小正周期；(2)求 f(x)在区间上的最大值和最小值6，4解 (1)因为 f(x)4cos xsin1(x6)4cos x1(32sin x12cos x)sin 2x2cos2x1sin 2xcos 2x332sin，(2x6)所以 f(x)的最小正周期为 .(2)因为 x ，所以 2x .646623于是，当 2x ，62即 x 时，f(x)取得最大值 2；6当 2x ，即 x 时，f(x)取得最小值1.6661重视三角函数的“三变”：“三变”是指“变角、变名、变式” ；变角：对角的分拆要尽可能化成同名、同角、特殊角；变名：尽可能减少函数名称；变式：对式
10、子变形一般要尽可能有理化、整式化、降低次数等在解决求值、化简、证明问题时，一般是观察角度、函数名、所求(或所证明)问题的整体形式中的差异，再选择适当的三角公式恒等变形2已知和角函数值，求单角或和角的三角函数值的技巧：把已知条件的和角进行加减或二倍角后再加减，观察是不是常数角，只要是常数角，就可以从此入手，给这个等式两边求某一函数值，可使所求的复杂问题简单化3熟悉三角公式的整体结构，灵活变换本节要重视公式的推导，既要熟悉三角公式的代数结构，更要掌握公式中角和函数名称的特征，要体会公式间的联系，掌握常见的公式变形，倍角公式应用是重点，涉及倍角或半角的都可以利用倍角公式及其变形 教你审题 3三角函数
11、求值中的变角问题【典例】 (2012江苏卷)设 为锐角，若 cos ，则(6)45sin的值为_(212)审题 一审条件：cos ， 为锐角，(6)45二审问题：sin？(212)三找关系：22 2 ，解题变得明朗化！1234(6)4解析 为锐角且 cos ，(6)45 ，6(6，23)sin .(6)35sinsin(212)2(6)4sin 2cos cos 2sin (6)4(6)4sincos2(6)(6)222cos2(6)1 23545222 (45)21.12 2257 25017 250答案 17 250反思感悟 解题的关键是找出条件中的角与结论中的角的联系，通过适当地拆角、凑
12、角来利用所给条件常见的变角技巧有：；() 等； ；1545302(2) (2)42(4)等【自主体验】已知 cos ，cos() ，且 ，则 cos()的值为1313(0，2)_解析 cos ，13(0，2)sin ，sin 2，cos 2 .2 234 2979又 cos() ，(0，)，sin().132 23cos()cos2()cos 2cos()sin 2sin().(79) (13)4 292 232327答案 2327基础巩固题组(建议用时：40 分钟)一、填空题1(2014郑州模拟)计算 cos 42cos 18cos 48sin 18的结果等于_解析 原式sin 48cos
13、18cos 48sin 18sin(4818)sin 30 .12答案 122(2013湖南师大附中模拟)计算：_.tan 12 34cos2122sin 12解析 原式sin 12cos 12 322cos2121sin 12sin 12 3cos 122sin 12cos 12cos 242(12sin 1232cos 12)sin 24cos 244.2sin126012sin 48答案 43(2013湖州模拟)已知 sin ，则 cos(2)的值为_(2)13解析 由题意，得 sincos .(2)13所以 cos(2)cos 2(2cos21)12cos2 .79答案 794(2013山东省实验中学诊断)已知 cos ，则 sin 2x_.(4x)35解析 因为 sin 2xcoscos 22cos2
