《2015届高三数学北师大版(通用,理)总复习学案:学案74 几何证明选讲(二)直线与圆的位置关系》由会员分享,可在线阅读,更多相关《2015届高三数学北师大版(通用,理)总复习学案:学案74 几何证明选讲(二)直线与圆的位置关系(12页珍藏版)》请在金锄头文库上搜索。
1、学案学案 74 几何证明选讲几何证明选讲(二)直线与圆的位置关系导学目标: 1.理解圆周角定理,弦切角定理及其推论;2.理解圆的切线的判定及性质 定理;3.理解相交弦定理,割线定理,切割线定理;4.理解圆内接四边形的性质定理及判 定自主梳理 1圆周角、弦切角及圆心角定理 (1)_的度数等于其的对_的度数的一半 推论 1:_(或_)所对的圆周角相等;同圆或等圆中,相等的圆周角 _相等 推论 2:半圆(或直径)所对的_等于 90.反之,90的圆周角所对的弧是 _(或_) (2)弦切角的度数等于其所夹孤的度数的_ (3)圆心角的度数等于它所对弧的度数 2圆中比例线段有关定理 (1)相交弦定理:_的两
2、条_,每条弦被交点分成的_的积 相等 (2)切割线定理:从圆外一点引圆的一条割线和一条切线,切线长是这点到割线与圆的 两个交点的线段长的_ (3)割线定理:从圆外一点引圆的两条_,该点到每条割线与圆的交点的两条线 段长的积相等 温馨提示 相交弦定理,切割线定理,割线定理揭示了与圆有关的线段间的比例关系,在与圆有关的比例线段问题的证明、计算以及证明线段或角相等等问题中应用甚广3切线长定理 从_一点引圆的两条切线,_相等 4圆内接四边形的性质与判定定理 (1)性质定理:圆内接四边形的对角_ 推论:圆内接四边形的任何一个外角都等于它的内角的_ (2)判定定理:如果四边形的_,则四边形内接于_ 推论:
3、如果四边形的一个外角等于它的_,那么这个四边形的四个顶点 _ 5圆的切线的性质及判定定理 (1)性质定理:圆的切线垂直于经过切点的_ 推论 1:经过_且_与垂直的直线必经过切点 推论 2:经过_且切线与垂直的直线必经过 _ (2)判定定理:过半径_且与这条半径_的直线是圆的切线 自我检测1如图在 RtABC 中,B90,D 是 AB 上一点,且 AD2DB,以 D 为圆心, DB 为半径的圆与 AC 相切,则 sin A_. 2(2010南京模拟)如图,AB 是圆 O 的直径,EF 切圆 O 于 C,ADEF 于 D,AD2,AB6,则 AC 长为_3(2011湖南)如图,A,E 是半圆周上的
4、两个三等分点,直径 BC4,ADBC,垂 足为 D,BE 与 AD 相交于点 F,则 AF 的长为_ 4如图所示,AB 是O 的直径,BC 是O 的切线,AC 交O 于点 D,若 AD32,CD18,则 AB_.5(2010揭阳模拟)如图,已知 P 是O 外一点,PD 为O 的切线,D 为切点,割线 PEF 经过圆心 O,PF12,PD4,则圆 O 的半径长为_、EFD 的度数为3 _.探究点一 与圆有关的等角、等弧、等弦的判定例 1 如图,O 的两条弦 AC,BD 互相垂直,OEAB,垂足为点 E.求证:OE CD.12变式迁移 1 在ABC 中,已知 CM 是ACB 的平分线,AMC 的外
5、接圆 O 交 BC 于点 N;若 AC AB,求证:BN3MN.13探究点二 四点共圆的判定例 2 如图,四边形 ABCD 中,AB、DC 的延长线交于点 E,AD,BC 的延长线交于 点 F,AED,AFB 的角平分线交于点 M,且 EMFM.求证:四边形 ABCD 内接于 圆变式迁移 2 如图,已知 AP 是O 的切线,P 为切点,AC 是O 的割线,与O 交于 B、C 两点,圆心 O 在PAC 的内部,点 M 是 BC 的中点 (1)证明:A,P,O,M 四点共圆; (2)求OAMAPM 的大小探究点三 与圆有关的比例线段的证明例 3 如图,PA 切O 于点 A,割线 PBC 交O 于点
6、 B,C,APC 的角平分线分别 与 AB,AC 相交于点 D,E,求证: (1)ADAE; (2)AD2DBEC.变式迁移 3 (2010全国)如图,已知圆上的弧,过 C 点的圆的切线与 BA 的延长线交于 E 点,证明:AACABD(1)ACEBCD; (2)BC2BECD.1圆周角定理与圆心角定理在证明角相等时有较普遍的应用,尤其是利用定理进行等角代换与传递2要注意一些常用的添加辅助线的方法,若证明直线与圆相切,则连结直线与圆的公共点和圆心证垂直;遇到直径时,一般要引直径所对的圆周角,利用直径所对的圆周角是直角解决有关问题3判断两线段是否相等,除一般方法(通过三角形全等)外,也可用等线段
7、代换,或用圆心角定理及其推论证明4证明多点共圆的常用方法:(1)证明几个点与某个定点距离相等;(2)如果某两点在某条线段的同旁,证明这两点对这条线段的张角相等;(3)证明凸四边形内对角互补(或外角等于它的内角的对角)5圆中比例线段有关定理常与圆周角、弦切角联合应用,要注意在题中找相等的角,找相似三角形,从而得到线段的比(满分:75 分)一、填空题(每小题 5 分,共 40 分) 1如图,已知 AB,CD 是O 的两条弦,且 ABCD,OEAB,OFCD,垂足分别是 E,F,则结论,AOBCOD,OEOF,中,正AABACDAADABC 确的有_个2(2010湖南)如图所示,过O 外一点 P 作
8、一条直线与O 交于 A、B 两点已知 PA2,点 P 到O 的切线长 PT4,则弦 AB 的长为_3(2010陕西)如图,已知 RtABC 的两条直角边 AC,BC 的长分别为 3 cm,4 cm,以 AC 为直径的圆与 AB 交于点 D,则_.BDDA4(2009广东)如图,点 A,B,C 是圆 O 上的点,且 AB4,ACB45,则圆 O 的面积为_ 5已知 PA 是圆 O 的切线,切点为 A,PA2,AC 是圆 O 的直径,PC 与圆 O 交于 点 B,PB1,则圆 O 的半径 R_. 6如图,圆 O 是ABC 的外接圆,过点 C 的切线交 AB 的延长线于点 D,CD2,AB3.则 B
9、D 的长为_77(2011天津)如图,已知圆中两条弦 AB 与 CD 相交于点 F,E 是 AB 延长线上一点, 且 DFCF,AFFBBE421.若 CE 与圆相切,则线段 CE 的长为_28(2010天津)如图,四边形 ABCD 是圆 O 的内接四边形,延长 AB 和 DC 相交于点P.若 , ,则的值为_PBPA12PCPD13BCAD二、解答题(共 35 分)9(11 分)如图,三角形 ABC 中,ABAC,O 经过点 A,与 BC 相切于 B,与 AC 相交于 D,若 ADCD1,求O 的半径 r.10(12 分)(2009江苏)如图,在四边形 ABCD 中,ABCBAD.求证:AB
10、CD.11(12 分)(2011江苏)如图,圆 O1与圆 O2内切于点 A,其半径分别为 r1与 r2(r1r2)圆 O1的弦 AB 交圆 O2于点 C(O1不在 AB 上)求证:ABAC 为定值学案学案 74 几何证明选讲几何证明选讲(二)直线与圆的位置关系自主梳理 1(1)圆周角 弧 同弧 等弧 所对的弧 圆周角 半圆 弦为直径 (2)一半 2.(1)圆 相交弦 两条线段长 (2)等比中项 (3)割线 3.圆外 切线长 4.(1)互补 对角 (2)对角互补 圆 内角的 对角 共圆 5(1)半径 圆心 切线 切点 圆心 (2)外端 垂直 自我检测1.12解析 设切点为 T,则 DTAC,AD
11、2DB2DT,A30,sin A .12223解析 连接 CB,则DCACBA,又ADCACB90,ADCACB.ADACACABAC2ABAD2612.AC2.33.2 33解析 如图,连接 CE,AO,AB.根据 A,E 是半圆周上的两个三等分点,BC 为直径,可得CEB90,CBE30,AOB60,故AOB 为等边三角形,AD,ODBD1,DF,AFADDF.3332 33440 解析 如图,连接 BD,则 BDAC,由射影定理知,AB2ADAC32501 600,故 AB40.54 30 解析 由切割线定理得 PD2PEPF,PE4,EF8,OD4.PD2PF16 312又ODPD,O
12、D PO,P30,12POD602EFD,EFD30.课堂活动区 例 1 解题导引 (1)借用等弦或等弧所对圆周角相等,所对的圆心角相等,进行角的等量代换;同时也可借在同圆或等圆中,相等的圆周角(或圆心角)所对的弧相等,进行弧(或弦)的等量代换(2)本题的证法是证明一条线段等于另一条线段的一半的常用方法证明 作直径 AF,连接 BF,CF,则ABFACF90.又 OEAB,O 为 AF 的中点,则 OE BF.12ACBD,DBCACB90,又AF 为直径,BAFBFA90,AFBACB,DBCBAF,即有 CDBF.从而得 OE CD.12变式迁移 1 证明 CM 是ACB 的平分线,ACA
13、MBCBM即 BCAC,BMAM又由割线定理得 BMBABNBC,BNACBMBA,BMAM又AC AB,BN3AM,13在圆 O 内ACMMCN,AMMN,BN3MN.例 2 解题导引 证明多点共圆,当它们在一条线段同侧时,可证它们对此线段张角相等,也可以证明它们与某一定点距离相等;如两点在一条线段异侧,则证明它们与线段两端点连成的凸四边形对角互补证明 连接 EF,因为 EM 是AEC 的角平分线,所以FECFEA2FEM.同理,EFCEFA2EFM.而BCDBADECFBAD(180FECEFC)(180FEAEFA)3602(FEMEFM)3602(180EMF)2EMF180,即BCD
14、 与BAD 互补所以四边形 ABCD 内接于圆变式迁移 2 (1)证明 连接 OP,OM,因为 AP 与O 相切于点 P,所以 OPAP.因为 M 是O 的弦 BC 的中点,所以 OMBC.于是OPAOMA180,由圆心 O 在PAC 的内部,可知四边形 APOM 的对角互补,所以 A,P,O,M 四点共圆(2)解 由(1)得 A,P,O,M 四点共圆,所以OAMOPM.由(1)得 OPAP.由圆心 O 在PAC 的内部,可知OPMAPM90,所以OAMAPM90.例 3 解题导引 寻找适当的相似三角形,把几条要证的线段集中到这些相似三角形中,再用圆中角、与圆有关的比例线段的定理找到需要的比例式,使问题得证证明 (1)AEDEPCC,ADEAPDPAB.因 P