《2015届高三数学北师大版（通用，理）总复习学案：学案74 几何证明选讲(二)直线与圆的位置关系》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2015届高三数学北师大版（通用，理）总复习学案：学案74 几何证明选讲(二)直线与圆的位置关系（12页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、学案学案 74 几何证明选讲几何证明选讲(二)直线与圆的位置关系导学目标： 1.理解圆周角定理，弦切角定理及其推论；2.理解圆的切线的判定及性质 定理；3.理解相交弦定理，割线定理，切割线定理；4.理解圆内接四边形的性质定理及判 定自主梳理 1圆周角、弦切角及圆心角定理 (1)_的度数等于其的对_的度数的一半 推论 1：_(或_)所对的圆周角相等；同圆或等圆中，相等的圆周角 _相等 推论 2：半圆(或直径)所对的_等于 90.反之，90的圆周角所对的弧是 _(或_) (2)弦切角的度数等于其所夹孤的度数的_ (3)圆心角的度数等于它所对弧的度数 2圆中比例线段有关定理 (1)相交弦定理：_的两
2、条_，每条弦被交点分成的_的积 相等 (2)切割线定理：从圆外一点引圆的一条割线和一条切线，切线长是这点到割线与圆的 两个交点的线段长的_ (3)割线定理：从圆外一点引圆的两条_，该点到每条割线与圆的交点的两条线 段长的积相等 温馨提示 相交弦定理，切割线定理，割线定理揭示了与圆有关的线段间的比例关系，在与圆有关的比例线段问题的证明、计算以及证明线段或角相等等问题中应用甚广3切线长定理 从_一点引圆的两条切线，_相等 4圆内接四边形的性质与判定定理 (1)性质定理：圆内接四边形的对角_ 推论：圆内接四边形的任何一个外角都等于它的内角的_ (2)判定定理：如果四边形的_，则四边形内接于_ 推论：
3、如果四边形的一个外角等于它的_，那么这个四边形的四个顶点 _ 5圆的切线的性质及判定定理 (1)性质定理：圆的切线垂直于经过切点的_ 推论 1：经过_且_与垂直的直线必经过切点 推论 2：经过_且切线与垂直的直线必经过 _ (2)判定定理：过半径_且与这条半径_的直线是圆的切线 自我检测1如图在 RtABC 中，B90，D 是 AB 上一点，且 AD2DB，以 D 为圆心， DB 为半径的圆与 AC 相切，则 sin A_. 2(2010南京模拟)如图，AB 是圆 O 的直径，EF 切圆 O 于 C，ADEF 于 D，AD2，AB6，则 AC 长为_3(2011湖南)如图，A，E 是半圆周上的
4、两个三等分点，直径 BC4，ADBC，垂 足为 D，BE 与 AD 相交于点 F，则 AF 的长为_ 4如图所示，AB 是O 的直径，BC 是O 的切线，AC 交O 于点 D，若 AD32，CD18，则 AB_.5(2010揭阳模拟)如图，已知 P 是O 外一点，PD 为O 的切线，D 为切点，割线 PEF 经过圆心 O，PF12，PD4，则圆 O 的半径长为_、EFD 的度数为3 _.探究点一 与圆有关的等角、等弧、等弦的判定例 1 如图，O 的两条弦 AC，BD 互相垂直，OEAB，垂足为点 E.求证：OE CD.12变式迁移 1 在ABC 中，已知 CM 是ACB 的平分线，AMC 的外
5、接圆 O 交 BC 于点 N；若 AC AB，求证：BN3MN.13探究点二 四点共圆的判定例 2 如图，四边形 ABCD 中，AB、DC 的延长线交于点 E，AD，BC 的延长线交于 点 F，AED，AFB 的角平分线交于点 M，且 EMFM.求证：四边形 ABCD 内接于 圆变式迁移 2 如图，已知 AP 是O 的切线，P 为切点，AC 是O 的割线，与O 交于 B、C 两点，圆心 O 在PAC 的内部，点 M 是 BC 的中点 (1)证明：A，P，O，M 四点共圆； (2)求OAMAPM 的大小探究点三 与圆有关的比例线段的证明例 3 如图，PA 切O 于点 A，割线 PBC 交O 于点
6、 B，C，APC 的角平分线分别 与 AB，AC 相交于点 D，E，求证： (1)ADAE； (2)AD2DBEC.变式迁移 3 (2010全国)如图，已知圆上的弧，过 C 点的圆的切线与 BA 的延长线交于 E 点，证明：AACABD(1)ACEBCD； (2)BC2BECD.1圆周角定理与圆心角定理在证明角相等时有较普遍的应用，尤其是利用定理进行等角代换与传递2要注意一些常用的添加辅助线的方法，若证明直线与圆相切，则连结直线与圆的公共点和圆心证垂直；遇到直径时，一般要引直径所对的圆周角，利用直径所对的圆周角是直角解决有关问题3判断两线段是否相等，除一般方法(通过三角形全等)外，也可用等线段
7、代换，或用圆心角定理及其推论证明4证明多点共圆的常用方法：(1)证明几个点与某个定点距离相等；(2)如果某两点在某条线段的同旁，证明这两点对这条线段的张角相等；(3)证明凸四边形内对角互补(或外角等于它的内角的对角)5圆中比例线段有关定理常与圆周角、弦切角联合应用，要注意在题中找相等的角，找相似三角形，从而得到线段的比(满分：75 分)一、填空题(每小题 5 分，共 40 分) 1如图，已知 AB，CD 是O 的两条弦，且 ABCD，OEAB，OFCD，垂足分别是 E，F，则结论，AOBCOD，OEOF，中，正AABACDAADABC 确的有_个2(2010湖南)如图所示，过O 外一点 P 作
8、一条直线与O 交于 A、B 两点已知 PA2，点 P 到O 的切线长 PT4，则弦 AB 的长为_3(2010陕西)如图，已知 RtABC 的两条直角边 AC，BC 的长分别为 3 cm,4 cm，以 AC 为直径的圆与 AB 交于点 D，则_.BDDA4(2009广东)如图，点 A，B，C 是圆 O 上的点，且 AB4，ACB45，则圆 O 的面积为_ 5已知 PA 是圆 O 的切线，切点为 A，PA2，AC 是圆 O 的直径，PC 与圆 O 交于 点 B，PB1，则圆 O 的半径 R_. 6如图，圆 O 是ABC 的外接圆，过点 C 的切线交 AB 的延长线于点 D，CD2，AB3.则 B
9、D 的长为_77(2011天津)如图，已知圆中两条弦 AB 与 CD 相交于点 F，E 是 AB 延长线上一点， 且 DFCF，AFFBBE421.若 CE 与圆相切，则线段 CE 的长为_28(2010天津)如图，四边形 ABCD 是圆 O 的内接四边形，延长 AB 和 DC 相交于点P.若 ， ，则的值为_PBPA12PCPD13BCAD二、解答题(共 35 分)9(11 分)如图，三角形 ABC 中，ABAC，O 经过点 A，与 BC 相切于 B，与 AC 相交于 D，若 ADCD1，求O 的半径 r.10(12 分)(2009江苏)如图，在四边形 ABCD 中，ABCBAD.求证：AB
10、CD.11(12 分)(2011江苏)如图，圆 O1与圆 O2内切于点 A，其半径分别为 r1与 r2(r1r2)圆 O1的弦 AB 交圆 O2于点 C(O1不在 AB 上)求证：ABAC 为定值学案学案 74 几何证明选讲几何证明选讲(二)直线与圆的位置关系自主梳理 1(1)圆周角 弧 同弧 等弧 所对的弧 圆周角 半圆 弦为直径 (2)一半 2.(1)圆 相交弦 两条线段长 (2)等比中项 (3)割线 3.圆外 切线长 4.(1)互补 对角 (2)对角互补 圆 内角的 对角 共圆 5(1)半径 圆心 切线 切点 圆心 (2)外端 垂直 自我检测1.12解析 设切点为 T，则 DTAC，AD
11、2DB2DT，A30，sin A .12223解析 连接 CB，则DCACBA，又ADCACB90，ADCACB.ADACACABAC2ABAD2612.AC2.33.2 33解析 如图，连接 CE，AO，AB.根据 A，E 是半圆周上的两个三等分点，BC 为直径，可得CEB90，CBE30，AOB60，故AOB 为等边三角形，AD，ODBD1，DF，AFADDF.3332 33440 解析 如图，连接 BD，则 BDAC，由射影定理知，AB2ADAC32501 600，故 AB40.54 30 解析 由切割线定理得 PD2PEPF，PE4，EF8，OD4.PD2PF16 312又ODPD，O
12、D PO，P30，12POD602EFD，EFD30.课堂活动区 例 1 解题导引 (1)借用等弦或等弧所对圆周角相等，所对的圆心角相等，进行角的等量代换；同时也可借在同圆或等圆中，相等的圆周角(或圆心角)所对的弧相等，进行弧(或弦)的等量代换(2)本题的证法是证明一条线段等于另一条线段的一半的常用方法证明 作直径 AF，连接 BF，CF，则ABFACF90.又 OEAB，O 为 AF 的中点，则 OE BF.12ACBD，DBCACB90，又AF 为直径，BAFBFA90，AFBACB，DBCBAF，即有 CDBF.从而得 OE CD.12变式迁移 1 证明 CM 是ACB 的平分线，ACA
13、MBCBM即 BCAC，BMAM又由割线定理得 BMBABNBC，BNACBMBA，BMAM又AC AB，BN3AM，13在圆 O 内ACMMCN，AMMN，BN3MN.例 2 解题导引 证明多点共圆，当它们在一条线段同侧时，可证它们对此线段张角相等，也可以证明它们与某一定点距离相等；如两点在一条线段异侧，则证明它们与线段两端点连成的凸四边形对角互补证明 连接 EF，因为 EM 是AEC 的角平分线，所以FECFEA2FEM.同理，EFCEFA2EFM.而BCDBADECFBAD(180FECEFC)(180FEAEFA)3602(FEMEFM)3602(180EMF)2EMF180，即BCD
14、 与BAD 互补所以四边形 ABCD 内接于圆变式迁移 2 (1)证明 连接 OP，OM，因为 AP 与O 相切于点 P，所以 OPAP.因为 M 是O 的弦 BC 的中点，所以 OMBC.于是OPAOMA180，由圆心 O 在PAC 的内部，可知四边形 APOM 的对角互补，所以 A，P，O，M 四点共圆(2)解 由(1)得 A，P，O，M 四点共圆，所以OAMOPM.由(1)得 OPAP.由圆心 O 在PAC 的内部，可知OPMAPM90，所以OAMAPM90.例 3 解题导引 寻找适当的相似三角形，把几条要证的线段集中到这些相似三角形中，再用圆中角、与圆有关的比例线段的定理找到需要的比例式，使问题得证证明 (1)AEDEPCC，ADEAPDPAB.因 P
