《2019届高考高三数学一轮难点热点专题23利用正（余）弦定理破解解三角形问题》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2019届高考高三数学一轮难点热点专题23利用正（余）弦定理破解解三角形问题（22页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、2019 届高三数学一轮复习热点难点精讲专题突破1专题专题 23 利用正（余）弦定理破解解三角形问题利用正（余）弦定理破解解三角形问题考纲要求考纲要求: :1.1.掌握正弦定理、余弦定理，并能解决一些简单的三角形度量问题掌握正弦定理、余弦定理，并能解决一些简单的三角形度量问题. .2 2. .会会利利用用三三角角形形的的面面积积公公式式解解决决几几何何计计算算问问题题. .CabSsin21基础知识回顾基础知识回顾: :1.1.2 2R R，其中，其中R R是三角形外接圆的半径是三角形外接圆的半径a a s si in n A Ab b s si in n B Bc c s si in n C
2、 C由正弦定理可以变形：由正弦定理可以变形：(1)(1) a ab bc csinsin A Asinsin B Bsinsin C C；(2)(2) a a2 2RsinRsin A A，b b2 2RsinRsin B B，c c2 2RsinRsin C C. .2 2余弦定理：余弦定理：a a2 2b b2 2c c2 22 2bccosbccos A A，b b2 2a a2 2c c2 22 2accosaccos B B，c c2 2a a2 2b b2 22 2abcosabcos C C变形：变形：coscos A A，coscos B B，coscos C C. .b b2
3、 2c c2 2a a2 2 2 2b bc ca a2 2c c2 2b b2 2 2 2a ac ca a2 2b b2 2c c2 2 2 2a ab b3.3.在在ABCABC中，已知中，已知a a，b b和和A A解三角形时，解的情况解三角形时，解的情况A为锐角A为钝角或直角图形关系式absinAabsinAbsinAabababab解的个数无解一解两解一解一解无解4.4.三角形常用的面积公式三角形常用的面积公式(1)(1)S Sa ah ha a( (h ha a表示表示a a边上的高边上的高) )(2)(2)S SabsinCabsinCacsinBacsinBbcsinAbcs
4、inA. .1 1 2 21 1 2 21 1 2 21 1 2 2a ab bc c 4 4R R(3)(3)S Sr r( (a ab bc c)()(r r为内切圆半径为内切圆半径) )1 1 2 2应用举例应用举例: :类型一、利用正（余）弦定理解三角形类型一、利用正（余）弦定理解三角形【例 1】 【河北省唐山一中 2018 届高三下学期强化提升考试（一） 】已知已知中，中，点，点 在在边边上，且上，且（1 1）若）若，求，求； =2, = 2（2 2）求）求的周长的取值范围的周长的取值范围2019 届高三数学一轮复习热点难点精讲专题突破2【答案答案】 （1）；（2）.423中，利用正
5、弦定理得：， = = =4 63所以：，由于：，则：，= 2 2 +4 63(32 +32)由于：，则：，得到：，所以的周长的范围是：.【点睛】本题考查了用正弦定理、余弦定理解三角形，尤其在求三角形周长时解题方法是利用正弦定理将边长转化为角的问题，然后利用辅助角公式进行化简，求出范围，一定要掌握解题方法。【例 2】 【河北省衡水中学 2018 届高三考前适应性训练】已知在已知在中，中，所对的边分别为所对的边分别为，. .（1 1）求）求 的大小；的大小； （2 2）若）若，求，求 的值的值. . = 22019 届高三数学一轮复习热点难点精讲专题突破3【答案答案】 （1）或（2）1 =蟺 3（
6、2）， = 2又由余弦定理得，2+ 2= (1 + 2)当时，则，2+ 2 2 = 0当时，则，此方程无解.综上所述，当且仅当时，可得. =蟺 3 = 1【点睛】解三角形问题，多为边和角的求值问题，这就需要根据正、余弦定理结合已知条件灵活转化边和角之间的关系，从而达到解决问题的目的.其基本步骤是： 第一步：定条件，即确定三角形中的已知和所求，在图形中标出来，然后确定转化的方向.第二步：定工具，即根据条件和所求合理选择转化的工具，实施边角之间的互化.第三步：求结果. 2019 届高三数学一轮复习热点难点精讲专题突破4类型二、利用正（余）弦定理判断三角形形状类型二、利用正（余）弦定理判断三角形形状
7、【例 3】在在中，中，. .（1 1）求证：）求证：是直角三角形；是直角三角形；（2 2）若点）若点 在在边上，且边上，且，求，求【答案答案】 （1）见解析；（2）（2）设，则，所以， 在中， 由正弦定理得，所以【点睛】本题主要考查的知识点是运用正弦定理和余弦定理解三角形，注意角之间的表示，本题需要一定的计算【例 4】 【浙江省“七彩阳光”联盟 2019 届高三期初联考】在在中，角中，角所对的边分别为所对的边分别为，已知，已知2019 届高三数学一轮复习热点难点精讲专题突破5且且 + = .（1 1）判断）判断的形状；的形状；（2 2）若）若，求，求的面积的面积. .【答案答案】 （1）见解析
8、；（2）（2）由（1）知，则， = 因为，所以由余弦定理，得，解得， 2= 8 + 4 3所以的面积【点睛】本题运用正弦定理、余弦定理和三角形面积公式解三角形，注意在运算过程中作为隐含的条件成立并且加以运用。类型三、利用正（余）弦定理解决与三角形面积有关的问题类型三、利用正（余）弦定理解决与三角形面积有关的问题【例 5】 【云南省红河州 2018 届高三复习统一检测】在在中中, ,角角 , , , , 的对边分别为的对边分别为. .已知已知, ,. .(1)(1)求角求角 ；2019 届高三数学一轮复习热点难点精讲专题突破6(2)(2)若若，求，求的面积的面积【答案答案】(1)；(2)2.5
9、8蟺（2）由（1）得,因为得 ,同理得,所以的面积 . 【点睛】本题考查三角形的解法，正弦定理的应用，两角和与差的三角函数的应用，考查计算能力【例 6】 【黑龙江省 2018 年普通高等学校招生全国统一考试仿真模拟（八） 】在在中，角中，角 ， ， 的对边的对边分别是分别是 ， ， ，若，若，成等差数列成等差数列. .（1 1）求）求 ；（2 2）若）若，求，求的面积的面积. . =32019 届高三数学一轮复习热点难点精讲专题突破7【答案答案】(1)；(2).又，2 = (蟺 )即.而，由，得.方法、规律归纳方法、规律归纳: :1.1.三角形中常见的结论三角形中常见的结论(1)(1)A AB
10、 BC C. . (2)(2)在在ABCABC中，中，A AB Ba ab bsinAsinAsinBsinBcosAcosAcosBcosB. .2019 届高三数学一轮复习热点难点精讲专题突破8(3)(3)任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边(4)(4)三角形内的诱导公式：三角形内的诱导公式：sinsin( (A AB B) )sinsin C C；coscos( (A AB B) )coscos C C；tantan( (A AB B) )tantan C C；sinsincoscos；coscossinsin. .A AB B 2
11、 2C C 2 2A AB B 2 2C C 2 2(6)(6)在在ABCABC中，中，A A，B B，C C成等差数列的充要条件是成等差数列的充要条件是B B6060 . .(7)(7)ABCABC为正三角形的充要条件是为正三角形的充要条件是A A，B B，C C成等差数列且成等差数列且a a，b b，c c成等比数列成等比数列2.2.判定三角形形状的两种常用途径判定三角形形状的两种常用途径(1)(1)通过正弦定理和余弦定理，化边为角，利用三角变换得出三角形内角之间的关系进行判断通过正弦定理和余弦定理，化边为角，利用三角变换得出三角形内角之间的关系进行判断(2)(2)利用正弦定理、余弦定理化
12、角为边，通过代数恒等变换，求出边与边之间的关系进行判断利用正弦定理、余弦定理化角为边，通过代数恒等变换，求出边与边之间的关系进行判断实战演练实战演练: :1 1 【黑龙江省 2018 年普通高等学校招生全国统一考试仿真模拟（十一） 】在在中，角中，角所对的边分所对的边分别为别为，且，且（1 1）求）求；（2 2）若）若，求，求的面积的最大值的面积的最大值【答案答案】(1) ；(2).【点睛】2019 届高三数学一轮复习热点难点精讲专题突破9在处理三角形中的边角关系时，一般全部化为角的关系，或全部化为边的关系题中若出现边的一次式一般采用到正弦定理，出现边的二次式一般采用到余弦定理应用正、余弦定理
13、时，注意公式变式的应用解决三角形问题时，注意角的限制范围2 2 【黑龙江省 2018 年普通高等学校招生全国统一考试仿真模拟（七） 】在在中，角中，角 ， ， 的对边分别的对边分别为为 ， ， ，. .（1 1）若）若，求，求的面积；的面积；（2 2）若）若的面积为的面积为，求，求 ， . .【答案答案】(1)；(2)，. = 22019 届高三数学一轮复习热点难点精讲专题突破103 3 【福建省闽侯第二中学、连江华侨中学等五校教学联合体 2017 届高三上学期期中考试】已知已知中，中，角角所对的边分别为所对的边分别为且且 （1 1）求角）求角 的大小；的大小；（2 2）若）若，求，求面积的最
14、大值。面积的最大值。【答案答案】；（2） 【解析解析】【分析】（1）利用正弦定理和三角恒等变换的方法化简即得角 的大小.(2)先证明2019 届高三数学一轮复习热点难点精讲专题突破11再求面积的最大值.螖【详解】（1）（2） 【点睛】(1)本题主要考查正弦定理余弦定理解三角形，考查基本不等式求最值，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.(2)本题解题的关键是.4 4 【安徽省定远重点中学 2018 届高三 5 月高考模拟考试】已知已知中，内角中，内角所对的边分别为所对的边分别为，其中其中， （1 1）若）若，求，求的值；的值；（2 2）若）若边上的中线长为边上的中线长为，求，求的面积的面积. .【答案答案】(1) (2) = 4（）由边上的中线长为，利用向量的运算和夹角公式求解，即可求解【详解】（1）依题意， ，故，所以，所以，即， coscos + sinsin + coscos = 2sincos2019 届高三数学一轮复习热点难点精讲专题突破12即，因为，所以，故，sinsin = 2sincos可得；（2）记边上的中线为 CD，故，所以，结合（
