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1、函数与方程函数与方程吴海吴海钦钦【教学目标教学目标】 1.1.知识与技能知识与技能 能利用二次函数的图象与判别式的符号，判断一元二次方程根的存在性及根的个数，能利用二次函数的图象与判别式的符号，判断一元二次方程根的存在性及根的个数， 了解函数的零点与方程根的联系。了解函数的零点与方程根的联系。 2.2.过程与方法过程与方法 通过观察研究、合作交流、体验并理解函数与方程的相互转化的数学思想方通过观察研究、合作交流、体验并理解函数与方程的相互转化的数学思想方法。培养法。培养 用函数解决方程问题的能力。用函数解决方程问题的能力。 3.3.情感态度价值观情感态度价值观 培养学生交流协作、归纳总结、勇于
2、探究的学习精神。培养学生交流协作、归纳总结、勇于探究的学习精神。 【教学重点教学重点】 把一元把一元二次方程根的分布转化为二次函数图象问题来解决。二次方程根的分布转化为二次函数图象问题来解决。 【教学难点教学难点】 如何根据一元二次方程根的情况，作出符合题意的函数图象。如何根据一元二次方程根的情况，作出符合题意的函数图象。 【内容分析内容分析】 1.1.本节开头为我们提供这样两个问题情境：本节开头为我们提供这样两个问题情境：（1 1）利用函数图象能求出）利用函数图象能求出的近似解吗？的近似解吗？0 840 5x（2 2）利用什么）利用什么方法可以求出方程方法可以求出方程的近似解？的近似解？lg
3、3xx此问引起我们的思考：方程的解与函数图象有怎样的关系？如何把方程的问题转化为此问引起我们的思考：方程的解与函数图象有怎样的关系？如何把方程的问题转化为 函数问题？故从学生熟悉的一元二次方程入手，探讨其与二次函数的关系，即怎样运用二函数问题？故从学生熟悉的一元二次方程入手，探讨其与二次函数的关系，即怎样运用二 次函数的图象与次函数的图象与轴的交点的个数判断一元二次方程根的存在性及根的个数，从而了解函轴的交点的个数判断一元二次方程根的存在性及根的个数，从而了解函x 数的零点与方程根的联系。数的零点与方程根的联系。 2.2.把方程转化为函数，关键要能作出函数的图象，把方程转化为函数，关键要能作出
4、函数的图象，运用函数的性质。所以在判断一元运用函数的性质。所以在判断一元 二次方程根的个数时，应结合二次函数图象的顶点位置以及开口方向、对称轴等来确定方二次方程根的个数时，应结合二次函数图象的顶点位置以及开口方向、对称轴等来确定方 程根的分布，列出符合条件的不等式或不等式组。程根的分布，列出符合条件的不等式或不等式组。 3.3.渗透算法思想为后面学习二分法作准备。渗透算法思想为后面学习二分法作准备。 【课前准备课前准备】 六张幻灯片，实物投影六张幻灯片，实物投影 【设计思想设计思想】 1.1.指导思想：指导思想： 本节课本着本节课本着“教师为主导，学生为主体，问题为主轴，探究为主训教师为主导，
5、学生为主体，问题为主轴，探究为主训”的原则进行设计。的原则进行设计。 教师的主导作用在于激发学生的探究问题的热情和信心，通过教师在课堂上的精心设计，教师的主导作用在于激发学生的探究问题的热情和信心，通过教师在课堂上的精心设计， 以启发、探究式教学为主，引导学生进入问题情境，同时发挥学生的主观能动性，师生共以启发、探究式教学为主，引导学生进入问题情境，同时发挥学生的主观能动性，师生共 同推进课堂教学活动，使学生有一个积极的态度探究新知识。同推进课堂教学活动，使学生有一个积极的态度探究新知识。 学生是课堂的主体，教师要以问题为主线，引导学生讨论、探究问题，共同发现知识学生是课堂的主体，教师要以问题
6、为主线，引导学生讨论、探究问题，共同发现知识 的发生的发生、发展过程，从中探讨新旧知识的内在联系，发现规律。这就要求教师留给学生有、发展过程，从中探讨新旧知识的内在联系，发现规律。这就要求教师留给学生有 观察、动手、表达、思考、交流、表现等时机，让学生真正成为学习的主人，主动地和生观察、动手、表达、思考、交流、表现等时机，让学生真正成为学习的主人，主动地和生 动地进行认知建构。动地进行认知建构。2.2.教学实施教学实施 （1 1）问题情境：开头提出两个问题让学生思考，激发学生的求知欲；）问题情境：开头提出两个问题让学生思考，激发学生的求知欲； （2 2）学生活动：当提出的问题学生无法解决，思维
7、受阻时，要从学生已有的知识结构）学生活动：当提出的问题学生无法解决，思维受阻时，要从学生已有的知识结构 入手，探究其与新知识之间的联系。这个过程实质上就是原有认知结构入手，探究其与新知识之间的联系。这个过程实质上就是原有认知结构不断地同化或顺应不断地同化或顺应 的过程，是这节课的重要环节，也是学生思维最活跃、最紧张、最有效的认知高潮。教师的过程，是这节课的重要环节，也是学生思维最活跃、最紧张、最有效的认知高潮。教师 应抓住这个时机，充分调动学生的参与力度和广度，让学生从中体会探究问题、解决问题应抓住这个时机，充分调动学生的参与力度和广度，让学生从中体会探究问题、解决问题 的乐趣。的乐趣。 （3
8、 3）意义建构：通过热烈地探讨和研究，新知识）意义建构：通过热烈地探讨和研究，新知识的组建是水到渠成。总结和归纳新的组建是水到渠成。总结和归纳新 旧知识之间内在联系和发展规律，使认识问题达到质的飞旧知识之间内在联系和发展规律，使认识问题达到质的飞跃。跃。 （4 4）数学运用：理论指导实践，并在实践中得到检验。这个过程也是新知识再认识、）数学运用：理论指导实践，并在实践中得到检验。这个过程也是新知识再认识、 再建构的过程。再建构的过程。 （5 5）回顾反思：回顾历程，展示收获，是一件美好、愉快的事情。）回顾反思：回顾历程，展示收获，是一件美好、愉快的事情。 （6 6）布置作业：做好课堂巩固，反馈
9、教学效果，是教学环节不可少的环节。）布置作业：做好课堂巩固，反馈教学效果，是教学环节不可少的环节。 【教学过程教学过程】 一、问题情境（幻灯片）一、问题情境（幻灯片）问题问题 1 1 利用函数图象能求出利用函数图象能求出的近似解吗？的近似解吗？0 840 5x问题问题 2 2 利用什么方法可以求出方程利用什么方法可以求出方程的近似解？的近似解？lg3xx教师：请同学们思考这两个问题，看是否能解决。教师：请同学们思考这两个问题，看是否能解决。 二、学生活动二、学生活动 学生对上述问题展开讨论，寻求解题方法。学生对上述问题展开讨论，寻求解题方法。结果：第一个问题可作出函数结果：第一个问题可作出函数
10、的简图，但要求的简图，但要求的近似解仍是束的近似解仍是束0.84xy 0 840 5x手无策。第二个问题，更是无法解答。手无策。第二个问题，更是无法解答。 教师：大家通过讨论发现无法解答这两个问题。但是它给我们提出一个新的问题，那教师：大家通过讨论发现无法解答这两个问题。但是它给我们提出一个新的问题，那 就是函数图象与方程存在怎样的关系？请看问题就是函数图象与方程存在怎样的关系？请看问题 3 3（从学生熟悉的一元二次不等式入手，（从学生熟悉的一元二次不等式入手， 探究这类题型的解题方法）探究这类题型的解题方法） 。 （幻灯片）（幻灯片） （板书课题：函数与方程）（板书课题：函数与方程）问题问题
11、 3 3 你能证明一元二次方程你能证明一元二次方程有两个不相等的实数根吗？有两个不相等的实数根吗？22370xx学生进行了热烈讨论（在投影仪上展示学生成果）学生进行了热烈讨论（在投影仪上展示学生成果）学生学生 A A：用判别式的符号判定：用判别式的符号判定：，所以方程，所以方程234 2 ( 7)650 有两个不相等的实数根。有两个不相等的实数根。22370xx学生学生 B B：运用配方法求根：运用配方法求根：，即，即，显，显2365 416x365 44x 365 44x 然原方程有两个不相等的实数根，也可以用求根公式求。然原方程有两个不相等的实数根，也可以用求根公式求。学生学生 C C：设
12、：设，因为函数，因为函数是开口向上的抛物是开口向上的抛物22365( )2372()48f xxxx( )f x线，顶点坐标为线，顶点坐标为在在轴的下方，则函数轴的下方，则函数的图象与的图象与轴有两个不同的交点，轴有两个不同的交点，365,48x( )f xx即方程即方程有两个不相等的实数根。有两个不相等的实数根。22370xx学生学生 D D：设：设，因为函数的图象是一条开口向上的抛物线，且，因为函数的图象是一条开口向上的抛物线，且2( )237f xxx，所以函数，所以函数的图象与的图象与轴有两个不同的交点，即方轴有两个不同的交点，即方2(0)2 03 0770f ( )f xx程程有两个
13、不相等的实数根。有两个不相等的实数根。22370xx学生学生 E E：对函数：对函数，只要找到一个实数，只要找到一个实数使使，即可说明，即可说明2( )237f xxx0x0()0f x有两个不相等的实数根。有两个不相等的实数根。22370xx教师：同学们讨论的很好！前面两种方法是从方程角度来证明，后面三种方法是把方教师：同学们讨论的很好！前面两种方法是从方程角度来证明，后面三种方法是把方 程转化为函数来处理。从这两种处理方法来看，大家觉得哪一种方法好？程转化为函数来处理。从这两种处理方法来看，大家觉得哪一种方法好？ 学生：第一种方法好，只用判别式就可以证明，其它方法没有必要。学生：第一种方法
14、好，只用判别式就可以证明，其它方法没有必要。 教师：对，只要用判别式就足以解决本题，既简单又容易接受。把方程转化为函数来教师：对，只要用判别式就足以解决本题，既简单又容易接受。把方程转化为函数来 处理看不出优势。那么这种方法出现有没有价值呢？请看问题处理看不出优势。那么这种方法出现有没有价值呢？请看问题 4 4（幻灯片）：（幻灯片）： 问题问题 4 4 已知方程已知方程有一个实根大于有一个实根大于 1 1，另一个实根小于，另一个实根小于 1 1，求实数，求实数2230xaxa的取值范围。的取值范围。a （组织学生讨论，在投影仪上展示学生成果）（组织学生讨论，在投影仪上展示学生成果）学生学生 A
15、 A：设方程：设方程的两个根分别为的两个根分别为，由题意知：，由题意知：2230xaxa12,x x即：即：120 (1)(1)0xx 21212(2 )4(3)0(1) () 10(2)aa x xxx 再由再由代入（代入（2 2） ，就可以求出，就可以求出的范围的范围 。12122 ,3xxa x xa a2 3a 学生学生 B B：设：设，由图可知，由图可知2( )23f xxaxa即即 ：，0 (1)0f 2(2 )4(3)0 1230aa aa可求得可求得的范围的范围 。a2 3a 学生学生 C C：设：设，由图可知，由图可知，即，即，2( )23f xxaxa(1)0f1230aa。2 3a 教师：我们先就学生教师：我们先就学生 B B、C C 解法讨论一下，究竟要不要解法讨论一下，究竟要不要，为什么？，为什么？0学生：不需要学生：不需要，因为函数，因为函数的图象开口向上，若的图象开口向上，若，则二次函数，则二次函数0( )f x(1)0f与与轴恒有两个交点，且一个交点的横坐标大于轴恒有两个交点，且一个交点的横坐标大于 1 1，另一个交点的横坐标小于，另一个交点的横坐标小于 1 1。( )f xx教师：回答得很好！再把此法与学生教师：回答得很好！再把此法与学生 A A 的方法比较一下看一看优劣。的方法比较一下看一看优劣。 结论：两种方法都可以解，但把方程转化为函
