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1、第四章 插值/拟合函数与积分求解,4.1 插值函数（1）插值基础（2）拉格朗日插值（3）Matlab插值函数 4.2 拟合函数（1）曲线拟合（2） 最小二乘拟合 4.3 积分方程数值求解,一、插值基础,设函数y=f(x)在区间a,b上有定义，且已知在点 a x0x1xn b上的值y0,y1,yn,若存在一简单函数P(x),使 P（xi）=yi (i=0,1,2,n) （4-1） 成立，就称P(x)为f(x)的插值函数，点x0，x1，xn称为插值节点，包含插值节点的区间a,b称为插值区间，求插值函数P(x)的方法称为插值法。,若P(x)为插值多项式，即 P(x)=a0+a1x+anxn （4-2
2、） 其中ai为实数，就称P(x)为插值多项式，相应的插值法称为多项式插值。若P(x)为分段多项式，就称分段插值。,4.1 插值函数,从几何图形上看，插值法就是求曲线y=P(x),使其通过给定的n+1个点（xi,yi),i=0,1,n,并用它近似已知曲线y=f(x)。,插值多项式存在的唯一性 设P(x)是形如（4-2）的插值多项式，则满足条件（4-1）的插值多项式（4-2）存在唯一。,4.1 插值函数,一 线性插值与抛物插值 通过平面的两点可以确定一条直线经过两点，这就是拉格朗日线性插值；对于不在一条直线的3个点得到的插值多项式称为抛物线插值。,二、拉格朗日插值多项式,插值多项式,将上式展开，就
3、得到插值的基函数，插值多项式为,4.1 插值函数,拉格朗日插值函数通用程序,function f = Lang(x,y,x0) syms t; if(length(x) = length(y)n = length(x); elsedisp(x和y的维数不相等！);return; end %检错 f = 0; for(i = 1:n)l = y(i); for(j = 1:i-1) l = l*(t-x(j)/(x(i)-x(j); end;,% x为已知数据点的x坐标向量； %y为已知数据点的y坐标向量； % x0为插值点的x坐标； % f为求得的拉格朗日插值多项式； % f0为在x0处的插值
4、,4.1 插值函数,for(j = i+1:n)l = l*(t-x(j)/(x(i)-x(j); %计算拉格朗日基函数end;f = f + l; %计算拉格朗日插值函数 simplify(f); %化简if(i=n)if(nargin = 3)f = subs(f,t,x0); %计算插值点的函数值elsef = collect(f); %将插值多项式展开f = vpa(f,6); %将插值多项式的系数化成6位精度的小数endend end,4.1 插值函数,三 Matlab 自带函数插值,3.1 一维插值Matlab提供了interp1函数用于一维插值，其调用格式为,yi=interp1
5、(x,Y,xi,method),对节点（x,Y)进行插值，计算插值点xi的函数值； Method插值算法，默认的为线性插值：nearest:线性最近插值linear:线性插值（默认）spline:三次样条插值pchip:分段三次埃尔米特插值cubic: 双三次插值,4.1 插值函数,例【4-1】 已知函数f(x)=(x2-12x+9)e-4xcosx生成数据点，试根据生成的数据进行插值处理。,比较不同算法，计算程序“ME_7_1.m”,4.1 插值函数,例【4-2】 ：某观测站测得某日6:00时至18:00时之间每隔2小时的室内外温度()，用3次样条插值分别求得该日室内外6:30至17:30时
6、之间每隔2小时各点的近似温度()。,设时间变量h为一行向量，温度变量t为一个两列矩阵，其中第一列存放室内温度，第二列储存室外温度。命令如下：h =6:2:18; t=18,20,22,25,30,28,24;15,19,24,28,34,32,30; XI =6.5:2:17.5 YI=interp1(h,t,XI,spline) %用3次样条插值计算,4.1 插值函数,3.2 二维插值Matlab提供interp2用于二维插值，适用于二维网格数据插值，其调用格式如下：,ZI=interp2(X,Y,Z,XI,YI, method),X,Y均为矩阵在2-D区域的点，这些点的数值Z已知，因此构造
7、插值函数Z=F(X,Y),4.1 插值函数,3.3 二维随机点的插值对于任意多组数据（xi,yi,zi)采用griddata函数，其调用格式：,XI,YI,ZI=griddata(x,y,z,XI,YI, method),x,y,z 为已知样本点，XI,YI插值点的位置,【例4-3】在区间【-2,2】上创建100个随机点，用griddata函数对这些数据点进行插值,计算程序“ME_7_2.m”,4.1 插值函数,4.1 插值函数,3.4 三次样条插值,对于插值基点很多时，采用多项式插值效果并不是很好，采用三次样条插值效果更好一些，其调用格式：,yy=spline(x,Y,xx), 计算三次样条
8、插值的分段多项式，采用ppval(pp,x)计算多项式在x点的值。 pp=spline(x,Y),例4-4 利用spline函数对 y=tan(pi*x/24)进行样条插值。,ME_7_6.m,function ME_7_6 clear; x=0:10; y=tan(pi*x/24); xi=linspace(0,10); yi=spline(x,y,xi); plot(x,y,rp,xi,yi); title(插值效果图);,4.1 插值函数,3.5 B样条插值是一类常用的样条函数，其调用格式为：,Spline=spapi(knots,x,y) spapi(k,x,y), k为B样条阶数,4
9、.1 插值函数,一 最小二乘曲线拟合,4.2 拟合函数,有一组离散数据xi,yi, i=1,2N, 满足某一函数的原型y (x)=f(a,x),其中a为待定系数向量，则最小二乘曲线拟合的目标：求出这一组待定系数的值，使得目标函数为最小。Matlab调用格式如下：,4.2 拟合函数,其中 Fun为原型函数的Matlab表示，可以使M函数inline( )函数；a0 为最优化的初值；x,y 为原始输入和输出数据向量；a为返回的待定系数向量；Jm为在此待定系数下目标函数的值。,4.2 拟合函数,二 最小二乘多项式拟合对于离散型函数，若数据点较多，若将每个数据点都当做插值节点，运算显得非常复杂。在工程
10、试验中，常测得一组离散数据点（xi,yi), (i=1,2N),要求y=(x），这种应变量只有一个自变量的数据拟合方法称之为直线拟合。(仍然采用最小二乘方法),p=polyfit(x,y,n) 其中x和y为原始的样本点构成的 向量 n为选定的多项式阶数 p为多项式系数按降幂排列得出的行向量,4.2 拟合函数,函数polyval ( )根据由polyfit（ ）计算得到的多项式系数向量，计算在x处多项式函数的值y，它通常与polyfit（ ）联合使用，调用格式：,y=polyval(p, x)p: 多项式函数；x: 需要计算点的x 值。,4.2 拟合函数,三 两种拟合方法的比较,最小二乘曲线拟合
11、,最小二乘多项式拟合,p=polyfit(x,y,n),拟合的函数是固定的,且是降阶的多项式,因此拟合调用不需要注明拟合函数, 不需要初值。,相同之处:都是采用最小二乘法优化获得拟合曲线系数,拟合的函数形式可任意, 因此拟合调用需要注明拟合函数,即需要建立一个Fun的函数，需要初值，而且结果与初值密切相关。,【例4-5】,进行多项式拟合,x0=0:0.1:1; y0=(x0.2-3*x0+5).*exp(-5*x0).*sin(x0); p3=polyfit(x0,y0,3) vpa (poly2sym(p3),10) x=0:0.01:1; % 绘图 ya=(x.2-3*x+5).*exp(
12、-5*x).*sin(x); y1=polyval (p3,x); plot (x, y1, x, ya, x0, y0, o),拟合程序“ME_7_3”结果如下：,4.2 拟合函数,已知的数据点来自f(x)=(x2-3x+5)e-5xsinx,p3 = 2.8400 -4.7898 1.9432 0.0598 f(x) =2.84x3-4.79x2+1.94x+0.0598,4.2 拟合函数,例【4-6】,4.2 拟合函数,已知数据可能满足y(x)=ax+bx2e-cx+d Xi 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 Yi 2.32 2.65 2.97 3.29 3.6 Xi 0.6 0.
13、7 0.8 0.9 1 Yi 3.91 4.21 4.52 4.82 5.13,求满足最小二乘解a, b, c, d的值令 a1=a, a2=b, a3=c, a4=d, 则原型函数可写成：y(x)=a1x+a2x2e-a3x+a4,function ME_7_4 clear; x=0.1:0.1:1; y=2.32, 2.65, 2.97, 3.29, 3.6,.3.91, 4.21, 4.52, 4.82, 5.13; a=lsqcurvefit(c8f3, 1;2;2;3, x,y); a y1=c8f3(a,x); plot(x, y, x, y1),计算程序,4.2 拟合函数,fun
14、ction y=c8f3 (a, x) y=a(1)*x+a(2)*x.2.*exp(-a(3)*x)+a(4);,编写原型函数程序,4.2 拟合函数,四 最小二乘拟合生成样条曲线,函数csaps ( )的用法:平滑生成三次样条曲线,调用格式:,样条拟合曲线不要求曲线通过全部实验数据点，更适用实验观察得到的离散数据点,sp=csaps(x, y, p)ys=casps(x, y, p, xx, w),函数span2( ) 的用法:用最小二乘法生成B样条曲线,调用格式:,sp= span2(knots, k,x, y)sp= span2(knots, k, x, y, w),4.2 拟合函数,函
15、数spaps( ) 的用法:平滑生成B样条曲线,调用格式:,sp= spaps(x, y, tol)sp,ys= spaps(x, y, tol, m, w),函数fnval( ) 的用法:计算函数f在给定点x处的函数值，调用格式:,values=finval (f,x),例4-6 青霉素发酵实验数据如表所示，请分别用插值方法和最小二乘法估算t=10,30,50,70,90,110,150,190h 时青霉素的浓度。并分别画出插值函数和拟合函数曲线，并标注插值点。（ME_7_5.m),4.2 拟合函数,4.3 数值积分及应用,一 复合辛普森法积分 二 梯形求积 三 单变量数值积分问题求解 四 双重积分问题的数值解,4.3 数值积分问题,对于一个数学积分关系式： 常用的解法有：矩形法、梯形法和辛普森法。 一 复合辛普森法 基本思想：将函数f(x)的积分区间n等分（n为偶数），以两个小区间作为一个计算单元，用一个简单的二次函数近似被积函数，则函数f(x)在区间a,b积分可表述为： S=h/3f(a)-f(b)+22f(a+(2i-1)h)+f(a+2ih),
