《数学（北师大版）必修一教学设计：2-3-函数的单调性 word版含答案》由会员分享，可在线阅读，更多相关《数学（北师大版）必修一教学设计：2-3-函数的单调性 word版含答案（12页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、教学设计教学设计3 函数的单调性函数的单调性整整体体设设计计教学分析教学分析 在研究函数的性质时，单调性是一个重要内容实际上，在初中学习函数时，已经重点研究了一些函数的增减性，只是当时的研究较为粗略，未明确给出有关函数增减性的定义，对于函数增减性的判断也主要根据观察图像得出而本节内容，正是初中有关内容的深化和提高给出函数在某个区间上是增函数或减函数的定义，明确指出函数的增减性是相对于某个区间来说的，还说明判断函数的增减性既有从图像上进行观察的较为粗略的方法，又有根据定义进行证明的较为严格的方法，最好根据图像观察得出猜想，用推理证明猜想的正确性，这样就将以上两种方法统一起来了由于函数图像是发现函
2、数性质的直观载体，因此，在本节教学时可以充分使用信息技术创设教学情境，以利于学生作函数图像，有更多的时间用于思考、探究函数的单调性还要特别重视让学生经历这些概念的形成过程，以便加深对单调性的理解三维目标三维目标 1函数单调性的研究经历了从直观到抽象，以图识数的过程，在这个过程中，让学生通过自主探究活动，体验数学概念的形成过程的真谛，学会运用函数图像理解和研究函数的性质2理解并掌握函数的单调性及其几何意义，掌握用定义证明函数单调性的步骤，会求函数的单调区间，提高应用知识解决问题的能力3能够用函数的性质解决日常生活中的简单的实际问题，使学生感受到学习函数单调性的必要性与重要性，增强学生学习函数的紧
3、迫感，激发学生学习的积极性重点难点重点难点 教学重点：函数的单调性教学难点：增函数、减函数形式化定义的形成课时安排课时安排 1 课时教教学学过过程程导入新课导入新课 德国有一位著名的心理学家名叫艾宾浩斯(Hermann Ebbinghaus,18501909)，他以自己为实验对象，共做了 163 次实验，每次实验连续要做两次无误的背诵经过一定时间后再重学一次，达到与第一次学会的同样的标准他经过对自己的测试，得到了一些数据时间间隔 t0 分钟20 分钟60 分钟89小时1 天2 天6 天一个月记忆量y(百分比)100%58.2%44. 2%35.8%33.7%27.8%25.4%21.1%观察这
4、些数据，可以看出：记忆量 y 是时间间隔 t 的函数当自变量(时间间隔 t)逐渐增大时，你能看出对应的函数值(记忆量 y)有什么变化趋势吗？描出这个函数图像的草图(这就是著名的艾宾浩斯曲线)从左向右看，图像是上升的还是下降的？你能用数学符号来刻画吗？通过这个实验，你打算以后如何对待刚学过的知识？(可以借助信息技术画图像)学生：先思考或讨论，回答：记忆量 y 随时间间隔 t 的增大而增大；以时间间隔 t 为横轴，以记忆量 y 为纵轴建立平面直角坐标系，描点连线得函数的草图艾宾浩斯遗忘曲线如图 1 所示图 1遗忘曲线是一条衰减曲线，它表明了遗忘的规律随着时间的推移，记忆保持量在递减，刚开始遗忘速度
5、最快，我们应利用这一规律，在学习新知识时一定要及时复习巩固，加深理解和记忆教师提示、点拨，并引出本节课题推进新课推进新课 Error!Error!如图 2 所示的是一次函数 yx，二次函数 yx2和 yx2的图像，它们的图像有什么变化规律？这反映了相应的函数值的哪些变化规律？图 2函数图像上任意点 P(x，y)的坐标有什么意义？如何理解图像是上升的？对于二次函数 yx2，列出 x，y 的对应值表(如下表)完成下表并体会图像在 y 轴右侧上升x432101234f(x)x2在数学上规定：函数 yx2在区间(0，)上是增函数谁能给出增函数的定义？增函数的定义中，把“当 x1x2时，都有 f(x1)
6、f(x2)”改为“当 x1x2时，都有 f(x1)f(x2)” ，这样行吗？增函数的定义中， “当 x1x2时，都有 f(x1)f(x2)”反映了函数值有什么变化趋势？增函数的几何意义是什么？类比增函数的定义，请给出减函数的定义及其几何意义？函数 yfx在区间 D 上具有单调性，说明了函数 yfx在区间 D 上的图像有什么变化趋势？讨论结果：函数 yx 的图像，从左向右看是上升的；函数 yx2的图像在 y 轴左侧是下降的，在 y 轴右侧是上升的；函数 yx2的图像在 y 轴左侧是上升的，在 y 轴右侧是下降的函数图像上任意点 P 的坐标(x，y)的意义：横坐标 x 是自变量的取值，纵坐标 y
7、是自变量为 x 时对应的函数值的大小按从左向右的方向看函数的图像，意味着图像上点的横坐标逐渐增大即函数的自变量逐渐增大图像是上升的意味着图像上点的纵坐标逐渐变大，也就是对应的函数值随着逐渐增大也就是说从左向右看图像上升，反映了函数值随着自变量的增大而增大在区间(0，)上，任取 x1，x2，且 x1x2，那么就有 y1y2，也就是有 f(x1)f(x2)这样可以体会用数学符号来刻画图像上升一般地，设函数 f(x)的定义域为 I：如果对于定义域 I 内某个区间 D 上的任意两个自变量的值 x1，x2，当 x1x2时，都有 f(x1)f(x2)，那么就说函数 f(x)在区间 D 上是增函数可以增函数
8、的定义：由于当 x1x2时，都有 f(x1)f(x2)，即都是相同的不等号“”，也就是说前面是“”，后面也是“”，步调一致；“当 x1x2时，都有 f(x1)f(x2)”都是相同的不等号“”，也就是说前面是“”，后面也是“”，步调一致因此我们可以简称为：步调一致增函数函数值随着自变量的增大而增大从左向右看，图像是上升的一般地，设函数 f(x)的定义域为 I，如果对于定义域 I 内某个区间 D 上的任意两个自变量的值 x1，x2，当 x1x2时，都有 f(x1)f(x2)，那么就说函数 f(x)在区间 D 上是减函数简称为：步调不一致减函数减函数的几何意义：从左向右看，图像是下降的函数值变化趋势
9、：函数值随着自变量的增大而减小总结：如果函数 yf(x)在区间 D 上是增函数(或减函数)，那么就说函数 yf(x)在这一区间具有(严格的)单调性，区间 D 叫作 yf(x)的单调递增(或减)区间函数 yf(x)在区间 D 上，函数值的变化趋势是随自变量的增大而增大(减小)，几何意义：从左向右看，图像是上升(下降)的Error!思路 1例 1 说出函数 f(x) 的单调区间，并指明在该区间上的单调性1x活动：学生思考函数单调性的几何意义，由图像得单调区间解：解：(，0)和(0，)都是函数的单调区间，在这两个区间上函数 f(x) 是减少1x的点评：点评：本题主要考查函数单调性的几何意义，以及图像
10、法判断函数单调性图像法判断函数的单调性适合于选择题和填空题如果解答题中给出了函数的图像，通常用图像法判断单调性函数的图像类似于人的照片，我们能根据人的照片来估计其身高，同样我们根据函数的图像可以分析出函数值的变化趋势即单调性图像法求函数单调区间的步骤是：第一步，画函数的图像；第二步，观察图像，利用函数单调性的几何意义写出单调区间变式训练变式训练图 3 是定义在区间5,5上的函数 yf(x)的图像，根据图像说出函数的单调区间，以及在每一单调区间上，它是增函数还是减函数？图 3活动：教师提示利用函数单调性的几何意义学生先思考或讨论后再回答，教师点拨、提示并及时评价学生图像上升则在此区间上是增函数，
11、图像下降则在此区间上是减函数解：解：函数 yf(x)的单调区间是5，2)，2,1)，1,3)，3,5其中函数 yf(x)在区间5，2)，1,3)上是减函数，在区间2,1)，3,5上是增函数.例 2 画出函数 f(x)3x2 的图像，判断它的单调性，并加以证明活动：学生自己画出图像，当学生没有证明思路时，教师再提示，及时纠正学生解答过程中出现的问题，并标出关键的地方，以便学生总结定义法的步骤图 4解：解：作出 f(x)3x2 的图像(如图 4)由图看出函数的图像在 R 上是上升的，函数是R 上的增函数下面进行证明：任取 x1、x2R，且 x1x2，则 x1x20.所以 f(x1)f(x2)(3x
12、12)(3x22)3(x1x2)0，即 f(x1)f(x2)由单调函数的定义，可知函数 f(x)3x2 是 R 上的增函数点评：点评：本题主要考查函数的单调性，以及定义法判断函数的单调性定义法判断或证明函数的单调性的步骤是：第一步，在所给的区间上任取两个自变量x1和 x2，通常令 x1x2；第二步，比较 f(x1)和 f(x2)的大小，通常是用作差比较法比较大小，此时比较它们大小的步骤是作差、变形、看符号；第三步，再归纳结论定义法的步骤可以总结为：一“取(去)” 、二“比” 、三“再(赛)” ，因此简称为“去比赛” 变式训练变式训练1证明函数 y在区间2,6上是单调递减的2x1证明：设 x1、
13、x2是区间2,6上任意两个值，且 x1x2，则 f(x1)f(x2)2x112x21.2x21x11x11x212x2x1x11x21由 2x1x26，所以 x2x10，(x11)(x21)0.所以0.2x2x1x11x21于是 f(x1)f(x2)0，即 f(x1)f(x2)所以函数 y在区间2,6上是单调递减的2x12画出函数 y2x1 的图像，判断它的单调性，并加以证明解：解：作出函数 y2x1 的图像(如图 5)由图 5 可以看出函数 y2x1 的图像在 R 上是下降的，即函数是 R 上的减函数图 5证明：设 x1、x2是 R 上任意两个值，且 x1x2，则 f(x1)f(x2)(2x
14、11)(2x21)2(x1x2)，因为 x1x2，所以 x1x20，2(x1x2)0.于是 f(x1)f(x2)0，即 f(x1)f(x2)所以函数 y2x1 在 R 上是减函数.思路 2例 1 (1)画出已知函数 f(x)x22x3 的图像；(2)证明函数 f(x)x22x3 在区间(，1上是增函数；(3)当函数 f(x)在区间(，m上是增函数时，求实数 m 的取值范围解：解：(1)函数 f(x)x22x3 的图像如图 6 所示图 6(2)设 x1、x2(，1，且 x1x2，则有f(x1)f(x2)(x 2x13)(x 2x23)2 12 2(x x )2(x1x2)2 22 1(x1x2)
15、(2x1x2)x1、x2(，1，且 x1x2，x1x20，x1x22.2x1x20.f(x1)f(x2)0.f(x1)f(x2)函数 f(x)x22x3 在区间(，1上是增函数(3)函数 f(x)x22x3 的对称轴是直线 x1，在对称轴的左侧是增函数，那么当区间(，m位于对称轴的左侧时满足题意，则有 m1，即实数 m 的取值范围是(，1点评：点评：本题主要考查二次函数的图像、函数的单调性及其应用讨论有关二次函数的单调性问题时，常用数形结合的方法，结合二次函数图像的特点来分析；二次函数在对称轴两侧的单调性相反；二次函数在区间 D 上是单调函数，那么二次函数的对称轴不在区间D 内判断函数单调性时，通常先画出其图像，由图像观察出单调区间，最后用单调性的定义证明判断函数单调性的三部曲：第一步，画出函数的图像，观察图像，描述函数值的变化趋势；第二步，结合图像来发现函
