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1、- 1 - 江苏省常州市西夏墅中学高中数学江苏省常州市西夏墅中学高中数学 1.41.4 导数在实际生活中的应用教导数在实际生活中的应用教 案案 新人教新人教 A A 版选修版选修 2-22-2 教学目标：教学目标： 1通过生活中优化问题的学习，体会导数在解决实际问题中的作用，促进 学生全面认识数学的科学价值、应用价值和文化价值 2通过实际问题的研究，促进学生分析问题、解决问题以及数学建模能力的提高 教学重点：教学重点： 如何建立实际问题的目标函数是教学的重点与难点 教学过程：教学过程： 一、问题情境 问题 1 把长为 60cm 的铁丝围成矩形，长宽各为多少时面积最大？ 问题 2 把长为 100
2、cm 的铁丝分成两段，各围成正方形，怎样分法，能使两个正方形面 积之各最小？ 问题 3 做一个容积为 256L 的方底无盖水箱，它的高为多少时材料最省？ 二、新课引入 导数在实际生活中有着广泛的应用，利用导数求最值的方法，可以求出实际生活中的某 些最值问题 1几何方面的应用（面积和体积等的最值） 2物理方面的应用（功和功率等最值） 3经济学方面的应用（利润方面最值） 三、知识建构 例 1 在边长为 60 cm 的正方形铁片的四角切去相等的正方形，再把它的边沿虚线折起 (如图)，做成一个无盖的方底箱子，箱底的边长是多少时，箱底的容积最大？最大容积是多 少？ - 2 - 说明 1 解应用题一般有四
3、个要点步骤：设列解答 说明 2 用导数法求函数的最值，与求函数极值方法类似，加一步与几个极 值及端点值比较即可 例 2 圆柱形金属饮料罐的容积一定时，它的高与底与半径应怎样选取，才 能使所用的材料最省？ R h 变式 当圆柱形金属饮料罐的表面积为定值S时，它的高与底面半径应怎样选取，才能 使所用材料最省？ 说明 1 这种在定义域内仅有一个极值的函数称单峰函数 说明 2 用导数法求单峰函数最值，可以对一般的求法加以简化，其步骤为： S1 列：列出函数关系式 S2 求：求函数的导数 S3 述：说明函数在定义域内仅有一个极大（小）值，从而断定为函数的最大（小）值， 必要时作答 例 3 在如图所示的电
4、路中，已知电源的内阻为，电动势为外电阻为rR 多大时，才能使电功率最大？最大电功率是多少？ - 3 - 说明 求最值要注意验证等号成立的条件，也就是说取得这样的值时对应的自变量必须 有解 例 4 强度分别为a，b的两个光源A，B，它们间的距离为d，试问：在连接这两个光 源的线段AB上，何处照度最小？试就a8，b1，d3 时回答上述问题（照度与光的强度 成正比，与光源的距离的平方成反比） 例 5 在经济学中，生产单位产品的成本称为成本函数，记为；出售单位产x( )C xx 品的收益称为收益函数，记为；称为利润函数，记为( )R x( )( )R xC x( )P x （1）设，生产多少单位产品时
5、，边际成本 632 ( ) 100.00351000C xxxx 最低？( )C x （2）设，产品的单价，怎样的定价可使利润最大？( ) 5010000C xx1000.1px 四、课堂练习 1将正数a分成两部分，使其立方和为最小，这两部分应分成_和_ 2在半径为R的圆内，作内接等腰三角形，当底边上高为 时，它的面积最大 3有一边长分别为 8 与 5 的长方形，在各角剪去相同的小正方形，把四边折起做成一 个无盖小盒，要使纸盒的容积最大，问剪去的小正方形边长应为多少？ 4一条水渠，断面为等腰梯形，如图所示，在确定断面尺寸时，希望在断面ABCD的面 积为定值S时，使得湿周lABBCCD最小，这样可使水流阻力小，渗透少，求此时的高 h和下底边长b - 4 - 五、回顾反思 （1）解有关函数最大值、最小值的实际问题，需要分析问题中各个变量之间的关系， 找出适当的函数关系式，并确定函数的定义区间；所得结果要符合问题的实际意义 （2）根据问题的实际意义来判断函数最值时，如果函数在此区间上只有一个极值点， 那么这个极值就是所求最值，不必再与端点值比较 （3） 相当多有关最值的实际问题用导数方法解决较简单 六、课外作业 课本第38页第1，2，3，4题
