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1、 线性代数知识点总结线性代数知识点总结第一章第一章 行列式行列式 二三阶行列式 N 阶行列式：行列式中所有不同行、不同列的 n 个元素的乘积的和 nnn njjj jjjjjjnijaaaa.) 1( 212121 21)(（奇偶）排列、逆序数、对换行列式的性质：行列式行列互换，其值不变。 （转置行列式）TDD 行列式中某两行（列）互换，行列式变号。推论：若行列式中某两行（列）对应元素相等，则行列式等于零。常数 k 乘以行列式的某一行（列） ，等于 k 乘以此行列式。推论：若行列式中两行（列）成比例，则行列式值为零；推论：行列式中某一行（列）元素全为零，行列式为零。行列式具有分行（列）可加性将
2、行列式某一行（列）的 k 倍加到另一行（列）上，值不变行列式依行（列）展开：余子式、代数余子式ijMijji ijMA) 1(定理定理：行列式中某一行的元素与另一行元素对应余子式乘积之和为零。行列式中某一行的元素与另一行元素对应余子式乘积之和为零。 克莱姆法则： 非齐次线性方程组 ：当系数行列式时，有唯一解：0D)21(njDDxj j、齐次线性方程组 ：当系数行列式时，则只有零解01D逆否：若方程组存在非零解，则逆否：若方程组存在非零解，则 D 等于零等于零特殊行列式：特殊行列式：转置行列式：332313322212312111333231232221131211aaaaaaaaaaaaaa
3、aaaa 对称行列式:jiijaa 反对称行列式: 奇数阶的反对称行列式值为零jiijaa三线性行列式: 方法：用把化为零， 。 。化为三角形行列3331222113121100 aaaaaaa221ak21a式 上（下）三角形行列式:行列式运算常用方法（主要）行列式运算常用方法（主要） 行列式定义法（二三阶或零元素多的） 化零法（比例） 化三角形行列式法、降阶法、升阶法、归纳法、第二章第二章 矩阵矩阵矩阵的概念：（零矩阵、负矩阵、行矩阵、列矩阵、n 阶方阵、相等矩阵)nmA*矩阵的运算：加法（同型矩阵）-交换、结合律数乘-分配、结合律nmijkakA*)(乘法注意什么时候有意义nmlkjik
4、nlkjlmikbabaBA* 1*)()(*)(*一般 AB=BA，不满足消去律；由 AB=0，不能得 A=0 或 B=0转置 AATT)(TTTBABA)(反序定理)TTkAkA)(TTTABAB)(方幂：2121kkkkAAA2121)(kkkkAA几种特殊的矩阵：对角矩阵对角矩阵：若 AB 都是 N 阶对角阵，k 是数，则 kA、A+B、 AB 都是 n 阶对角阵数量矩阵：数量矩阵：相当于一个数（若）单位矩阵、单位矩阵、上（下）三角形矩阵（若上（下）三角形矩阵（若）对称矩阵对称矩阵反对称矩阵反对称矩阵阶梯型矩阵阶梯型矩阵：每一非零行左数第一个非零元素所在列的下方 都是 0分块矩阵：加法
5、，数乘，乘法：类似，转置：每块转置并且每个子块也要转置注：把分出来的小块矩阵看成是元素把分出来的小块矩阵看成是元素逆矩阵：设 A 是 N 阶方阵，若存在 N 阶矩阵 B 的 AB=BA=I 则称 A 是可逆的， (非奇异矩阵、奇异矩阵|A|=0、伴随矩阵)BA1初等变换 1、交换两行（列）2.、非零 k 乘某一行（列）3、将某行（列）的 K 倍加到另一行（列）初等变换不改变矩阵的可逆性初等变换不改变矩阵的可逆性 初等矩阵都可逆初等矩阵都可逆初等矩阵：单位矩阵经过一次初等变换得到的（对换阵 倍乘阵 倍加阵）等价标准形矩阵 OOOIDr r矩阵的秩 r(A)：满秩矩阵 降秩矩阵 若若 A 可逆，则
6、满秩可逆，则满秩若 A 是非奇异矩阵，则 r（AB）=r（B）初等变换不改变矩阵的秩初等变换不改变矩阵的秩求法：求法：1 定义定义 2 转化为标准式或阶梯形转化为标准式或阶梯形矩阵与行列式的联系与区别：矩阵与行列式的联系与区别：都是数表；行列式行数列数一样，矩阵不一样；行列式最终是一个数，只要值相等，就相等，矩阵是一个数表，对应元素相等才相等；矩阵，行列式nijnijakka)()(nijnnijakka逆矩阵注逆矩阵注：AB=BA=I 则 A 与 B 一定是方阵 BA=AB=I 则 A 与 B 一定互逆；不是所有的方阵都存在逆矩阵；若 A 可逆，则其逆矩阵是唯一的。矩阵的逆矩阵满足的运算律运
7、算律：1、可逆矩阵 A 的逆矩阵也是可逆的，且AA11)(2、可逆矩阵 A 的数乘矩阵 kA 也是可逆的，且111)(AkkA3、可逆矩阵 A 的转置也是可逆的，且TATTAA)()(114、两个可逆矩阵 A 与 B 的乘积 AB 也是可逆的，且111)(ABAB但是两个可逆矩阵 A 与 B 的和 A+B 不一定可逆，即使可逆，但11)(BABAA 为 N 阶方阵，若|A|=0，则称 A 为奇异矩阵奇异矩阵，否则为非奇异矩阵非奇异矩阵。5、若 A 可逆，则11 AA伴随矩阵：伴随矩阵：A 为 N 阶方阵，伴随矩阵： （代数余子式） 22211211* AAAAA特殊矩阵的逆矩阵特殊矩阵的逆矩阵
8、：（对 1 和 2，前提是每个矩阵都可逆）1、分块矩阵 则 COBAD 1111 1 COBCAAD2、准对角矩阵， 则4321AAAAA1 41 31 21 11AAAAA3、 4、（A 可逆）IAAAAA*1*AAA5、 6、（A 可逆）1*nAA AAAA1*11*7、 8、 *TTAA*ABAB判断矩阵是否可逆判断矩阵是否可逆：充要条件是，此时0A*11AAA求逆矩阵的方法求逆矩阵的方法：定义法IAA1伴随矩阵法AAA* 1初等变换法 只能是行变换只能是行变换1|AIIAnn初等矩阵与矩阵乘法的关系初等矩阵与矩阵乘法的关系：设是 m*n 阶矩阵，则对 A 的行实行一次初等变换得到的矩阵
9、，等 nmijaA*于用同等的 m 阶初等矩阵左乘以 A：对 A 的列实行一次初等变换得到的矩阵，等于用同种 n 阶初等矩阵右乘以 A （行变左乘，列变右乘行变左乘，列变右乘） 第第 3 章章 线性方程组线性方程组消元法 非齐次线性方程组非齐次线性方程组：增广矩阵简化阶梯型矩阵r(AB)=r(B)=r 当 r=n 时，有唯一解；当时，有无穷多解nr r(AB)r(B)，无解齐次线性方程组齐次线性方程组：仅有零解充要 r(A)=n 有非零解充要 r(A)向量维数时, 向量组必线性相关；5)部分相关，则整体必相关；（整体无关，则部分必无关）.6)若向量组线性无关，则其接长向量组必线性无关；7)向量
10、组线性无关向量组的秩所含向量的个数，向量组线性相关向量组的秩所含向量的个数;278)向量组线性相关（无关）的充分必要条件是齐次方程组12,n 11220nnxxx有（没有）非零解.例例 7.7.设维向量组线性无关,则n12,(2)mm A.组中减少任意一个向量后仍线性无关B.组中增加任意一个向量后仍线性无关C.存在不全为零的数,使12,mk kk10mii ikD.组中至少有一个向量可以由其余向量线性表出解析解析 因为若向量组线性相关，则增加任何一个向量后仍线性相关，其等价的定理是向量组相性无关，则组中减少任意一个向量后仍线性无关答案答案 A A例例 8 8 设向量，下列命题中正确的是（ 11
11、1122221111122222(,),(,),(,),(,)a b ca b ca b c da b c d）A若线性相关，则必有线性相关12, 12, B若线性无关，则必有线性无关12, 12, C若线性相关，则必有线性无关12, 12, D若线性无关，则必有线性相关12, 12, 答案答案 B B例例 9.9.设向量组线性无关,而向量组线性相关.证明:向量必可表为的线性组123, 234, 4123, 合.测试点测试点 关于线性相关性的几个定理关于线性相关性的几个定理证证 1 1 因为线性相关，故线性相关，又因为线性无关,所以必可表为234, 1234, 123, 4的线性组合. 证毕.
12、123, 证证 2 2 因为线性无关,故必线性无关,又因为线性相关123, 23, 234, 故必能由线性表示,当然可表为的线性组合. 证毕.423, 123, 三、向量组的极大无关组及向量组的秩三、向量组的极大无关组及向量组的秩1极大无关组的定义：设是向量组的一个部分组.如果（1）线性无关；（2）任给，都有12,r T12,r T线性相关，则称是向量组的一个极大无关组.12,r 12,r T282向量组的秩，向量组的秩与矩阵的秩；求向量组的极大无关组,并将其余向量由该极大无关组线性表示的的方法例例 1010的行向量组的秩 _.10 13 16A 测试点测试点 矩阵的秩与向量组的秩之间的关系矩
13、阵的秩与向量组的秩之间的关系; ;答案答案 2例例 1111 设是一个 4 维向量组，若已知可以表为的线性组合，且表示法惟一，则向1234, 4123, 量组的秩为（ ）1234, A1B2C3D4测试点测试点 （1 1）向量组的秩的概念；（）向量组的秩的概念；（2 2）向量由向量组线性表示的概念）向量由向量组线性表示的概念 （3 3）向量组线性相关和线性无关的）向量组线性相关和线性无关的概念概念解解 因为可以表为的线性组合，且表示法惟一，必有线性无关,因为4123, 123, 设，由可以表为的线性组合，即1122330 4123, 4112233kkk故 441122331122330kkk 111222333()()()kkk 由表示法惟一，有111222333,kk kk kk于是有，故线性无关，又可以表为的线性组合，所以为向1230123, 4123, 123, 量组的一个极大无关组，故向量组的秩为 3.1234, 1234, 答案答案 C C例例 1212 设向量组1234(1, 1,2,1) ,(2, 2,4, 2) ,(3,0,6, 1) ,(0
