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1、2. 5等比数列的前n项和,必 修 5,第二章 数列,(一) 定义,如果一个数列从 第2项起，每一项与它的前一项的 比 等于 同一个常数，这个数列就叫做等比数列。,这个常数叫做等比数列的公比。 通常用字母q表示。,注：（1）等比数列的所有项不为0；,（2）公比不为0.,复习回顾,(二)通项公式,由此可知，等比数列的通项公式为,归纳法,等比数列 an 中,有:,(q不为0),n为正整数,一般地，如果 a ，G，b 成等比数列，那么 G 叫做a 与 b 的等比中项 G 2 ab ， 即 G ,容易看出，一个等比数列从第 2 项起，每一项（有穷等比数列的末项除外）都是它的前一项与后一项的等比中项,等
2、比中项,等比数列的单调性,等比数列的性质,根据指数函数的单调性，分析等比数列an=a1qn-1（q0）的单调性，填写下表.,非增非减,非增非减,增,增,减,减,等比数列的性质,设an是公比为q的等比数列，那么 (1)anamqnm； (2)如果m，n，p，qN+，且mnpq，则amanapaq(反之不一定成立，例如常数列)特别地，当mn2p时，有aman_； 在有穷等比数列中，与首末两项等距离的二项的积等于首末两项的积；,(3)等比数列中每隔一定项取出一项按原来顺序排列构成的数列仍为等比数列例如am，a2m，a3m也成等比数列； (4)an(0)，|an|皆为等比数列，公比分别为_； (5)若
3、an和bn分别是公比为q和p的等比数列，则数列anbn， 仍是等比数列，它们的公比分别为_.,64个格子,1,2,2,3,3,4,4,5,5,1,6,6,7,7,8,8,OK,4,5,6,7,8,1,5,6,7,8,1,2,3,3,4,2,64个格子,你认为国王有能力满足上述要求吗,每个格子里的麦粒数都是,前,一个格子里麦粒数的,2倍,且共有,64,格子,麦粒总数,？,?, , 得,S64=1+2+22 +23+ +262+263,S64 =264 1,2S64 = 2+22 +23+24+ +263 +264,公式推导,探究等比数列的求和方法,S64 =1+2+22 +23+ +262+26
4、3,我国在2002年粮食产量达4.56亿吨,每粒小麦0.01g计算,国王和西萨的故事, , 得,S64=1+2+22 +23+ +262+263,S64 =264 1,2S64 = 2+22 +23+24+ +263 +264,公式推导,探究等比数列的求和方法,S64 =1+2+22 +23+ +262+263,错位相减法,Sn = a1 + a1q + a1q2 +a1qn-2 + a1qn-1 (*),qSn = a1q + a1q2 + a1q3 + +a1qn-1+ a1qn (*),两式相减有 ( 1 q )Sn = a1 a1 q n,Sn = a1 + a1q + a1q2 +a
5、1qn-2 + a1qn-1 (*),qSn = a1q + a1q2 + a1q3 + +a1qn-1+ a1qn (*),公式推导,=,当q=1时，,等比数列前n项和公式的推导,当 q = 1 时 Sn = n a1,因为,所以,(2) 用等比性质推导,（法3） 借助和式的代数特征进行恒等变形,当q=1时，,当q1时，,等比数列前n项的和,等比数列前n项和的公式,公式应用：,例1 求等比数列 的前8项的和。,解:由题得:,2等比数列an的各项都是正数，若 a181，a516，则,它的前 5 项和是(,),B,A179,B211,C243,D275,3等比数列an中，a37，前 3 项之和
6、S321, 则公比 q,的值为(,),C,A1,B,1 2,C1 或,1 2,D1 或,1 2,4在公比为整数的等比数列an中，已知 a1a418，,),A,a2a312，那么 a5a6a7a8 等于(A480B493C495D498,5等比数列 4，2,1，的前 8 项和是_.,6在等比数列an中，a1a220，a3a440，则 S6_.,140,q.,难点,等比数列前 n 项和的性质,(1)数列an是等比数列，Sn 是其前 n 项和，则 Sn、S2nSn、S3nS2n，满足(S2nSn)2Sn(S3nS2n)(2)在等比数列中，若项数为 2n(nN*)，S偶与 S奇分别为偶,数项和与奇数项
7、和，则,S偶S奇,等比数列前 n 项和性质的应用,例 1：已知等比数列前 n 项和为 48，前 2n 项和为 60.求前,3n 项的和,(S2nSn)2Sn(S3nS2n)，(6048)248(S3n60)，即S3n63.解法二：S2n2Sn，q1，由已知得,与 Sn 有关的性质主要是 Sn、S2nSn、S3nS2n 的关系在与 Sn 有关的运算中，经常用到两种技巧，两式相除法；整体代入法，但都不要忽略对 q 的讨论,11.在等比数列an中，a11，前 n 项和为 Sn，若,12.(2010 年安徽)设an是任意等比数列，它的前 n 项和，前 2n 项和与前 3n 项和分别为 X、Y、Z，则下
8、列等式中恒成立,的是(,),D,AXZ2YCY2XZ,BY(YX)Z(ZX)DY(YX)X(ZX),前 n 项和的综合运算例 2：在等比数列an中，a1an66，a2an1128，且前n 项和 Sn126，求 n 及公比 q.,解：a1ana2an1128， 又 a1an66， a1、an 是方程 x266x1280 的两根，,解本题的关键是利用 a1ana2an1，进而求 出 a1、an，要注意 a1、an 是两组解,21.(2010 年广东)已知数列an为等比数列，Sn 是它的前 n,A35,B33,C31,D29,C,等比数列前 n 项和的实际应用,例 3：某人年初向银行贷款 10 万元
9、用于购房如果他向某银行贷款，年利率为 4%，要按复利计算(即本年的利息计入次年的本金生息)，分 10 次等额归还，每年一次，每年应还多少元？(1.04101.480 2),思维突破：本题要建立的等量关系式是：贷款贷款利息,还款总额还款利息,此题是复利问题，问题的关键是每够一年将前面的本息和作为整体自动转存,31.某职工年初向银行贷款 2 万元用于购房，银行为了推动住房制度改革，对贷款实行了优惠，即年利率为 10%，按复利计算(即将本年的酬金与利润的总和计为次年的本金)若这笔贷款要求 10 次等额还清，每年一次，10 年还清，并且从贷款后次年年初开始归还，问每年应还多少元？,中bn 不能为 0.
10、,例 4：已知数列an是等比数列，试判断该数列从第一项起依次 k 项的和组成的数列bn是否仍为等比数列错因剖析：易忽略两个问题：前n 项和公式成立的条件；,bn1bn,正解：设bna(n1)k1a(n1)k2ank，且数列an的公比为q.则当q1 时，b1b2bnka，bn是公比为1 的等比数列,bn是公比为qk 的等比数列当 q1 时，若k 为偶数，则bn0，此时bn不能为等比数列；若k 为奇数，则bn是公比为1 的等比数列,41.(2010 年辽宁)设an是有正数组成的等比数列，Sn 为,其前 n 项和已知 a2a41，S37，则 S5(,),B,数列求和,数列求和的常用方法 （1）公式法
11、 直接用等差、等比数列的求和公式求. 掌握一些常见的数列的前n项和.,（2）倒序相加法 如果一个数列an，与首末两端等“距离”的两项的和相等或等于同一常数，那么求这个数列的前n项和即可用倒序相加法，如等差数列的前n项和即是用此法推导的。,（3）.错位相减法 如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成的，那么这个数列的前n项和即可用此法来求，如等比数列的前n项和就是用此法推导的. （4）裂项相消法 把数列的通项拆成两项之差，在求和时中间的一些项可以相互抵消，从而求得其和. 常见的拆项公式有：,（5）分组求和法， 有一类数列，既不是等差数列，也不是等比数列，若将这类数列适当拆
12、开，可分为几个等差，等比或常见的数列，即先分别求和，然后再合并，形如：,题型一利用错位相减法求和 【例1】（2008.全国）在数列an中，a1=1,an+1=2an+2n.,分析（1）求bn+1,观察bn与bn+1的关系. （2）由an=n2n-1的特点可知，运用错位相减法求和Sn.,学后反思（1）一般地，如果数列an是等差数列，bn是等比数列，求数列an.bn的前n项和时，可采用错位相减法.,2.错位相减法求和时，应注意： 要善于识别题目的类理，特别是等比数列公比为负数的情形更值得注意； 在写出”Sn”与”qSn”的表达式时应特别注意将两式错项对齐，以更于下一步准确写出”Sn-qSn”的表达式； 应用等比数列求和公式必须注意公比q1，这一前提条件，如果不能确定公比q是否为1，应分两种情况讨论，这在以前高考中经常考查。,举一反三,1.求和（a-1）+(a2-2)+(an-n).,题型二 利用裂项相消法求和,【例2】(2008，江西)等差数列an的各项均为正数，a1=3,前n项和为Sn,bn 为等比数列，b1=1,且b2S2=64,b3S3=960.,举一反三,题型三 例序相加法求和,举一反三,3.如果函数f(x)满足：对任意的实数m、n都有f(m)+f(n)=f(m+n)且f(1005)=2 ,则f(2)+f(4)+f(6)+f(2008)=_.,题型四 分组法求和,
