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1、学案学案 24 正弦定理和余弦定理应用举例正弦定理和余弦定理应用举例 导学目标： 能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何计算有 关的实际问题自主梳理1仰角和俯角 与目标视线同在一铅垂平面内的水平视线和目标视线的夹角，目标视线在水平视线上 方时叫仰角，目标视线在水平视线下方时叫俯角(如图所示)2方位角 一般指北方向线顺时针到目标方向线的水平角，如方位角 45，是指北偏东 45，即东 北方向 3方向角：相对于某一正方向的水平角(如图所示)北偏东 即由指北方向顺时针旋转 到达目标方向 北偏西 即由指北方向逆时针旋转 到达目标方向 南偏西等其他方向角类似 4坡角 坡面与水平面的夹角
2、(如图所示)5坡比坡面的铅直高度与水平宽度之比，即 i tan (i 为坡比， 为坡角)hl 6解题的基本思路 运用正、余弦定理处理实际测量中的距离、高度、角度等问题，实质是数学知识在生 活中的应用，要解决好，就要把握如何把实际问题数学化，也就是如何把握一个抽象、概 括的问题，即建立数学模型自我检测 1从 A 处望 B 处的仰角为 ，从 B 处望 A 处的俯角为 ，则 ， 之间的关系是 ( ) AB C90D180 2(2011承德模拟)如图所示，已知两座灯塔 A 和 B 与海洋观察站 C 的距离相等，灯 塔 A 在观察站 C 的北偏东 40，灯塔 B 在观察站 C 的南偏东 60，则灯塔 A
3、 在灯塔 B 的 ( )A北偏东 10B北偏西 10 C南偏东 10D南偏西 10 3如图所示，为了测量某障碍物两侧 A、B 间的距离，给定下列四组数据，不能确定 A、B 间距离的是 ( )A，a，bB，a Ca，b，D，b 4在 200 m 高的山顶上，测得山下一塔的塔顶与塔底的俯角分别是 30、60，则塔 高为_m.5(2010全国)ABC 中，D 为边 BC 上的一点，BD33，sin B，cosADC513，求 AD.35探究点一 与距离有关的问题 例 1 (2010陕西)如图，A，B 是海面上位于东西方向相距 5(3)海里的两个观测点，3现位于 A 点北偏东 45，B 点北偏西 60
4、的 D 点有一艘轮船发出求救信号，位于 B 点南偏 西 60且与 B 点相距 20海里的 C 点的救援船立即前往营救，其航行速度为 30 海里/时，3该救援船到达 D 点需要多长时间？变式迁移 1 某观测站 C 在目标 A 的南偏西 25方向，从 A 出发有一条南偏东 35走向 的公路，在 C 处测得与 C 相距 31 千米的公路上 B 处有一人正沿此公路向 A 走去，走 20 千米到达 D，此时测得 CD 为 21 千米，求此人在 D 处距 A 还有多少千米？探究点二 测量高度问题 例 2 如图所示，测量河对岸的塔高 AB 时，可以选与塔底 B 在同一水平面内的两个 测点 C 与 D，现测得
5、BCD，BDC，CDs，并在点 C 测得塔顶 A 的仰角为 ， 求塔高 AB.变式迁移 2 某人在塔的正东沿着南偏西 60的方向前进 40 米后，望见塔在东北方向， 若沿途测得塔的最大仰角为 30，求塔高探究点三 三角形中最值问题 例 3 (2010江苏)某兴趣小组要测量电视塔 AE 的高度 H(单位：m)，示意图如图所示， 垂直放置的标杆 BC 的高度 h4 m，仰角ABE，ADE.(1)该小组已测得一组 、 的值，算出了 tan 1.24，tan 1.20，请据此算出 H 的 值； (2)该小组分析若干测得的数据后，认为适当调整标杆到电视塔的距离 d(单位：m)， 使 与 之差较大，可以提
6、高测量精度若电视塔实际高度为 125 m，试问 d 为多少时， 最大？变式迁移 3 (2011宜昌模拟)如图所示，已知半圆的直径 AB2，点 C 在 AB 的延长 线上，BC1，点 P 为半圆上的一个动点，以 DC 为边作等边PCD，且点 D 与圆心 O 分 别在 PC 的两侧，求四边形 OPDC 面积的最大值1解三角形的一般步骤 (1)分析题意，准确理解题意 分清已知与所求，尤其要理解应用题中的有关名词、术语，如坡度、仰角、俯角、方 位角等 (2)根据题意画出示意图 (3)将需求解的问题归结到一个或几个三角形中，通过合理运用正弦定理、余弦定理等 有关知识正确求解演算过程中，要算法简练，计算正
7、确，并作答 (4)检验解出的答案是否具有实际意义，对解进行取舍 2应用举例中常见几种题型 测量距离问题、测量高度问题、测量角度问题、计算面积问题、航海问题、物理问题 等 (满分：75 分) 一、选择题(每小题 5 分，共 25 分) 1如果等腰三角形的周长是底边长的 5 倍，那么它的顶角的余弦值为 ( )A.B.51834C.D.3278 2(2011揭阳模拟)如图，设 A、B 两点在河的两岸，一测量者在 A 的同侧，在所在的 河岸边选定一点 C，测出 AC 的距离为 50 m，ACB45，CAB105后，就可以计算 出 A、B 两点的距离为 ( )A50 mB50 m23C25 mD. m2
8、25 223ABC 的两边长分别为 2,3，其夹角的余弦值为 ，则其外接圆的半径为 ( )13A.B.9 229 24C.D99 282 4(2011沧州模拟)某人向正东方向走 x km 后，向右转 150，然后朝新方向走 3 km， 结果他离出发点恰好是 km，那么 x 的值为 ( )3A.B233C.或 2D3335一船向正北航行，看见正西方向有相距 10 海里的两个灯塔恰好与它在一条直线上， 继续航行半小时后，看见一灯塔在船的南偏西 60方向，另一灯塔在船的南偏西 75方向，则这只船的速度是每小时 ( ) A5 海里B5海里3C10 海里D10海里3题号12345 答案 二、填空题(每小
9、题 4 分，共 12 分) 6一船以每小时 15 km 的速度向东航行，船在 A 处看到一个灯塔 M 在北偏东 60方 向，行驶 4 h 后，船到 B 处，看到这个灯塔在北偏东 15方向，这时船与灯塔的距离为 _ 7(2011台州模拟)某校运动会开幕式上举行升旗仪式，旗杆正好处在坡度为 15的看 台的某一列的正前方，从这一列的第一排和最后一排测得旗杆顶部的仰角分别为 60和 30， 第一排和最后一排的距离为 10米(如图所示)，旗杆底部与第一排在一个水平面上若国6歌长度约为 50 秒，升旗手应以_米/秒的速度匀速升旗 8(2011宜昌模拟)线段 AB 外有一点 C，ABC60，AB200 km
10、，汽车以 80 km/h 的速度由 A 向 B 行驶，同时摩托车以 50 km/h 的速度由 B 向 C 行驶，则运动开始 _h 后，两车的距离最小三、解答题(共 38 分) 9(12 分)(2009辽宁)如图，A、B、C、D 都在同一个与水平面垂直的平面内，B、D 为两岛上的两座灯塔的塔顶测量船于水面 A 处测得 B 点和 D 点的仰角分别为 75、30， 于水面 C 处测得 B 点和 D 点的仰角均为 60，AC0.1 km.试探究图中 B、D 间距离与另外 哪两点间距离相等，然后求 B、D 的距离(计算结果精确到 0.01 km，1.414，2.449)2610(12 分)如图所示，甲船
11、以每小时 30海里的速度向正北方向航行，乙船按固定方2向匀速直线航行当甲船位于 A1处时，乙船位于甲船的南偏西 75方向的 B1处，此时两船 相距 20 海里当甲船航行 20 分钟到达 A2处时，乙船航行到甲船的南偏西 60方向的 B2处， 此时两船相距 10海里问乙船每小时航行多少海里？211(14 分)(2009福建)如图，某市拟在长为 8 km 的道路 OP 的一侧修建一条运动赛道，赛道的前一部分为曲线段 OSM，该曲线段为函数 yAsin x(A0，0)，x0,4的图象，且图象的最高点为 S(3,2 )；赛道的后一部分为折线段 MNP，为保证参赛运动员的安全，限定MNP120.3(1)
12、求 A， 的值和 M，P 两点间的距离； (2)应如何设计，才能使折线段赛道 MNP 最长？答案答案 自我检测 1B 2.B 3.A4.40035解 由 cosADC 0 知 B ，352由已知得 cos B，sinADC ，121345 从而 sinBADsin(ADCB) sinADCcos BcosADCsin B .451213355133365由正弦定理得，ADsin BBDsinBAD所以 AD25.BDsin BsinBAD33 5133365 课堂活动区 例 1 解题导引 这类实际应用题，实质就是解三角形问题，一般都离不开正弦定理 和余弦定理，在解题中，首先要正确地画出符合题意
13、的示意图，然后将问题转化为三角形 问题去求解注意：基线的选取要恰当准确；选取的三角形及正、余弦定理要恰当 解 由题意知 AB5(3)海里，DBA906030，DAB904545，3ADB180(4530)105.在DAB 中，由正弦定理，得，DBsinDABABsinADBDBABsinDABsinADB53 3sin 45sin 10510(海里)53 3sin 45sin 45cos 60cos 45sin 603 又DBCDBAABC30(9060)60，BC20(海里)，3在DBC 中，由余弦定理，得 CD2BD2BC22BDBCcosDBC3001 200210203312 900，
14、CD30(海里)，需要的时间 t1(小时)3030 故救援船到达 D 点需要 1 小时 变式迁移 1 解如图所示，易知CAD253560，在BCD 中，cos B，3122022122 31 202331所以 sin B.12 331在ABC 中，AC24，BCsin Bsin A 由 BC2AC2AB22ACABcos A， 得 AB224AB3850， 解得 AB35，AB11(舍)， 所以 ADABBD15. 故此人在 D 处距 A 还有 15 千米 例 2 解题导引 在测量高度时，要正确理解仰角、俯角的概念，画出准确的示意图， 恰当地选取相关的三角形和正、余弦定理逐步进行求解注意综合应用方程和平面几何、 立体几何等知识 解 在BCD 中，CBD.由正弦定理得，BCsinBDCCDsinCBD所以 BC，CDsinBDCsinCBDssin sin
