《【步步高】2015高考数学（苏教版，理）一轮配套文档：第14章14.2矩阵与变换》由会员分享，可在线阅读，更多相关《【步步高】2015高考数学（苏教版，理）一轮配套文档：第14章14.2矩阵与变换（9页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、14.2 矩阵与变换矩阵与变换1乘法规则(1)行矩阵a11 a12与列矩阵的乘法规则：b11 b21a11 a12a11b11a12b21b11 b21(2)二阶矩阵与列向量的乘法规则：a11 a12 a21 a22x0 y0.a11 a12 a21 a22x0 y0 a11 x0a12 y0 a21 x0a22 y0(3)两个二阶矩阵相乘的结果仍然是一个矩阵，其乘法法则如下：a11 a12 a21 a22b11 b12 b21 b22a11 b11a12 b21 a11 b12a12 b22 a21 b11a22 b21 a21 b12a22 b22(4)两个二阶矩阵的乘法满足结合律，但不满
2、足交换律和消去律即(AB)CA(BC)，ABBA，由 ABAC 不一定能推出 BC.一般地，两个矩阵只有当前一个矩阵的 列数与后一个矩阵的 行数相等时才能进行乘法运算 2常见的平面变换(1)恒等变换：如；1 0 0 1(2)伸压变换：如；1 00 12(3)反射变换：如；1 0 0 1(4)旋转变换：如，其中 为旋转角度；cos sin sin cos (5)投影变换：如，；1 0 0 0 1 0 1 0(6)切变变换：如(kR，且 k0)1 k 0 13逆变换与逆矩阵(1)对于二阶矩阵 A、B，若有 ABBAE，则称 A 是可逆的，B 称为 A 的逆矩阵；(2)若二阶矩阵 A、B 均存在逆矩
3、阵，则 AB 也存在逆矩阵，且(AB)1B1A1.4特征值与特征向量设 A 是一个二阶矩阵，如果对于实数 ，存在一个非零向量 ，使 A，那么 称为A 的一个特征值，而 称为 A 的属于特征值 的一个特征向量5特征多项式设 A是一个二阶矩阵，R，把行列式 f()2(ad)a b c d|a b c d|adbc，称为 A 的特征多项式1在切变变换 M作用下，直线 y2x1 变为_1 0 2 1答案 y12将椭圆1 绕原点顺时针旋转 45后得到新的曲线方程为_x23y24答案 7x27y22xy2403在对应的线性变换作用下，圆(x1)2(y1)21 变为_1 0 1 0答案 yx(2x0)4计算
4、：_.1 3 2 41 1 0 4答案 1 13 2 185矩阵的逆矩阵是_0 1 1 0答案 0 1 1 0题型一 求变换矩阵例 1 已知变换 S 把平面上的点 A(3,0)，B(2,1)分别变换为点 A(0,3)，B(1，1)，试求变换 S 对应的矩阵 T.解 设 T，则 T：a c b d3 0 x y a c b d3 0，解得Error!Error!3a 3b 0 3T：，2 1 x y a c b d2 1 2ac 2bd 1 1解得Error!Error!综上可知，T.0 1 1 3思维升华 知道变换前后的坐标，求变换对应的矩阵，通常用待定系数法求解二阶矩阵 M 对应的变换将点(
5、1，1)与(2，1)分别变换成点(1，1)与(0，2)(1)求矩阵 M；(2)设直线 l 在变换作用下得到了直线 m：xy4，求 l 的方程解 (1)设 M，则有，a b c da b c d1 1 1 1，a b c d2 1 0 2所以Error!Error!，且Error!Error!，解得Error!Error!，所以 M.1 2 3 4(2)因为x y 1 2 3 4x y x2y 3x4y且 m：xy4，所以(x2y)(3x4y)4，整理得 xy20，所以直线 l 的方程为 xy20.题型二 求逆矩阵例 2 求矩阵 A的逆矩阵2 3 1 2解 设逆矩阵为 A1，a b c d则由，
6、2 3 1 2a b c d 1 0 0 1得Error!Error! 解得Error!Error!所以 A1.2 3 1 2思维升华 求逆矩阵的方法：(1)待定系数法设 A 是一个二阶可逆矩阵，ABBAE2；a b c d(2)公式法|A|adbc0，有 A1.|a b c d|d|A| b|A| c|A|a|A|(2013江苏)已知矩阵 A，B，求矩阵 A1B.1 0 0 21 2 0 6解 设矩阵 A 的逆矩阵为，a b c d则，即1 0 0 2a b c d 1 0 0 1a b 2c 2d 1 0 0 1故 a1，b0，c0，d ，12从而 A 的逆矩阵为 A1，1 00 12所以
7、 A1B.1 00 121 20 6 1 2 0 3题型三 特征值与特征向量例 3 已知矩阵 M，求 M 的特征值及属于各特征值的一个特征向量3 1 1 3解 由(3)210，|3 1 1 3|解得 12，24.设矩阵 M 的特征向量为.x y当 12 时，由 M2可得Error!Error!，x yx y可见，1是 M 的属于 12 的特征向量1 1当 24 时，由 M4可得Error!Error!，x yx y可见，2是 M 的属于 24 的特征向量. 1 1思维升华 已知 A，求特征值和特征向量，其步骤：a b c d(1)令 f()(a)(d)bc0，求出特征值 ；|a b c d|(
8、2)列方程组Error!Error!(3)赋值法求特征向量，一般取 x1 或者 y1，写出相应的向量已知二阶矩阵 A 有特征值 11 及对应的一个特征向量 e1和特征值 221 1及对应的一个特征向量 e2，试求矩阵 A.1 0解 设矩阵 A，这里 a，b，c，dR，a b c d因为是矩阵 A 的属于 11 的特征向量，1 1则有，1a b c 1d1 1 0 0又因为是矩阵 A 的属于 22 的特征向量，则有，1 02a b c 2d1 0 0 0根据，则有Error!Error!从而 a2，b1，c0，d1，因此 A.2 1 0 1用坐标转移的思想求曲线在变换作用下的新方程典例：(10
9、分)二阶矩阵 M 对应的变换 T 将点(1，1)与(2,1)分别变换成点(1，1)与(0，2)(1)求矩阵 M；(2)设直线 l 在变换 T 作用下得到了直线 m：xy4，求 l 的方程思维启迪 (1)变换前后的坐标均已知，因此可以设出矩阵，用待定系数法求解(2)知道直线 l 在变换 T 作用下的直线 m，求原直线，可用坐标转移法规范解答解 (1)设 M，则，a b c da b c d1 1 1 1，2 分a b c d2 1 0 2所以Error!Error!，且Error!Error!，解得Error!Error!，所以 M.5 分1 2 3 4(2)因为且 m：xy4，所以(x2y)(
10、3x4y)4，x y 1 2 3 4x y x2y 3x4y即 xy20，直线 l 的方程是 xy20.10 分温馨提醒 (1)本题考查了求变换矩阵和在变换矩阵作用下的曲线方程问题，题目难度属中档题(2)本题突出体现了待定系数法的思想方法和坐标转移的思想方法(3)本题的易错点是计算错误和第(2)问中坐标转移的方向错误.方法与技巧1二阶矩阵与平面列向量乘法：，这是所有变换的基础a c b dx y axcy bxdy2证明两个矩阵互为逆矩阵时，切记从两个方向进行，即 ABE2BA.3二元一次方程组Error!Error!相应的矩阵方程为 AXB，其中 A为系数矩阵，X 为未a1 b1 a2 b2
11、知数向量，B为常数向量x yc1 c24若某一向量在矩阵变换作用下的象与原象共线，则称这个向量是属于该变换矩阵的特征向量，相应共线系数为属于该特征向量的特征值失误与防范1矩阵的乘法不满足交换律，即在矩阵乘法的运算中，一般不能随意将 AB 写成 BA.2矩阵乘法满足结合律，即(AB)CA(BC)3矩阵的乘法不满足消去律，即对于二阶矩阵 A、B、C，当 A0，且 ABAC 时，不一定有 BC.A 组 专项基础训练1(2013江苏)已知矩阵 A，B，求矩阵 A1B.1 0 0 21 2 0 6解 设矩阵 A 的逆矩阵为，a b c d则，1 0 0 2a b c d 1 0 0 1即a b 2c 2
12、d 1 0 0 1故 a1，b0，c0，d ，12从而 A 的逆矩阵为 A1，1 00 12所以 A1B.1 00 121 20 6 1 2 0 32(2012江苏)已知矩阵 A 的逆矩阵 A1，求矩阵 A 的特征值14 34 12 12解 因为 A1AE2，所以 A(A1)1.因为 A1，所以 A(A1)1，14 34 12 122 3 2 1于是矩阵 A 的特征多项式为f()234.|2 3 2 1|令 f()0，解得 A 的特征值 11，24.3在直角坐标系中，OAB 的顶点坐标 O(0,0)，A(2,0)，B(1，)，求OAB 在矩阵 MN2的作用下变换所得到的图形的面积，其中矩阵 M
13、，N.1 0 0 11 220 22解 MN，1 220 22 1 220 220 0 0 0，.1 220 222 0 2 01 220 221 22 1可知 O，A，B 三点在矩阵 MN 作用下变换所得的点分别为 O(0,0)，A(2,0)，B(2，1)可知OAB的面积为 1.4已知矩阵 A，B.1 0 1 10 2 3 2(1)求满足条件 AMB 的矩阵 M；(2)矩阵 M 对应的变换将曲线 C：x2y21 变换为曲线 C，求曲线 C的方程解 (1)设 M，a b c dAM，1 0 1 1a b c d a b ac bd 0 2 3 2得Error!Error!a0，b2，c3，d0.M.0 2 3 0(2)设曲线 C 上任意一点 P(x，y)在矩阵 M 对应的变换作用下变为点 P(x，y)，则 M，x y 0 2 3 0x y 2y 3x x yError!Error!即Error!Error!代入曲线 C：x2y21，得()2()21.x2y3曲线 C的方程是1.x24y295已知矩阵 P
