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1、2.9 函数的应用函数的应用1.几类函数模型及其增长差异(1)几类函数模型函数模型函数解析式一次函数模型f(x)axb (a、b 为常数，a0)反比例函数模型f(x) b (k，b 为常数且 k0)kx二次函数模型f(x)ax2bxc(a，b，c 为常数，a0)指数函数模型f(x)baxc(a，b，c 为常数，b0，a0 且 a1)对数函数模型f(x)blogaxc(a，b，c 为常数，b0，a0 且 a1)幂函数模型f(x)axnb (a，b 为常数，a0)(2)三种函数模型的性质函数性质yax(a1)ylogax(a1)yxn(n0)在(0，) 上的增减性单调递增单调递增单调递增增长速度越
2、来越快越来越慢相对平稳图象的变化随 x 的增大逐渐表现为与 y 轴平行随 x 的增大逐渐表现为与 x 轴平行随 n 值变化而各有不同值的比较存在一个 x0，当 xx0时，有 logax0，当 x10 时，代入两项费用 y1，y2分别是k1x2 万元和 8 万元，可得 k120，k2 ，y1y2 x28，当且仅当 x，4520x4520x45x20x45即 x5 时取等号.3.汽车经过启动、加速行驶、匀速行驶、减速行驶之后停车，若把这一过程中汽车的行驶路程 s 看作时间 t 的函数，其图象可能是_.(填序号)答案 解析 汽车加速行驶时，速度变化越来越快，而汽车匀速行驶时，速度保持不变，体现在s
3、与 t 的函数图象上是一条直线，减速行驶时，速度变化越来越慢，但路程仍是增加的.4.某家具的标价为 132 元，若降价以九折出售(即优惠 10%)，仍可获利 10%(相对进货价)，则该家具的进货价是_元.答案 108解析 设进货价为 a 元，由题意知 132(110%)a10%a，解得 a108.5.某种病毒经 30 分钟繁殖为原来的 2 倍，且知病毒的繁殖规律为 yekt(其中 k 为常数，t 表示时间，单位：小时，y 表示病毒个数)，则 k_，经过 5 小时，1 个病毒能繁殖为_个.答案 2ln 2 1 024解析 当 t0.5 时，y2，2ek，21k2ln 2，ye2tln 2，当 t
4、5 时，ye10ln 22101 024.题型一 二次函数模型例 1 某跳水运动员在一次跳水训练时的跳水曲线为如图所示的抛物线的一段，已知跳水板AB 长为 2 m，跳水板距水面 CD 的高 BC 为 3 m，CE5 m，CF6 m，为安全和空中姿态优美，训练时跳水曲线应在离起跳点h m(h1)时达到距水面最大高度 4 m，规定：以 CD 为横轴，CB 为纵轴建立直角坐标系.(1)当 h1 时，求跳水曲线所在的抛物线方程；(2)若跳水运动员在区域 EF 内入水时才能达到压水花的训练要求，求达到压水花的训练要求时 h 的取值范围.思维启迪 (1)可根据抛物线方程的顶点式求跳水曲线所在的抛物线方程；
5、( 2)利用 x5，x6 时函数值的符号求 h 范围.解 (1)由题意知最高点为(2h,4)，h1，设抛物线方程为 yax(2h)24，当 h1 时，最高点为(3,4)，方程为 ya(x3)24，将 A(2,3)代入，得 3a(23)24，解得 a1.当 h1 时，跳水曲线所在的抛物线方程为 y(x3)24.(2)将点 A(2,3)代入 yax(2h)24得 ah21，所以 a. 1h2由题意，得方程 ax(2h)240 在区间5,6内有一解.令 f(x)ax(2h)24x(2h)24，1h2则 f(5)(3h)240，且 f(6)(4h)240.1h21h2解得 1h .43达到压水花的训练
6、要求时 h 的取值范围为1， .43思维升华 实际生活中的二次函数问题(如面积、利润、产量等)，可根据已知条件确定二次函数模型，结合二次函数的图象、单调性、零点解决，解题中一定注意函数的定义域.某产品的总成本 y(万元)与产量 x(台)之间的函数关系是 y3 00020x0.1x2 (00).(1)如果 m2，求经过多少时间，物体的温度为 5 摄氏度；(2)若物体的温度总不低于 2 摄氏度，求 m 的取值范围.解 (1)若 m2，则 22t21t2，(2t12t)当 5 时，2t ，令 2tx1，则 x ，12t521x52即 2x25x20，解得 x2 或 x (舍去)，此时 t1.12所以
7、经过 1 分钟，物体的温度为 5 摄氏度.(2)物体的温度总不低于 2 摄氏度，即 2 恒成立，亦 m2t 2 恒成立，亦即 m2恒成立.22t(12t122t)令 x，则 04 时，y41.83x1.83(5x4)20.4x4.8.当乙的用水量超过 4 吨，即 3x4 时，y241.83(3x4)(5x4)24x9.6.所以 yError!Error!(2)由于 yf(x)在各段区间上均单调递增；当 x0， 时，yf( )0，m是大于或等于 m 的最小整数，如33，3.84，3.14，则从甲地到乙地通话时间为5.5 min 的电话费为_元.答案 4.24解析 f(5.5)1.06(0.561
8、)4.24.2.利民工厂某产品的年产量在 150 吨至 250 吨之间，年生产的总成本 y(万元)与年产量 x(吨)之间的关系可近似地表示为 y30x4 000，则每吨的成本最低时的年产量(吨)为x210_.答案 200解析 依题意，得每吨的成本为 30，yxx104 000x则 2 3010，yxx104 000x当且仅当，即 x200 时取等号，x104 000x因此，当每吨成本最低时，年产量为 200 吨.3.某工厂采用高科技改革，在两年内产值的月增长率都是 a，则这两年内第二年某月的产值比第一年相应月产值的增长率为_.答案 (1a)121解析 不妨设第一年 8 月份的产值为 b，则 9
9、 月份的产值为 b(1a)，10 月份的产值为b(1a)2，依次类推，到第二年 8 月份是第一年 8 月份后的第 12 个月，即一个时间间隔是1 个月，这里跨过了 12 个月，故第二年 8 月份产值是 b(1a)12.又由增长率的概念知，这两年内的第二年某月的产值比第一年相应月产值的增长率为(1a)121.b1a12bb4.某电信公司推出两种手机收费方式：A 种方式是月租 20 元，B 种方式是月租 0 元.一个月的本地网内打出电话时间 t(分钟)与打出电话费s(元)的函数关系如图，当打出电话 150 分钟时，这两种方式电话费相 差_元答案 10解析 设 A 种方式对应的函数解析式为 sk1t
10、20，B 种方式对应的函数解析式为 sk2t，当 t100 时，100k120100k2，k2k1 ，15t150 时，150k2150k120150 2010.155.某厂有许多形状为直角梯形的铁皮边角料，如图，为降低消耗，开源节流，现要从这些边角料上截取矩形铁片(如图中阴影部分)备用，当截取的矩形面积最大时，矩形两边长 x、y 分别为_.答案 15、12解析 由三角形相似得，得 x (24y)，24y248x2054Sxy (y12)2180，54当 y12 时，S 有最大值，此时 x15.6.一个容器装有细沙 a cm3，细沙从容器底下一个细微的小孔慢慢地匀速漏出，t min 后剩余的细
11、沙量为 yaebt(cm3)，经过 8 min 后发现容器内还有一半的沙子，则再经过_ min，容器中的沙子只有开始时的八分之一.答案 16解析 当 t0 时，ya，当 t8 时，yae8b a， 12e8b ，容器中的沙子只有开始时的八分之一时，12即 yaebt a，18ebt (e8b)3e24b，则 t24，所以再经过 16 min.187.如图，A、B 两只船分别从在东西方向上相距 145 km 的甲乙两地开 出.A 从甲地自东向西行驶.B 从乙地自北向南行驶，A 的速度是 40 km/h，B 的速度是 16 km/h，经过_小时，AB 间的距离最短.答案 258解析 设经过 x h
12、，A、B 相距为 y km，则 y(0x)，求得函数的最小值时 x 的值为.14540x216x22982588.某市出租车收费标准如下：起步价为 8 元，起步里程为 3 km(不超过 3 km 按起步价付费)；超过 3 km 但不超过 8 km 时，超过部分按每千米 2.15 元收费；超过 8 km 时，超过部分按每千米 2.85 元收费，另每次乘坐需付燃油附加费 1 元.现某人乘坐一次出租车付费 22.6 元，则此次出租车行驶了_ km.答案 9解析 设出租车行驶 x km 时，付费 y 元，则 yError!Error!，由 y22.6，解得 x9.二、解答题9.某地上年度电价为 0.8
13、 元，年用电量为 1 亿千瓦时.本年度计划将电价调至 0.55 元0.75 元之间，经测算，若电价调至 x 元，则本年度新增用电量 y(亿千瓦时)与(x0.4)元成反比例.又当 x0.65 时，y0.8.(1)求 y 与 x 之间的函数关系式；(2)若每千瓦时电的成本价为 0.3 元，则电价调至多少时，本年度电力部门的收益将比上年度增加 20%？收益用电量(实际电价成本价)解 (1)y 与(x0.4)成反比例，设 y(k0).kx0.4把 x0.65，y0.8 代入上式，得 0.8，k0.2.k0.650.4y，0.2x0.415x2即 y 与 x 之间的函数关系式为 y.15x2(2)根据题
14、意，得(1)(x0.3)1(0.80.3)(120%).15x2整理，得 x21.1x0.30，解得 x10.5，x20.6.经检验 x10.5，x20.6 都是所列方程的根.x 的取值范围是 0.550.75，故 x0.5 不符合题意，应舍去.x0.6.当电价调至 0.6 元时，本年度电力部门的收益将比上年度增加 20%.10.提高过江大桥的车辆通行能力可改善整个城市的交通状况.在一般情况下，大桥上的车流速度 v(单位：千米/时)是车流密度 x(单位：辆/千米)的函数.当桥上的车流密度达到 200 辆/千米时，造成堵塞，此时车流速度为 0；当车流密度不超过 20 辆/千米时，车流速度为 60
15、千米/时.研究表明：当 20x200 时，车流速度 v 是车流密度 x 的一次函数.(1)当 0x200 时，求函数 v(x)的表达式；(2)当车流密度 x 为多大时，车流量(单位时间内通过桥上某观测点的车辆数，单位：辆/时)f(x)xv(x)可以达到最大，并求出最大值.(精确到 1 辆/时)解 (1)由题意，当 0x20 时，v(x)60；当 20x200 时，设 v(x)axb，再由已知得Error!Error! 解得Error!Error!故函数 v(x)的表达式为v(x)Error!Error!(2)依题意并由(1)可得f(x)Error!Error!当 0x20 时，f(x)为增函数，故当 x20 时，其最大值为 60201 200；当 201 300.由
