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1、4.7 正弦定理、余弦定理正弦定理、余弦定理1.正弦、余弦定理在ABC 中，若角 A，B，C 所对的边分别是 a，b，c，R 为ABC 外接圆半径，则定理正弦定理余弦定理内容2Rasin Absin Bcsin Ca2b2c22bccos A；b2c2a22cacos B；c2a2b22abcos C 变形(1) a2Rsin A，b2Rsin B，c2Rsin C；(2)sin A，sin B，sin C；a2Rb2Rc2R(3)abcsin Asin Bsin C；(4)asin Bbsin A，bsin Ccsin B，asin Ccsin Acos A；b2c2a22bccos B；c
2、2a2b22accos Ca2b2c22ab2.SABC absin C bcsin A acsin B (abc)r(r 是三角形内切圆的半径)，并可121212abc4R12由此计算 R、r.3.在ABC 中，已知 a、b 和 A 时，解的情况如下：A 为锐角A 为钝角或直角图形关系式absin Absin Ab解的个数一解两解一解一解4.实际问题中的常用角(1)仰角和俯角与目标线在同一铅垂平面内的水平视线和目标视线的夹角，目标视线在水平视线上方叫仰角，目标视线在水平视线下方叫俯角(如图).(2)方向角：相对于某正方向的水平角，如南偏东 30，北偏西 45等.(3)方位角指从正北方向顺时针
3、转到目标方向线的水平角，如 B 点的方位角为 (如图).(4)坡度：坡面与水平面所成的二面角的正切值.1.判断下面结论是否正确(请在括号中打“”或“”)(1)在ABC 中，AB 必有 sin Asin B.( )(2)若满足条件 C60，AB，BCa 的ABC 有两个，那么 a 的取值范围是(，2).33( )(3)若ABC 中，acos Bbcos A，则ABC 是等腰三角形.( )(4)在ABC 中，tan Aa2，tan Bb2，那么ABC 是等腰三角形.( )(5)在ABC 中，若 sin Asin Ba2，则此三角形是锐角三角形.( )2.在ABC 中，若 A60，a，则 .3abc
4、sin Asin Bsin C答案 2解析 由正弦定理及等比性质知2R，asin Absin Bcsin Cabcsin Asin Bsin C而由 A60，a，3得2R2.abcsin Asin Bsin Casin A3sin 603.(2012福建)已知ABC 的三边长成公比为的等比数列，则其最大角的余弦值为 .2答案 24解析 设三角形的三边长从小到大依次为 a，b，c，由题意得 ba，c2a.2在ABC 中，由余弦定理得cos C.a2b2c22aba22a24a22 a 2a244.(2013湖南改编)在锐角ABC 中，角 A，B 所对的边长分别为 a，b，若 2asin Bb，则
5、3角 A 等于 .答案 3解析 在ABC 中，利用正弦定理得2sin Asin Bsin B，sin A.332又 A 为锐角，A .35.(2013陕西改编)设ABC 的内角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，若 bcos Cccos Basin A，则ABC 的形状为 三角形.答案 直角解析 由 bcos Cccos Basin A，得 sin Bcos Csin Ccos Bsin2A，即 sin(BC)sin2A，所以 sin A1，由 0b，A60或 A120.当 A60时，C180456075，c；bsin Csin B6 22当 A120时，C1804512015，c.bs
6、in Csin B6 22思维升华 (1)已知两角及一边可求第三角，解这样的三角形只需直接用正弦定理代入求解即可.(2)已知两边和一边对角，解三角形时，利用正弦定理求另一边的对角时要注意讨论该角，这是解题的难点，应引起注意.已知 a，b，c 分别是ABC 的三个内角 A，B，C 所对的边，若a1，b，AC2B，则角 A 的大小为 .3答案 6解析 AC2B 且 ABC，B .3由正弦定理知：sin A ，asin Bb12又 a0，所以 cos B0，所以 tan B，即 B .33(2)由余弦定理得 b2a2c22accos B，因为 ac1，cos B ，12所以 b2(ac)23ac(a
7、c)232(ac2) (ac)2 ，1414b .12又 acb，bBC,3b20acos A，则 sin Asin Bsin C .答案 654解析 ABC，abc.设 ab1，cb1，由 3b20acos A 得3b20(b1).b2b12b122bb1化简，得 7b227b400.解得 b5 或 b (舍去)，a6，c4.87sin Asin Bsin C654.3.(2013浙江)在ABC 中，C90，M 是 BC 的中点.若 sinBAM ，则 sinBAC .13答案 63解析 因为 sinBAM ，所以 cosBAM.如图，在ABM 中，利用正132 23弦定理，得，所以.BMs
8、inBAMAMsin BBMAMsinBAMsin B13sin B13cosBAC在 RtACM 中，有sinCAMsin(BACBAM).由题意知 BMCM，CMAM所以sin(BACBAM).13cosBAC化简，得 2sinBACcosBACcos2BAC1.2所以1，解得 tanBAC.2 2tanBAC1tan2BAC12再结合 sin2BACcos2BAC1，BAC 为锐角可解得 sinBAC.634.在锐角ABC 中，BC1，B2A，则的值等于 ，AC 的取值范围为 .ACcos A答案 2 (，)23解析 由正弦定理：，BCsin AACsin B，2BC2.BCsin AA
9、Csin 2AAC2sin Acos AACcos AABC，3AC，C3A，Error!Error! 0，cos B0，所以 tan B3tan A.(2)解 因为 cos C，00，所以 tan A1，所以 A .46.(2012江西)在ABC 中，角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c.已知 A ，bsincsin4(4C)a.(4B)(1)求证：BC ；2(2)若 a，求ABC 的面积.2(1)证明 由 bsincsina，应用正弦定理，得 sin Bsinsin Csin(4C)(4B)(4C)sin A，(4B)sin Bsin C(22sin C22cos C)(22sin B
10、22cos B)，22整理得 sin Bcos Ccos Bsin C1，即 sin(BC)1.由于 0B，C ，从而 BC .342(2)解 BCA，因此 B，C .34588由 a，A ，24得 b2sin ，c2sin ，asin Bsin A58asin Csin A8所以ABC 的面积 S bcsin Asin sin 122588cos sin .288127.已知ABC 的三个内角 A，B，C 成等差数列，角 B 所对的边 b，且函数 f(x)32sin2x2sin xcos x在 xA 处取得最大值.33(1)求 f(x)的值域及周期；(2)求ABC 的面积.解 (1)因为 A，B，C 成等差数列，所以 2BAC，又 ABC，所以 B ，即 AC.323因为 f(x)2sin2x2sin xcos x33(2sin2x1)sin 2xsin 2xcos 2x332sin，(2x3)所以 T.22又因为 sin1,1，(2x3)所以 f(x)的值域为2,2.(2)因为 f(x)在 xA 处取得最大值，所以 sin1.(2A3)因为 0A ，所以 2A ，2333故当 2A 时，f(x)取到最大值，32所以 A，所以 C .5124由正弦定理，知c.3sin 3csin 42又因为 sin Asin，(46)2 64所以 SABC bcsin A.123 34
