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1、4.6 三角函数模型及应用三角函数模型及应用1.三角函数模型的简单应用Error!Error!2.解三角函数应用题的一般步骤：(1)阅读理解材料：将文字语言转化为符号语言；(2)建立变量关系：抽象成数学问题，建立变量关系；(3)讨论变量性质：根据函数性质讨论变量性质；(4)作出结论.1.已知ABC，C 为坐标原点 O，A(1，cos )，B(sin ，1)，则当OAB 的面积(0，2达到最大值时，_.答案 2解析 如图设 ，2S1 1sin 1cos (1cos )(1sin )121212 sin cos 1212 sin 21214 sin 2，1214当 时，S 取到最大值.22.200
2、2 年 8 月在北京召开了国际数学家大会，大会会标如图所示，它是由四个相同的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形.若直角三角形中较小的锐角为 ，大正方形的面积为 1，小正方形的面积为，则125sin2cos2 的值是_.答案 725解析 大、小正方形的边长分别为 1， .15cos sin .又 cos2sin21，sin cos .1575sin2cos2(sin cos )(sin cos ).7253.函数 ytan的部分图象如图所示，则() (4x2)OBOAOB_.答案 4解析 由题意知 A(2,0)，B(3,1)，所以()(1,1)(3,1)4.OBOAOB4.已知函数 f
3、(x)3sin(x)，g(x)3cos，若对任意 xR 都有 ff，(x)(6x)(6x)则 g_.(6)答案 0解析 ff，(6x)(6x)f(x)的对称轴为直线 x ，6 k ，kZ，62g3cos0.(6)(k2)题型一 正、余弦定理的简单应用例 1 已知某海滨浴场的海浪高度 y(米)是时间 t (0t24，单位：小时)的函数，记作：yf(t)，下表是某日各时的浪高数据：t(时)03691215182124y(米)1.51.00.51.01.51.00.50.991.5经长期观测，yf(t)的曲线可近似地看成是函数 yAcos tb.(1)根据以上数据，求出函数 yAcos tb 的最小
4、正周期 T、振幅 A 及函数表达式；(2)依据规定，当海浪高度高于 1 米时才对冲浪爱好者开放，请依据(1)的结论，判断一天内的上午 8：00 时至晚上 20：00 时之间，有多少小时时间可供冲浪者进行运动？思维启迪 根据所给数据找出其中规律，求出函数表达式，求解不等式 y1.解 (1)由表中数据，知周期 T12. .2T2126由 t0，y1.5，得 Ab1.5.由 t3，y1.0，得 b1.0.A0.5，b1.振幅为 .12y cos t1.126(2)由题意知，当 y1 时才可对冲浪者开放. cos t11.cos t0.12662k 0，|x0.(1)将十字形的面积表示为 的函数；(2
5、) 满足何种条件时，十字形的面积最大？最大面积是多少？思维启迪 由题图可得：xcos ，ysin .列出面积函数后，利用三角函数性质求解，注意 的范围.解 (1)设 S 为十字形的面积，则 S2xyx22sin cos cos2 ( 0)在区间上是单调函数，且 f0，则 _.0，4(38)答案 或 443解析 0，x0，.0，4 .02(舍).53当1 1，即2a2 时，t ，a2a2y 有最大值 .a24a212由题设可知 1，解得 a1(正值舍去).a24a2127当 1，即 a2 时，t1，y 有最大值 .a2a232由题设可知 1，a5.a232综上所述：a1或 a5.710.如图所示
6、，摩天轮的半径为 40 m，点 O 距地面的高度为 50 m，摩天轮做匀速转动，每 3 min 转一圈，摩天轮上点 P 的起始位置在最低点处.(1)已知在时刻 t(min)时点 P 距离地面的高度 f(t)Asin(t)h， 求 2 013 min 时点 P 距离地面的高度；(2)求证：不论 t 为何值，f(t)f(t1)f(t2)是定值.(1)解 依题意，A40 m，h50 m，T3 min，则 .又 f(0)10，故 ，232f(t)40sin50 (t0).(23t2)则 f(2 013)40sin5010.(23 2 0132)即 2 013 min 时点 P 距离地面的高度为 10
7、m.(2)证明 由(1)知 f(t)40sin50(23t2)5040cos (t0).(23t)f(t)f(t1)f(t2)15040cos40cos40cos(23t)23t123t215040cos40coscos(23t)(23t23)(23t43)15040cos40(2)coscos 150，是定值，即得证.(23t)(23t)3B 组 专项能力提升(时间：35 分钟)1.方程 sin xlg x 实根的个数是_.答案 3解析 在同一坐标系中作出 ysin x 与 ylg x 的图象如图所示，由 lg 101 知，两函数图象有 3 个不同交点，即方程 sin xlg x 有 3 个
8、不同实根.2. 是正实数，设 S|f(x)cos(x)是奇函数，若对每个实数 a，S(a，a1)的元 素不超过 2 个，且有 a 使 S(a，a1)含 2 个元素，则 的取值范围是_. 答案 ，23.若对终边不在坐标轴上的任意角 x，不等式 sin xcos xmtan2x恒成立，则实数1tan2xm 的取值范围是_.答案 ，22解析 Error!Error!恒成立.而 tan2x2，m2.1tan2xsin xcos xsin，2(x4)2m.m，2.224.如图为一半径是 3 m 的水轮，水轮的圆心 O 距离水面 2 m.已知水轮每 分钟旋转 4 圈，水轮上的点 P 到水面的距离 y(m)
9、与时间 x(s)满足函数关系 yAsin(x)2(0，A0)，则 _，A_.答案 3215解析 每分钟转 4 圈，每圈所需时间 T15.604又 T15，A3.22155.对于集合a1，a2，an和常数 a0，定义：为集合a1，a2，an相对 a0的“正sin2a1a0sin2a2a0sin2ana0n弦方差” ，则集合 相对 a0的“正弦方差”为_.2，56，76答案 12解析 sin2sin213(2a0)(56a0)sin2(76a0)AJjYw13cos2a0sin2(6a0)sin2(6a0)131cos 2a021cos(32a0)1cos(32a0)2 .1332126.据市场调
10、查，某种商品一年内每件出厂价在 6 千元的基础上，按月呈 f(x)Asin(x)B 的模型波动(x 为月份)，已知 3 月份达到最高价 8 千元，7 月份价格最低为 4 千元；该商品每件的售价为 g(x)(x 为月份)，且满足 g(x)f(x2)2.(1)分别写出该商品每件的出厂价函数 f(x)及售价函数 g(x)的解析式；(2)问：哪几个月能盈利？解 (1)f(x)Asin(x)B，由题意可得 A2，B6， ， ，44所以 f(x)2sin( x )6(1x12，x 为正整数)，44g(x)2sin( x)8(1x12，x 为正整数).434(2)由 g(x)f(x)，得 sin x，422
11、即 2k x2k，kZ，34494所以 8k3x8k9，kZ，因为 1x12，kZ，所以当 k0 时，3x9，所以 x4,5,6,7,8；当 k1 时，11x17，所以 x12.综上 x4,5,6,7,8,12.故其中 4,5,6,7,8,12 月份能盈利.7.如图，某园林单位准备绿化一块直径为 BC 的半圆形空地，在ABC 外的地方种草，ABC的内接正方形 PQRS 为一水池，其余的地方种花.若BCa，ABC，设ABC 的面积为 S1，正方形 PQRS 的面积为 S2.(1)用 a， 表示 S1和 S2；(2)当 a 固定， 变化时，求取最小值时角 的值.S1S2解 (1)因为 ACasin
12、 ，ABacos ，所以 S1 a2sin cos a2sin 2.1214设正方形边长为 x，则 BQ，RCxtan ，xtan 所以xxtan a，xtan 即 x.a1tan tan 1asin cos 1sin cos asin 22sin 2所以 S2()2.asin 22sin 2a2sin224sin224sin 2(2)当 a 固定， 变化时， (sin 24).S1S2144sin 2令 sin 2t，则 (t 4).S1S2144t因为 0 ，所以 0t1.2令 f(t)t ，由导数知识可知，4t函数 f(t)t 在(0,1上是减函数.4t于是当 t1 时，取最小值，此时 .S1S24
