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1、12.1 随机事件的概率随机事件的概率1.随机事件和确定事件(1)在一定条件下，必然会发生的事件叫做必然事件.(2)在一定条件下，肯定不会发生的事件叫做不可能事件.(3)必然事件与不可能事件统称为确定事件.(4)在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件叫做随机事件.(5)确定事件和随机事件统称为事件，一般用大写字母 A，B，C表示.2.频率与概率(1)在相同的条件下重复 n 次试验，观察某一事件 A 是否出现，称 n 次试验中事件 A 出现的次数 nA为事件 A 出现的频数，称事件 A 出现的比例 fn(A)为事件 A 出现的频率.nAn(2)一般地，对于给定的随机事件 A，在相同条件下，随着
2、试验次数的增加，事件 A 发生的频率会在某个常数附近摆动并趋于稳定，我们可以用这个常数来刻画随机事件 A 发生的可能性大小，并把这个常数称为随机事件 A 的概率，记作 P(A).3.事件的关系与运算定义符号表示包含关系如果事件 A 发生，则事件 B 一定发生，这时称事件 B 包含事件 A(或称事件 A 包含于事件 B)BA(或 AB)相等关系若 BA 且 ABAB和事件(并事件)若某事件发生当且仅当事件 A 发生或事件 B 发生，称此事件为事件 A 与事件 B 的和事件(或并事件)AB(或 AB)积事件(交事件)若某事件发生当且仅当事件 A 发生且事件 B 发生，则称此事件为事件 A 与事件
3、B 的积事件(或交事件)AB(或 AB)互斥事件若事件 A 与 B 是不可能同时发生的两个事件，则称事件 A 与事件 B 互斥AB对立事件如果两个互斥事件 A 与 B 必有一个发生，那么称这两个事件为对立事件P(A)P(B)14.概率的几个基本性质(1)概率的取值范围：0P(A)1.(2)必然事件的概率 P()1.(3)不可能事件的概率 P()0.(4)互斥事件概率的加法公式如果事件 A 与事件 B 互斥，则 P(AB)P(A)P(B).若事件 B 与事件 A 互为对立事件，则 P(A)1P(B).1.判断下面结论是否正确(请在括号中打“”或“”)(1)事件发生频率与概率是相同的.( )(2)
4、随机事件和随机试验是一回事.( )(3)在大量重复试验中，概率是频率的稳定值.( )(4)两个事件的和事件是指两个事件都得发生.( )2.一个人打靶时连续射击两次，事件“至少有一次中靶”的互斥事件是_.答案 两次都不中靶3.某射手的一次射击中，射中 10 环、9 环、8 环的概率分别为 0.2、0.3、0.1，则此射手在一次射击中不超过 8 环的概率为_.答案 0.5解析 依题意知，此射手在一次射击中不超过 8 环的概率为 1(0.20.3)0.5.4.下列事件中，随机事件为_，必然事件为_.(填序号)冬去春来 某班一次数学测试，及格率低于 75% 体育彩票某期的特等奖号码 三角形内角和为 3
5、60 骑车到十字路口遇到交警答案 5.给出下列三个命题，其中正确的命题有_个.有一大批产品，已知次品率为 10%，从中任取 100 件，必有 10 件是次品；做 7 次抛硬币的试验，结果 3 次出现正面，因此正面出现的概率是 ；随机事件发生的频率就是37这个随机事件发生的概率.答案 0解析 错，不一定是 10 件次品；错， 是频率而非概率；错，频率不等于概率，这37是两个不同的概念.题型一 随机事件的关系例 1 某城市有甲、乙两种报纸供居民们订阅，记事件 A 为“只订甲报纸” ，事件 B 为“至少订一种报纸” ，事件 C 为“至多订一种报纸” ，事件 D 为“不订甲报纸” ，事件 E为“一种报
6、纸也不订”.判断下列每对事件是不是互斥事件；如果是，再判断它们是不是对立事件.(1)A 与 C；(2)B 与 E；(3)B 与 C；(4)C 与 E.思维启迪 判断事件之间的关系可以紧扣事件的分类，结合互斥事件，对立事件的定义进行分析.解 (1)由于事件 C“至多订一种报纸”中有可能“只订甲报纸” ，即事件 A 与事件 C 有可能同时发生，故 A 与 C 不是互斥事件.(2)事件 B“至少订一种报纸”与事件 E“一种报纸也不订”是不可能同时发生的，故 B与 E 是互斥事件.由于事件 B 不发生可导致事件 E 一定发生，且事件 E 不发生会导致事件 B 一定发生，故 B 与 E 还是对立事件.(
7、3)事件 B“至少订一种报纸”中有这些可能：“只订甲报纸” 、 “只订乙报纸” 、 “订甲、乙两种报纸” ，事件 C“至多订一种报纸”中有这些可能：“一种报纸也不订” 、 “只订甲报纸” 、 “只订乙报纸” ，由于这两个事件可能同时发生，故 B 与 C 不是互斥事件.(4)由(3)的分析，事件 E“一种报纸也不订”是事件 C 的一种可能，即事件 C 与事件 E 有可能同时发生，故 C 与 E 不是互斥事件.思维升华 对互斥事件要把握住不能同时发生，而对于对立事件除不能同时发生外，其和事件应为必然事件，这些也可类比集合进行理解，具体应用时，可把所有试验结果写出来，看所求事件包含哪几个试验结果，从
8、而断定所给事件的关系.对飞机连续射击两次，每次发射一枚炮弹.设 A两次都击中飞机，B两次都没击中飞机，C恰有一弹击中飞机，D至少有一弹击中飞机，其中彼此互斥的事件是_，互为对立事件的是_.答案 A 与 B，A 与 C，B 与 C，B 与 D B 与 D解析 设 I 为对飞机连续射击两次所发生的所有情况，因为AB，AC，BC，BD.故 A 与 B，A 与 C，B 与 C，B 与 D 为彼此互斥事件，而 BD，BDI，故 B 与D 互为对立事件.题型二 随机事件的频率与概率例 2 某企业生产的乒乓球被 2012 年伦敦奥运会指定为乒乓球比赛专用球，目前有关部门对某批产品进行了抽样检测，检查结果如下
9、表所示：抽取球数 n501002005001 0002 000优等品数 m45921944709541 902优等品频率mn(1)计算表中乒乓球优等品的频率；(2)从这批乒乓球产品中任取一个，质量检查为优等品的概率是多少？(结果保留到小数点后三位)思维启迪 可以利用公式计算频率，在试验次数很大时，用频率来估计概率.解 (1)依据公式 f ，计算出表中乒乓球优等品的频率依次是 0.900,0.920,0.970,0.940,mn0.954,0.951.(2)由(1)知，抽取的球数 n 不同，计算得到的频率值不同，但随着抽取球数的增多，频率在常数 0.950 的附近摆动，所以质量检查为优等品的概率
10、约为 0.950.思维升华 频率是个不确定的数，在一定程度上频率可以反映事件发生的可能性大小，但无法从根本上刻画事件发生的可能性大小.但从大量重复试验中发现，随着试验次数的增多，事件发生的频率就会稳定于某一固定的值，该值就是概率.某河流上的一座水力发电站，每年六月份的发电量 Y(单位：万千瓦时)与该河上游在六月份的降雨量 X(单位：毫米)有关.据统计，当 X70 时，Y460；X 每增加10，Y 增加 5.已知近 20 年 X 的值为140,110,160,70,200,160,140,160,220,200,110,160,160,200,140,110,160,220,140,160.(1
11、)完成如下的频率分布表：近 20 年六月份降雨量频率分布表降雨量70110140160200220频率120420220(2)假定今年六月份的降雨量与近 20 年六月份降雨量的分布规律相同，并将频率视为概率，求今年六月份该水力发电站的发电量低于 490(万千瓦时)或超过 530(万千瓦时)的概率.解 (1)在所给数据中，降雨量为 110 毫米的有 3 个，为 160 毫米的有 7 个，为 200 毫米的有 3 个.故近 20 年六月份降雨量频率分布表为降雨量70110140160200220频率120320420720320220(2)由已知可得 Y 425，X2故 P(“发电量低于 490
12、万千瓦时或超过 530 万千瓦时”)P(Y530)P(X210)P(X70)P(X110)P(X220).120320220310故今年六月份该水力发电站的发电量低于 490(万千瓦时)或超过530(万千瓦时)的概率为.310题型三 互斥事件、对立事件的概率例 3 某商场有奖销售中，购满 100 元商品得 1 张奖券，多购多得.1 000 张奖券为一个开奖单位，设特等奖 1 个，一等奖 10 个，二等奖 50 个.设 1 张奖券中特等奖、一等奖、二等奖的事件分别为 A、B、C，求：(1)P(A)，P(B)，P(C)；(2)1 张奖券的中奖概率；(3)1 张奖券不中特等奖且不中一等奖的概率.思维
13、启迪 明确事件的特征、分析事件间的关系，根据互斥事件或对立事件概率公式求解.解 (1)P(A)，P(B)，11 000101 0001100P(C).501 000120故事件 A，B，C 的概率分别为，.11 0001100120(2)1 张奖券中奖包含中特等奖、一等奖、二等奖.设“1 张奖券中奖”这个事件为 M，则MABC.A、B、C 两两互斥，P(M)P(ABC)P(A)P(B)P(C).110501 000611 000故 1 张奖券的中奖概率为.611 000(3)设“1 张奖券不中特等奖且不中一等奖”为事件 N，则事件 N 与“1 张奖券中特等奖或中一等奖”为对立事件，P(N)1P
14、(AB)1.(11 0001100)9891 000故 1 张奖券不中特等奖且不中一等奖的概率为.9891 000思维升华 (1)解决此类问题，首先应结合互斥事件和对立事件的定义分析出是不是互斥事件或对立事件，再选择概率公式进行计算.(2)求复杂的互斥事件的概率一般有两种方法：一是直接求解法，将所求事件的概率分解为一些彼此互斥的事件的概率的和，运用互斥事件的求和公式计算；二是间接求法，先求此事件的对立事件的概率，再用公式 P(A)1P( )计算.A袋中有 12 个小球，分别为红球、黑球、黄球、绿球，从中任取一球，得到红球的概率是 ，黑球或黄球的概率是，绿球或黄球的概率也是.求从中任取一球，13
15、512512得到黑球、黄球和绿球的概率分别是多少？解 从袋中任取一球，记事件“得到红球” “得到黑球” “得到黄球” “得到绿球”分别为A，B，C，D，则事件 A，B，C，D 彼此互斥，所以有 P(BC)P(B)P(C)，P(DC)P(D)P(C)，P(BCD)P(B)P(C)P(D)1P(A)5125121 ，1323解得 P(B) ，P(C) ，P(D) .141614故从中任取一球，得到黑球、黄球和绿球的概率分别是 ， .141614用正难则反思想求互斥事件的概率典例：(14 分)(2012湖南)某超市为了解顾客的购物量及结算时间等信息，安排一名员工随机收集了在该超市购物的 100 位顾客的相关数据，如下表所示.一次购物量1 至 4 件5 至 8 件9 至 12 件13 至 16 件17 件及以上顾客数(人)x3025y10已知这 100 位顾客中一次购物量超过 8 件的顾客占 55%.(1)确定 x，y 的值，并估计顾客一次购物的结算时间的平均值；(2)求一位顾客一次购物的结算时间不超过 2 分钟的概率.(将频率视为概率)思维启迪 若某一事件包含的基本事件多，而它的对立事件包含的基本事件少，则可用“正难则反”思想求解.规范解答解 (1)由已知得 25y1055，x3045，所以 x15，y20.2 分该超市所有顾客一次购物的结算时
