【步步高】2015高考数学（福建，理）一轮学案17　任意角的三角函数

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1、第四章第四章 三角函数与三角恒等变换三角函数与三角恒等变换 学案学案 17 任意角的三角函数任意角的三角函数 导学目标： 1.了解任意角的概念.2.了解弧度制的概念，能进行弧度与角度的互化.3.理 解任意角的三角函数(正弦、余弦、正切)的定义 自主梳理 1任意角的概念 角可以看成平面内一条射线 OA 绕着端点从一个位置旋转到另一个位置 OB 所成的图 形旋转开始时的射线 OA 叫做角的_，射线的端点 O 叫做角的_，旋转终 止位置的射线 OB 叫做角的_，按_时针方向旋转所形成的角叫做正角，按 _时针方向旋转所形成的角叫做负角若一条射线没作任何旋转，称它形成了一个 _角 (1)象限角 使角的顶

2、点与原点重合，角的始边与 x 轴的非负半轴重合，角的终边落在第几象限， 就说这个角是_角 (2)象限界角(即终边在坐标轴上的角) 终边在 x 轴上的角表示为_； 终边在 y 轴上的角表示为_； 终边落在坐标轴上的角可表示为_ (3)终边相同的角 所有与角 终边相同的角，连同角 在内，可构成一个集合_ 或_，前者 用角度制表示，后者 用弧度制表示 (4)弧度制 把长度等于_长的弧所对的_叫 1 弧度的角以弧度作为单位来度量 角的单位制，叫做_，它的单位符号是_，读作_，通常略去不写 (5)度与弧度的换算关系 360_ rad；180_ rad；1_ rad； 1 rad_57.30. (6)弧长

3、公式与扇形面积公式 l_，即弧长等于_ S扇_. 2三角函数的定义 任意角的三角函数定义：设 是一个任意角，它的终边与单位圆交于点 P(x，y)，那么 _叫做 的正弦，记作 sin ，即 sin y；_叫做 的余弦，记作 cos ，即 cos x；_叫做 的正切，记作 tan ，即 tan (x0) y x (1)三角函数值的符号 各象限的三角函数值的符号如下图所示，三角函数正值歌：一全正，二正弦，三正切， 四余弦 (2)三角函数线 下图中有向线段 MP，OM，AT 分别表示_，_和 _ 自我检测 1 “ ”是“cos 2 ”的 （ 6 1 2 ） A充分而不必要条件 B必要而不充分条件 C充

4、分必要条件 D既不充分也不必要条件 2.(2011济宁模拟)点 P(tan 2 009，cos 2 009)位于 （ ） A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限 3(2010山东青岛高三教学质量检测)已知 sin 0，则角 是 （ ） A第一象限角 B第二象限角 C第三象限角 D第四象限角 4已知角 的终边上一点的坐标为，则角 的最小正值为 ( ) (sin 2 3 ，cos 2 3) A. B. C. D. 5 6 2 3 5 3 11 6 探究点一 角的概念 例 1 (1)如果角 是第三象限角，那么， 角的终边落在第几象限； (2)写出终边落在直线 yx 上的角的集合； 3 (3)

5、若 168k360 (kZ)，求在0，360)内终边与 角的终边相同的角 3 变式迁移 1 若 是第二象限的角，试分别确定 2， 的终边所在位置 2 探究点二 弧长与扇形面积 例 2 (2011金华模拟)已知一个扇形的圆心角是 ，00)，当 为多少弧度时，该扇形有最大面积？ 变式迁移 2 (1)已知扇形的周长为 10，面积为 4，求扇形中心角的弧度数； (2)已知扇形的周长为 40，当它的半径和中心角取何值时，才能使扇形的面积最大？最 大面积是多少？ 探究点三 三角函数的定义 例 3 已知角 的终边在直线 3x4y0 上，求 sin ，cos ，tan 的值 变式迁移 3 已知角 的终边经过点

6、 P(4a,3a) (a0)，求 sin ，cos ，tan 的值 1角的度量由原来的角度制改换为弧度制，要养成用弧度表示角的习惯象限角的判 断，终边相同的角的表示，弧度、弧长公式和扇形面积公式的运用是学习三角函数的基 础 2三角函数都是以角为自变量(用弧度表示)，以比值为函数值的函数，是从实数集到 实数集的映射，注意两种定义法，即坐标法和单位圆法 (满分：75 分) 一、选择题(每小题 5 分，共 25 分) 1(2011宣城模拟)点 P 从(1,0)出发，沿单位圆 x2y21 逆时针方向运动弧长到达 2 3 Q，则 Q 的坐标为 （ ） A( ，) B(， ) 1 2 3 2 3 2 1

7、2 C( ，) D(， ) 1 2 3 2 3 2 1 2 2若 0 和 cos x0 ( 为象限角)，则 在第一象限其中正确命题为 _(将正确命题的序号填在横线上) 三、解答题(共 38 分) 9(12 分)已知扇形 OAB 的圆心角 为 120，半径长为 6， (1)求的弧长； AB (2)求弓形 OAB 的面积 10(12 分)在单位圆中画出适合下列条件的角 的终边的范围，并由此写出角 的集 合： (1)sin ； 3 2 (2)cos . 1 2 11(14 分)(2011舟山月考)已知角 终边经过点 P(x，) (x0)，且 cos x.求 2 3 6 sin 的值 1 tan 答案

8、答案 自主梳理 1始边 顶点 终边 逆 顺 零 (1)第几象限 (2)|k，kZ (3)|k360， |k 2，k Z | k 2 ，k Z kZ |2k，kZ (4)半径 圆心角 弧度制 rad 弧度 (5)2 180 (6)|r 弧所对的圆心角(弧度数)的绝对值与半径的积 lr |r2 2.y x ( 180 ) 1 2 1 2 (2) 的正弦线 的余弦线 的正切线 y x 自我检测 1A 2.D 3.C 4.D 课堂活动区 例 1 解题导引 (1)一般地，角 与 终边关于 x 轴对称；角 与 终边关于 y 轴对称；角 与 终边关于原点对称 (2)利用终边相同的角的集合 S|2k，kZ判断

9、一个角 所在的象限时，只 需把这个角写成0,2)范围内的一角 与 2 的整数倍，然后判断角 的象限 (3)利用终边相同的角的集合可以求适合某些条件的角，方法为先写出与这个角的终边 相同的所有角的集合，然后通过对集合参数 k 赋值来求得所需角 解 (1)2k2，舍去， . 1 2 (2)扇形的周长为 40，即 R2R40， S lR R2 R2R 2100. 1 2 1 2 1 4 1 4( R2R 2 ) 当且仅当 R2R，即 R10，2 时扇形面积取得最大值，最大值为 100. 例 3 解题导引 某角的三角函数值只与该角终边所在位置有关，当终边确定时三角 函数值就相应确定了但若终边落在某条直

10、线上时，这时终边实际上有两个，因此对应的 函数值有两组，要分别求解 解 角 的终边在直线 3x4y0 上， 在角 的终边上任取一点 P(4t，3t) (t0)， 则 x4t，y3t， r5|t|， x2y24t23t2 当 t0 时，r5t， sin ， y r 3t 5t 3 5 cos ， x r 4t 5t 4 5 tan ； y x 3t 4t 3 4 当 t0 时，sin ，cos ，tan ； 3 5 4 5 3 4 t0，则 r5a， 角在第二象限， sin ， y r 3a 5a 3 5 cos ， x r 4a 5a 4 5 tan . y x 3a 4a 3 4 若 a0，

11、cos 0，P 在第四象限，. 3 4 3 4 7 4 8 解析 中，当 在第三象限时， sin ，故错 2 5 5 中，同时满足 sin ，cos 的角为 2k (kZ)，不只有一个，故 1 2 3 2 6 错正确 可能在第一象限或第四象限，故错综上选. 9解 (1)120，r6， 2 3 的弧长为 lr64.(4 分) AB 2 3 (2)S扇形 OAB lr 4612，(7 1 2 1 2 分) SABO r2sin 62 1 2 2 3 1 2 3 2 9，(10 3 分) S弓形 OABS扇形 OABSABO129.(12 3 分) 10解 (1) 作直线 y交单位圆于 A、B 两点

12、，连结 OA、OB，则 OA 与 OB 围成的区域即为角 3 2 的集合为. |2k 3 2k2 3 ，k Z (6 分) (2) 作直线 x 交单位圆于 C、D 两点，连结 OC、OD，则 OC 与 OD 围成的区域(图中 1 2 阴影部分)即为角 终边的范围故满足条件的角 的集合为 .(1 |2k 2 3 2k4 3 ，k Z 2 分) 11解 P(x，) (x0)， 2 点 P 到原点的距离 r.(2 x22 分) 又 cos x， 3 6 cos x.x0，x， x x22 3 610 r2.(6 分) 3 当 x时，P 点坐标为(，)， 10102 由三角函数的定义， 有 sin ， 6 6 1 tan 5 sin ；(10 分) 1 tan 6 65 6 5 6 6 当 x时， 10 同样可求得 sin .