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1、第 1 讲 平面向量的概念及其线性运算知 识 梳 理1向量的有关概念名称定义备注向量既有大小又有方向的量；向量的大小叫做向量的长度(或称模)平面向量是自由向量零向量长度为零的向量；其方向是任意的记作 0单位向量长度等于 1 个单位的向量 非零向量 a 的单位向量为a|a|平行向量方向相同或相反的非零向量共线向量方向相同或相反的非零向量又叫做共线向量0 与任一向量平行或共线相等向量长度相等且方向相同的向量两向量只有相等或不等，不能比较大小相反向量长度相等且方向相反的向量0 的相反向量为 02.向量的线性运算向量运算定 义法则(或几何意义)运算律加法求两个向量和的运算三角形法则平行四边形法则(1)
2、交换律：abba.(2)结合律：(ab)ca(bc)续表减法求 a 与 b 的相反向量b 的和的运算叫做a 与 b 的差三角形法则aba(b)数乘求实数 与向量 a 的积的运算(1)|a|a|；(2)当 0 时，a 的方向与 a 的方向相同；当 0 时，a 的方向与 a 的方向相反；当0 时，a0(a)a；()aaa；(ab)ab3.共线向量定理向量 a(a0)与 b 共线的充要条件是存在唯一一个实数 ，使得 ba.辨 析 感 悟1对共线向量的理解(1)若向量 a，b 共线，则向量 a，b 的方向相同()(2)若 ab，bc，则 ac.()(3)(2013郑州调研改编)设 a 与 b 是两个不
3、共线向量，且向量 ab 与 2ab 共线，则 .()122对向量线性运算的应用(4)ABCA.()BCDD(5)(教材习题改编)在ABC 中，D 是 BC 的中点，则 A (AA)()D12CB感悟提升1一个区别 两个向量共线与两条线段共线不同，前者的起点可以不同，而后者必须在同一直线上同样，两个平行向量与两条平行直线也是不同的，因为两个平行向量可以移到同一直线上2两个防范 一是两个向量共线，则它们的方向相同或相反；如(1)；二是注重零向量的特殊性，如(2).考点一 平面向量的有关概念【例 1】 给出下列命题：若|a|b|，则 ab；若 A，B，C，D 是不共线的四点，则是四边ABDC形 AB
4、CD 为平行四边形的充要条件；若 ab，bc，则 ac；ab 的充要条件是|a|b|且 ab.其中真命题的序号是_解析 不正确两个向量的长度相等，但它们的方向不一定相同正确，ABDC|且，ABDCABDC又A，B，C，D 是不共线的四点，四边形 ABCD 为平行四边形；反之，若四边形 ABCD 为平行四边形，则且|，因此，ABDCABDCAB.DC正确ab，a，b 的长度相等且方向相同；又 bc，b，c 的长度相等且方向相同，a，c 的长度相等且方向相同，故 ac.不正确当 ab 且方向相反时，即使|a|b|，也不能得到 ab，故|a|b|且ab 不是 ab 的充要条件，而是必要不充分条件综上
5、所述，正确命题的序号是.答案 规律方法 对于向量的概念应注意以下几条：(1)向量的两个特征：有大小和方向，向量既可以用有向线段和字母表示，也可以用坐标表示；(2)相等向量不仅模相等，而且方向要相同，所以相等向量一定是平行向量，而平行向量则未必是相等向量；(3)向量与数量不同，数量可以比较大小，向量则不能，但向量的模是非负实数，故可以比较大小【训练 1】 设 a0为单位向量，若 a 为平面内的某个向量，则 a|a|a0；若a 与 a0平行，则 a|a|a0；若 a 与 a0平行且|a|1，则 aa0.上述命题中，假命题的序号是_解析 向量是既有大小又有方向的量，a 与|a|a0的模相等，但方向不
6、一定相同，故是假命题；若 a 与 a0平行，则 a 与 a0的方向有两种情况：一是同向，二是反向，反向时 a|a|a0，故也是假命题答案 考点二 平面向量的线性运算【例 2】 (1)(2013四川卷)如图，在平行四边形 ABCD 中，对角线 AC 与 BD 交于点，则 _.ABADAO(2)(2013泉州模拟)已知 P，A，B，C 是平面内四点，且，那PAPBPCAC么_ .PBAP解析 (1)2，2.ABADACAO(2)，PAPBPCACPCPA22.PBPAAP答案 (1)2 (2)2规律方法 (1)进行向量运算时，要尽可能地将它们转化到三角形或平行四边形中，充分利用相等向量、相反向量，
7、三角形的中位线及相似三角形对应边成比例等性质，把未知向量用已知向量表示出来(2)向量的线性运算类似于代数多项式的运算，实数运算中的去括号、移项、合并同类项、提取公因式等变形手段在线性运算中同样适用【训练 2】 如图，D，E，F 分别是ABC 的边 AB，BC，CA 的中点，则 C可用 A与 B表FDE示为_解析 由题意知：， ，而0，ADFEDFCFEDFEEDDF0.ADBECFCFADBE答案 CFADBE考点三 向量共线定理及其应用【例 3】 (2013郑州一中月考)设两个非零向量 a 与 b 不共线(1)若ab，2a8b，3(ab)求证：A，B，D 三点共线；ABBCCD(2)试确定实
8、数 k，使 kab 和 akb 共线审题路线 (1)由向量的加法，得用 a，b 表示得到与BDBCCDBDBD的关系式由向量共线定理，得与共线再看是否有公共点得到证ABBDAB明的结论(2)假设存在实数 k利用向量共线定理列出方程根据 a、b 是两个不共线的向量得出方程组解得 k 值(1)证明 ab，2a8b，3(ab)ABBCCD2a8b3(ab)5(ab)5.BDBCCDAB，共线，又它们有公共点 B，ABBDA，B，D 三点共线(2)解 假设 kab 与 akb 共线，则存在实数 ，使 kab(akb)，即(k)a(k1)b.又 a，b 是两不共线的非零向量，kk10.k210.k1.规
9、律方法 (1)证明三点共线问题，可用向量共线解决，但应注意向量共线与三点共线的区别与联系，当两向量共线且有公共点时，才能得出三点共线(2)向量 a，b 共线是指存在不全为零的实数 1，2，使 1a2b0 成立，若1a2b0，当且仅当 120 时成立，则向量 a，b 不共线【训练 3】 (2014西安模拟)已知向量 a，b 不共线，且 cab，da(21)b，若 c 与 d 同向，则实数 的值为_解析 由于 c 与 d 同向，所以 ckd(k0)，于是 abka(21)b，整理得 abka(2kk)b.由于 a，b 不共线，所以有Error!Error!整理得 2210，所以 1 或 .12又因
10、为 k0，所以 0，故 1.答案 11向量的加、减法运算，要在所表达的图形上多思考，多联系相关的几何图形，比如平行四边形、菱形、三角形等，可多记忆一些有关的结论2对于向量共线定理及其等价定理，关键要理解为位置(共线或不共线)与向量等式之间所建立的对应关系要证明三点共线或直线平行都是先探索有关的向量满足向量等式 ba，再结合条件或图形有无公共点证明几何位置 方法优化 3准确把握平面向量的概念和运算【典例】 (2012浙江卷改编)设 a，b 是两个非零向量对于结论：若|ab|a|b|，则 ab；若 ab，则|ab|a|b|；若|ab|a|b|，则存在实数 ，使得 ba；若存在实数 ，使得 ba，则
11、|ab|a|b|.正确结论的序号是_一般解法 结论，若 ba，则等式|ab|a|b|成立，显然 ab 不成立；结论，若 ab 且|a|b|，则|a|b|0，显然，|ab|a|0，故2|ab|a|b|不成立；结论正确；结论，若 ba，则|a|b|0，显然，|ab|2|a|0，故|ab|a|b|不成立优美解法 (数量积法)把等式|ab|a|b|两边平方，得(ab)2(|a|b|)2，即 2ab2|a|b|，而 ab|a|b|cosa，b ，所以 cosa，b1.又因为a，b0，所以a，b，即 a，b 为方向相反的共线向量故正确答案 反思感悟 部分学生做错的主要原因是：题中的条件“|ab|a|b|”
12、在处理过程中误认为“|ab|ab|” ，从而得到“ab”这个错误的结论【自主体验】在OAB 中，a，b，OD 是 AB 边上的高，若，则实数OAOBADAB_.；.aab|ab|aba|ab|aab|ab|2aba|ab|2解析 由，|.ADABADAB又|a|cos A|a|，ADaab|a|ab|aab|ab|ab|，.ABaab|ab|2答案 基础巩固题组(建议用时：40 分钟)一、填空题1若 O，E，F 是不共线的任意三点，则可用与表示为_EFOFOE解析 由图可知.EFOFOE答案 EFOFOE2.(2014汕头二模)如图，在正六边形 ABCDEF 中，等于_BACDEF解析 因为
13、ABCDEF 是正六边形，故BACDEFDECDEFCEEF.CF答案 CF3对于非零向量 a，b， “ab0”是“ab”的_条件解析 若 ab0，则 ab，所以 ab.若 ab，则 ab，ab0 不一定成立，故前者是后者的充分不必要条件答案 充分不必要4(2013大连联考)已知a，b，c，d，且四边形 ABCD 为OAOBOCOD平行四边形，则 a、b、c、d 四个向量满足的关系为_解析 依题意得，AD，故 AC0，即0，即BCBDOBOAODOC有0，则 abcd0.OAOBOCOD答案 abcd05(2014宿迁质检)若点 M 是ABC 所在平面内的一点，且满足 53AMAB，则ABM 与ABC 的面积比为_AC解析 设 AB 的中点为 D，由 53，得 3322，即AMABACAMACADAM32.如图所示，故 C，M，D 三点共线，且 ，也就是ABMCMMDMD35CD与ABC 对于边 AB 的两高之比为 35，则ABM 与ABC 的面积比为 .35答案 356(2014湖州月考)给出下列命题：向量的长度与向量的长度相等；ABBA向量 a 与 b 平行，则 a 与 b 的方向相同或相反；两个有共同起点而
