【创新设计】2015高考数学（苏教文）一轮配套文档：第2篇第6讲对数与对数函数

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1、第 6 讲 对数与对数函数知 识 梳 理1对数的概念如果 a(a0，a1)的 b 次幂等于 N，就是 abN，那么数 b 叫做以 a 为底 N 的对数，记作 logaNb，其中 a 叫做对数的底数，N 叫做对数的真数2对数的性质与运算法则(1)对数的性质几个恒等式(M，N，a，b 都是正数，且 a，b1)alogaNN；logaaNN；logbN；bnlogaNlogablogmalogab；logab，推广 logablogbclogcdlogad.nm1logba(2)对数的运算法则(a0，且 a1，M0，N0)loga(MN)logaMlogaN；logalogaMlogaN；logaM

2、nnlogaM(nR)；MNloga logaM.nM1n3对数函数的图象与性质a10a1图象(1)定义域：(0，)(2)值域：R 性质(3)过点(1,0)，即 x1 时，y0辨 析 感 悟1对数运算的辨析(1)(2013陕西卷改编)设 a，b，c 均为不等于 1 的正实数，则logablogcblogca.()logablogcalogcb.()loga(bc)logablogac.()loga(bc)logablogac.()(2)(2013中山调研改编)若 log4log3(log2x)0，则.()242对数函数的理解(3)(2013吉林调研改编)函数 ylog3(2x4)的定义域为(2

3、，)()(4)对数函数 ylogax(a0 且 a1)的图象过定点(1,0)，且过点(a,1)，(1a，1)函数图象只在第一、四象限()(5)(2014长沙模拟改编)函数 ylogax(a0，且 a1)在2,4上的最大值与最小值的差是 1，则 a2.()(6)log2x22log2x.()感悟提升三个防范 一是在运算性质中，要特别注意条件，底数和真数均大于 0，底数不等于 1；二是对公式要熟记，防止混用；三是对数函数的单调性、最值与底数 a 有关，解题时要按 0a1 和 a1 分类讨论，否则易出错(4)当 x1 时，y0当 0x1 时，y0(5)当 x1 时，y0当 0x1 时，y0性质(6)

4、在(0，)上是增函数(7)在(0，)上是减函数考点一 对数的运算【例 1】 (1)(2013四川卷)lg lg 的值是_520(2)已知函数 f(x)满足：当 x4 时，f(x)x；当 x4 时，f(x)f(x1)则(12)f(2log23)_.解析 (1)lg lglg lg 101.520100(2)由于 1log232，则 f(2log23)f(2log231)f(3log23) .233log1 231 223log1 21823log21821 3log21813124答案 (1)1 (2)124规律方法 (1)在对数运算中，先利用幂的运算把底数或真数进行变形，化成分数指数幂的形式，

5、使幂的底数最简，然后再运用对数运算法则化简合并，在运算中要注意化同底或指数与对数互化(2)熟练地运用对数的三个运算性质并配以代数式的恒等变形是对数计算、化简、证明常用的技巧【训练 1】 (1)(2012安徽卷改编)(log29)_.(log3 4)(2)lg 25lg 2lg 50(lg 2)2_.解析 (1)(log29)(2log2 3)(2log32)4.(log3 4)(2)原式(lg 2)2(1lg 5)lg 2lg 52(lg 2lg 51)lg 22lg 5(11)lg 22lg 52(lg 2lg 5)2.答案 (1)4 (2)2考点二 对数函数的图象及其应用【例 2】 (20

6、12新课标全国卷改编)当 0x 时，4xlogax，则 a 的取值范围是12_审题路线 在同一坐标系下作出两个函数 y4x与 ylogax 的图象画函数ylogax 的图象可考虑两种情况：a1 和 0a1观察图象，当 a1 时不符合题意舍去，所以只画出 0a1 的情形观察图象的交点满足条件：(12，2)loga 2 即可12解析 由题意得，当 0a1 时，要使得 4xlogax，即当 0x(0x 12)时，函数 y4x的图象在函数 ylogax 图象的下方12又当 x 时，2，即函数 y4x的图象过点，把点代入函数12(12，2)(12，2)ylogax，得 a，若函数 y4x的图象在函数 y

7、logax 图象的下方，则需22a1(如图所示)22当 a1 时，不符合题意，舍去所以实数 a 的取值范围是.(22，1)答案 (22，1)规律方法 一些对数型方程、不等式问题常转化为相应的函数图象问题，利用数形结合法求解【训练 2】 (2014石家庄二模)设方程 10x|lg(x)|的两个根分别为 x1，x2，则两根满足的条件是_x1x20；x1x21；x1x21；0x1x21.解析 构造函数 y10x与 y|lg(x)|，并作出它们的图象，如图所示因为 x1，x2是 10x|lg(x)|的两个根，则两个函数图象交点的横坐标分别为x1，x2，不妨设 x21，1x10，则 10x1lg(x1)

8、，10x2lg(x2)，因此 10x210x1lg(x1x2)，因为 10x210x10，所以 lg(x1x2)0，即 0x1x21.答案 考点三 对数函数的性质及应用【例 3】 (1)(2013新课标全国卷改编)设 alog32，blog52，clog23，则它们的大小关系为_(2)设函数 f(x)若 f(a)f(a)，则实数 a 的取值范围是_解析 (1)23,12，32，log3log32log33，log51log5 3532log5，log23log22，5 a1,0b ，c1，cab.1212(2)由题意可得Error!Error!或解得 a1 或1a0.答案 (1)cab (2)

9、(1,0)(1，)规律方法 在解决与对数函数相关的比较大小或解不等式问题时，要优先考虑利用对数函数的单调性来求解在利用单调性时，一定要明确底数 a 的取值对函数增减性的影响，及真数必须为正的限制条件【训练 3】 (1)(2014郑州模拟)若 x(e1,1)，aln x，bln x，celn x，则(12)a，b，c 的大小关系为_(2)函数 f(x)loga(ax3)在1,3上单调递增，则 a 的取值范围是_解析 (1)依题意得 aln x(1,0)，bln x(1,2)，cx(e1,1)，因此(12)bca.(2)由于 a0，且 a1，uax3 为增函数，若函数 f(x)为增函数，则 f(x

10、)logau 必为增函数，因此 a1，又 uax3 在1,3上恒为正，a30，即 a3.答案 (1)bca (2)(3，)(1)研究对数型函数的图象时，一般从最基本的对数函数的图象入手，通过平移、伸缩、对称变换得到特别地，要注意底数 a1 和 0a1 的两种不同情况有些复杂的问题，借助于函数图象来解决，就变得简单了，这是数形结合思想的重要体现(2)利用单调性可解决比较大小、解不等式、求最值等问题，其基本方法是“同底法” ，即把不同底的对数式化为同底的对数式，然后根据单调性来解决 教你审题 2巧用对数函数图象解题【典例】 (2012湖南卷改编)已知两条直线 l1：ym 和 l2：y(m0)，l1

11、82m1与从左至右相交于点 A，B，l2与函数y|log2x|的图象从左至右相交于点 C，D.记线段 AC 和 BD 在 x 轴上的函数|log2x|的图象投影长度分别为 a，b.当 m 变化时， 的最小值为_.ba审题 一审条件：转化函数 y|log2x|为 yError!Error!得到图象，如图二审条件：见上图三审条件：转化为 a 是 A，C 两点横坐标之差的绝对值，b 是 B，D 两点横坐标之差的绝对值A，B 的横坐标即是方程|log2x|m 的解，C，D 的横坐标即是方程|log2x|的解，求出 A，B，C，D 点的横坐标82m1四审问题：把 转化为关于 m 的函数，利用导数或不等式

12、求解即可ba解析 数形结合可知 A，C 点的横坐标在区间(0,1)上，B，D 点的横坐标在区间(1，)上，而且 xCxA与 xBxD同号，所以 .根据已知ba|xBxD|xCxA|xBxDxCxA|log2xA|m，即log2xAm，所以 xA2m.同理可得 xC，xB2m，xD，所以 .只要求出bam 的最小值即可82m1法一 构造函数 g(m)m，则 g(m)182m1162m12，由于 m0，显然可得 g(m)在(0，)上有唯一的极小值点，2m52m32m12也是最小值点 m ，故 g(m)ming ，即 的最小值为8.32(32)72ba7 222法二 mmm 4 ，当且仅当82m14

13、m124m1212121272m ，即 m 时等号成立，故 的最小值为8.4m121232ba2答案 82反思感悟 (1)利用对数函数的图象研究与对数有关的图象问题时要注意对称变换的应用；(2)本题是以函数图象为载体，AC 和 BD 在 x 轴上的投影长度用坐标表示是解决问题的切入点，再转化为求函数的最值问题，难度稍大【自主体验】已知函数 f(x)ln x，g(x)lg x，h(x)log3x，直线 ya(a0)与这三个函数的交点的横坐标分别是 x1，x2，x3，则 x1，x2，x3,1 的大小关系是_解析 分别作出三个函数的图象，如图所示：由图可知，x2x3x11.答案 x2x3x11基础巩

14、固题组(建议用时：40 分钟)一、填空题1如果0，那么 x，y,1 的大小关系是_解析 ，又 y是(0，)上的减函数，xy1.答案 1yx2(2014深圳调研)设 f(x)为定义在 R 上的奇函数，当 x0 时，f(x)log3(1x)，则 f(2)_.解析 f(2)f(2)log331.答案 13函数 y的定义域是，则 a_.(23，)解析 要使函数有意义，则 3xa0，即 x ，a3 ，a2.a323答案 24已知 f(x)Error!Error!且 f(2)1，则 f(1)_.解析 f(2)loga(221)loga31，a3，f(1)23218.答案 185函数 yloga(x1)2(a0，a1)的图象恒过一定点是_解析 当 x2 时 y2.答案 (2,2)6(2012重庆卷改编)已知 alog23log2，blog29log2，clog32，则33a，b，c 的大小关系是_解析 alo