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1、选考部分 选修4-2 矩阵与变换 第一节 线性变换与二阶矩阵,1.线性变换 (1)在平面直角坐标系xOy内，很多几何变换具有下列形式：，其中系数a,b,c,d均为常数，我们把形如的几何变换叫做线性变换，式叫做这个线性变换的坐标变换公 式.P(x,y)是P(x,y)在这个线性变换作用下的像. (2)常见的平面变换：恒等变换、_变换、_变换、反 射变换、_变换、_变换.,旋转,切变,投影,伸缩,2.二阶矩阵的概念及与向量的乘法 (1)矩阵的概念 由4个数a,b,c,d排成的正方形数表_称为二阶矩阵，数_称为矩阵的元素.在二阶矩阵中,横的叫行,竖的叫列,通常用大写英文字母A,B,C，表示. 特殊矩阵
2、 零矩阵:_ ,记为0；二阶单位矩阵_,记为E2.,a,b,c,d,(2)二阶矩阵相等 若 A=B,则_. (3)二阶矩阵与向量的乘积 设 则 =_ .,a1=a2,b1=b2,c1=c2,d1=d2,3.线性变换的基本性质 设A是一个二阶矩阵， 是平面上的任意两个向量，1，2是任意实数.,直线(或一点),判断下面结论是否正确(请在括号中打“”或“”). (1)式子x=2x2+y是线性表达式.( ) (2)二阶矩阵既是一个数,也是一个代数式.( ) (3)如果两个二阶矩阵的元素是一样的,那么这两个矩阵相等.( ) (4)对于旋转变换 ( ) (5)二阶矩阵A与平面向量 的乘积仍然是一个平面向量
3、. ( ),【解析】(1)错误.线性表达式都是关于x,y的一次式,故错误. (2)错误.二阶矩阵仅仅是一个包含两行、两列的数表，它既不 是数，也不是代数式. (3)错误.两个矩阵相等，不但要求元素相同，而且要求元素的 位置一样. (4)正确. 表示顺时针旋转 表示逆时针旋转 两种变换是一个变换.,(5)正确. 二阶矩阵与向量的乘积仍然是向量. 答案:(1) (2) (3) (4) (5),考向1 二阶矩阵与平面向量的乘法 【典例1】已知在一个二阶矩阵M的变换作用下，点A(1,2)变成了点A(4,5)，点B(3，1)变成了点B(5,1) (1)求矩阵M. (2)若在矩阵M的变换作用下，点C(x,
4、0)变成了点C(4，y)，求x，y.,【思路点拨】(1)首先设出矩阵M,再利用二阶矩阵与平面向量的乘法构造方程组，再解方程组求出矩阵M. (2)利用矩阵M与平面向量的乘法列出关于x,y的方程组,解方程组求x,y.,【规范解答】,【互动探究】试求在本例中矩阵M的变换作用下,点P(1,1)变成的点P的坐标. 【解析】由本例解答可知所以P的坐标为(3,3).,【拓展提升】 二阶矩阵与向量乘法应用的三个解题步骤 此类问题一般涉及变换前的坐标,变换后的坐标,变换矩阵三个元素 (1)设:设出所求的量. (2)列:利用二阶矩阵与平面向量的乘法构造方程或方程组. (3)解：解方程或方程组求未知元素. 【提醒】
5、列方程或方程组时,要分清变换前,后的坐标防止代入错误.,【变式备选】,考向2 线性变换前后的曲线方程的求法 【典例2】已知矩阵 把点(1，1)变换成点(2，2)， (1)求a,b的值. (2)求曲线C：x2+y2=1在矩阵A的变换作用下对应的曲线方程. 【思路点拨】(1)利用矩阵与向量的乘法列出关于a,b的方程组,解方程组求出a,b.(2)设出要求曲线的任意点的坐标及变换前的对应点坐标,利用代入法求曲线的方程.,【规范解答】(2)设曲线C上任一点M(x0,y0)在矩阵A的变换作用下为点 M(x,y).,M在曲线C上 故所求曲线方程为,【拓展提升】 线性变换前后的曲线方程的求法 (1)已知变换前
6、的曲线方程、变换矩阵，求变换后的曲线方程： 由线性变换 代入变换前的方 程，即可得到关于x,y的方程，即为所求.,(2)已知变换后的曲线方程、变换矩阵，求变换前的曲线的方 程：将线性变换 直接代入到变换后的曲线方 程，整理得到关于x,y的方程，即为所求. (3)求变换前或后曲线方程的共同特点是将坐标代入已知的曲 线方程，求未知的曲线的方程，其实质是代入法求曲线方程. 【提醒】在利用线性变换代入求曲线方程的过程中要分清坐标是变换前的，还是变换后的，避免代入时出现错误.,【变式训练】二阶矩阵M对应的变换将点(1，1)与(2，1)分别变换成点(1，1)与(0，2) (1)求矩阵M. (2)设直线l在
7、变换M作用下得到了直线m：xy4，求l的方程,(2)任取直线l上一点P(x，y)经矩阵M变换后为点P(x，y)所以直线l的方程为(x+2y)(3x+4y)=4， 即x+y+2=0,考向3 变换矩阵的求法 【典例3】已知圆x2+y2=1在矩阵 对应的变换作用下变为椭圆 求矩阵A. 【思路点拨】利用线性变换表示出x,y，代入到变换后的椭圆方程，可得到变换前的圆的方程，再利用此方程与已知方程相等求a,b的值.,【规范解答】设P(x,y)为圆上的任意一点，在矩阵A对应的变换作用下变为另一个点P(x,y),又点P(x,y)在椭圆由已知条件可知，x2+y2=1, 所以a2=9,b2=4. 因为a0,b0,
8、所以a=3,b=2，即,【拓展提升】 求系数的一般思路 对于同一条曲线，在同一个坐标系中，其曲线的方程只能有一种形式，如果利用不同的方法求出两个曲线方程，则这两个曲线方程就是相同的，即两个曲线方程的对应系数相等.利用这个关系可以列出方程组，求相应的系数的值.,【变式训练】已知a，bR，若 所对应的变换TM把直线l：3x2y1变换为自身，试求实数a，b的值 【解析】在直线l上任取一点P(x，y)，设点P在TM的变换下变为点P(x，y)，所以点P(xay，bx3y).,点P在直线l上， 3(xay)2(bx3y)1， 即(32b)x(3a6)y1， 方程(32b)x(3a6)y 1即为直线l的方程3x2y1，,
