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1、创新问题专项训练(一) 一、选择题 1.如图，直线 l 和圆 C，当 l 从 l0开始在平面上绕点 O 按逆时针方向 匀速转动(转动角度不超过 90)时，它扫过的圆内阴影部分的面积 S 是时 间 t 的函数，这个函数的图象大致是( ) 解析：选 D 依题意，直线 l 从 l0开始按逆时针方向匀速转动，开始一段时间阴影部 分的面积增加的比较慢，中间一段时间阴影部分的面积增加的比较快，最后一段时间阴影 部分的面积增加的又比较慢，因此结合各选项知，选 D. 2已知两个非零向量 a 与 b，定义|ab|a|b|sin ，其中 为 a 与 b 的夹角若 a(3,4)，b(0,2)，则|ab|的值为( )
2、 A8 B6 C8 D6 解析：选 D |a|5，|b|2，ab30428，所以 3242 0222 cos ，又因为 0，所以 sin .故根 ab |a|b| 8 5 2 4 51cos2 1(4 5)2 3 5 据定义可知|ab|a|b|sin 52 6. 3 5 3设实数 a1，a2，a3，a4是一个等差数列，且满足 14；(4)b432；(5) b2b4256.其中真命题的个数为( ) A2 B.3 C4 D5 解析：选 C 若an是公差为 d 的等差数列，则2an是公比为 2d的等比数列，故(1)正 确；a3a1公差 d0公比 2d1，(2)正确；a1a32a2，由 15a22b2
3、2a24，(3)正确；10，0，x 0，令 1 x 1 x2 1 x 1 x 1 x 1 x2 1 x2 1 x y0，则 1ln x0，所以 00，a1)的图象经过第三象限的概率是_ 解析：(b，a)的所有可能情况有：，(1,3)，(1,4)； (1， 1 3) (1， 1 4) ，(1,3)，(1,4)；，(2,3)，(2,4)；，(2,3)，(2,4)， (1， 1 3) (1， 1 4) (2， 1 3) (2， 1 4) (2， 1 3) (2， 1 4) 共 16 种由于函数 f(x)的图象经过第三象限，因此，01，b0，因此满 足条件的(b，a)有：(1,3)，(1,4)，(2，
4、 )，(2， )，(2,3)，(2,4)，共 6 种根 1 3 1 4 据古典概型的概率计算公式可得 P . 6 16 3 8 答案： 3 8 8.一个平面图由若干顶点与边组成，各顶点用一串从 1 开始的连续 自然数进行编号，记各边的编号为它的两个端点的编号差的绝对值， 若各条边的编号正好也是一串从 1 开始的连续自然数，则称这样的图 形为“优美图” 已知如图是“优美图” ，则点 A，B 与边 a 所对应的三 个数分别为_ 解析：观察图中编号为 4 的边，由于 62514，而数字 2 已为一端点的编号， 故编号为 4 的边的左、右两端点应为 5、1，从而易知编号为 1 的边的左、右两端点应为
5、4、3.考虑到图中编号为 1 的边，易知点 A 对应的数为 3，点 B 对应的数为 6.故应填 3、6、3. 答案：3、6、3 9已知数列an：a1，a2，a3，an，如果数列bn：b1，b2，b3，bn满足 b1an，bkak1akbk1，其中 k2,3，n，则称bn为an的“衍生数列” 若数列 an：a1，a2，a3，a4的“衍生数列”是 5，2,7,2，则an为_；若 n 为偶数，且 an的“衍生数列”是bn，则bn的“衍生数列”是_ 解析：由 b1an，bkak1akbk1，k2,3，n 可得，a45,2a3a47，解 得 a34.又 7a2a3(2)，解得 a21.由2a1a25，解
6、得 a12，所以数列an为 2,1,4,5. 由已知，b1a1(a1an)，b2a1a2b1a2(a1an)，. 因为 n 是偶数，所以 bnan(1)n(a1an)a1.设bn的“衍生数列”为cn，则 cibi(1)i(b1bn)ai(1)i(a1an)(1)i(b1bn)ai(1)i(a1an)(1)i(ana1) ai，其中 i1,2,3，n.则bn的“衍生数列”是an 答案：2,1,4,5 an 三、解答题 10设数列an的各项均为正数若对任意的 nN，存在 kN，使得 aanan2k成立，则称数列an为“Jk型”数列 2nk (1)若数列an是“J2型”数列，且 a28，a81，求
7、a2n； (2)若数列an既是“J3型”数列，又是“J4型”数列，证明：数列an是等比数列 解：(1)由题意得 a2，a4，a6，a8，成等比数列，且公比 q() ， a8 a2 1 3 1 2 所以 a2na2qn1( )n4. 1 2 (2)由数列an是“J4型”数列，得 a1，a5，a9，a13，a17，a21，成等比数列，设公比为 t. 由数列an是“J3型”数列，得 a1，a4，a7，a10，a13，成等比数列，设公比为 1； a2，a5，a8，a11，a14，成等比数列，设公比为 2； a3，a6，a9，a12，a15，成等比数列，设公比为 3. 则 t3， t3， t3. a13
8、 a14 1 a17 a54 2 a21 a94 3 所以 123，不妨记 123，且 t. 4 3 于是 a3k2a1k1a1()(3k2)1， 3 a3k1a5k2a1tk2a1a1()(3k1)1， 2 -3k 3 a3ka9k3a1t2k3a1a1()3k1， 1 -3k 3 所以 ana1()n1，故an为等比数列 3 11春节前，有超过 20 万名广西，四川等省籍的外来务工人员选择驾乘摩托车沿 321 国道长途跋涉返乡过年，为防止摩托车驾驶人员因长途疲劳驾驶，手脚僵硬影响驾驶操作 而引发交通事故，肇庆市公安交警部门在 321 国道沿线设立了多个长途行驶摩托车驾驶人 员休息站，让过往
9、返乡过年的摩托车驾驶人员有一个停车休息的场所交警小李在某休息 站连续 5 天对进站休息的驾驶人员每隔 50 辆摩托车就进行省籍询问一次，询问结果如图所 示 (1)问交警小李对进站休息的驾驶人员的省籍询问采用的是什么抽样方法； (2)用分层抽样的方法对被询问了省籍的驾驶人员进行抽样，若广西籍的被抽取了 5 名， 则四川籍的应抽取几名？ (3)在上述抽出的驾驶人员中任取 2 名，求至少有 1 名驾驶人员是广西籍的概率 解：(1)交警小李对进站休息的驾驶人员的省籍询问采用的是系统抽样方法 (2)从图中可知，被询问了省籍的驾驶人员是广西籍的有 520252030100 名， 四川籍的有 1510555
10、40 名 设四川籍的驾驶人员应抽取 x 名，依题意得，解得 x2，即四川籍的应抽取 5 100 x 40 2 名 (3)用 a1，a2，a3，a4，a5表示被抽取的广西籍驾驶人员，b1，b2表示被抽取的四川籍 驾驶人员，则所有可能结果共有a1，a2，a1，a3，a1，a4，a1，a5，a1，b1， a1，b2，a2，a3，a2，a4，a2，a5，a2，b1，a2，b2，a3，a4，a3，a5， a3，b1，a3，b2，a4，a5，a4，b1，a4，b2，a5，b1，a5，b2，b1，b2，共 21 个， 其中 2 名驾驶人员都是四川籍的结果有b1，b2,1 个 所以抽取的 2 名驾驶人员都是四川籍的概率 P1， 1 21 至少有 1 名驾驶人员是广西籍的概率 P1P11. 1 21 20 21
