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1、创新问题专项训练(二) 一、选择题 1用 C(A)表示非空集合 A 中的元素个数，定义 A*BError!Error!若 Ax|x2ax10，aR，Bx|x2bx1|1，bR，设 Sb|A*B1，则 C(S)等 于( ) A4 B3 C2 D1 解析：选 B 显然集合 A 的元素个数为 2，根据 A*B1 可知，集合 B 的元素个数为 1 或 3，即方程|x2bx1|1 有 1 个根或有 3 个根结合函数 y|x2bx1|的图象可得， b0 或1，即 b0 或 b2. 4b2 42 2已知集合 A(x，y)|x2|y3|1，集合 B(x，y) |x2y2DxEyF0，D2E24F0，若集合 A
2、，B 恒满足“AB” ，则集合 B 中的点 所形成的几何图形面积的最小值是( ) A. B. 2 2 C. D 1 22 解析：选 B 集合 A 可以看作是由区域(x，y)|x|y|1向右平移 2 个单位长度、向上 平移 3 个单位长度得到的，这是一个边长为的正方形区域，集合 B 是一个圆形区域，如 2 果 AB 且集合 B 中的点形成的几何图形的面积最小，则圆 x2y2DxEyF0 是 |x2|y3|1 所表示正方形的外接圆，其面积是 12. 3已知数组(x1，y1)，(x2，y2)，(x10，y10)满足线性回归方程 ybxa，则“(x0，y0)满 足线性回归方程 ybxa”是“x0，y0
3、”的( ) x1x2 x10 10 y1y2y10 10 A充分而不必要条件 B必要而不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件 解析：选 B 由于线性回归方程恒过样本点的中心( ， )，则由 xy “x0，y0”一定能推出“(x0，y0)满足线性回归方程 x1x2x10 10 y1y2y10 10 ybxa” ，反之不一定成立 4给出定义：若函数 f(x)在 D 上可导，即 f(x)存在，且导函数 f(x)在 D 上也可导， 则称 f(x)在 D 上存在二阶导函数，记 f(x)(f(x)，若 f(x)0. 2 5定义：若函数 f(x)的图象经过变换 T 后所得图象对应函数的值域与 f(x
4、)的值域相同， 则称变换 T 是 f(x)的同值变换下面给出四个函数及其对应的变换 T，其中 T 不属于 f(x)的 同值变换的是( ) Af(x)(x1)2，T 将函数 f(x)的图象关于 y 轴对称 Bf(x)2x11，T 将函数 f(x)的图象关于 x 轴对称 Cf(x)2x3，T 将函数 f(x)的图象关于点(1,1)对称 Df(x)sin(x )，T 将函数 f(x)的图象关于点(1,0)对称 3 解析：选 B 选项 B 中，f(x)2x11 的值域为(1，)，将函数 f(x)的图象关于 x 轴对称变换后所得函数的值域为(，1)，值域改变，不属于同值变换经验证，其他选 项正确 二、填
5、空题 6对于非空实数集 A，记 A*y|任意 xA，yx设非空实数集合 M，P，满足 MP.给出以下结论： P*M*；M*P；MP*. 其中正确的结论是_(写出所有正确结论的序号) 解析：对于，由 MP 得知，集合 M 中的最大元素 m 必不超过集合 P 中的最大元素 p，依题意有 P*y|yp，M*y|ym，又 mp，因此有 P*M*，正确；对于， 取 MPy|y0，即函数 f(x)在(0，) 1 x 2 x2 上单调递增由 f(2)ln 210，知 x0(2，e)，x02. 2 e 答案：2 8某同学为研究函数 f(x)(0x1)的性质，构造了如图所示的 1x211x2 两个边长为 1 的
6、正方形 ABCD 和 BEFC，点 P 是边 BC 上的一个动点，设 CPx，则 APPFf(x) 请你参考这些信息，推知函数 f(x)的极值点是_；函数 f(x)的值域是_ 解析：显然当点 P 为线段 BC 的中点时，A，P，F 三点共线，此时 APPF，且函数 f(x)取 得最小值，函数 f(x)的图象的对称轴为 x ；当 x0， 时，函数 f(x)单调递减，且值域 5 1 2 1 2 为，1；当 x ，1时，函数 f(x)单调递增，且值域为，1，函数 f(x)的值 52 1 252 域为，1 52 答案：x ，1 1 252 9.(1)如图，矩形 ABCD 的三个顶点 A，B，C 分别在
7、函数 ylog x，yx，y()x的图象上，且矩形的边分别平行于两坐标轴若点 A 的纵坐标为 2， 2 2 1 2 2 2 则点 D 的坐标为_ (2)若存在实常数 k 和 b，使得函数 f(x)和 g(x)对其定义域上的任意实数 x 分别满足：f(x) kxb 和 g(x)kxb，则称直线 l：ykxb 为 f(x)和 g(x)的“隔离直线” 已知 h(x) x2，(x)2eln x(其中 e 为自然对数的底数)，根据你的数学知识，推断 h(x)与 (x)间的隔 离直线方程为_ 解析：(1)由 A 点的纵坐标为 2，得点 A 的横坐标是 2 ，由矩形的边平行于坐标轴， ( 2 2) 1 2
8、得 B 点的纵坐标是 2，从而横坐标是 224，所以 C 点的横坐标是 4，纵坐标是()4 ，所 2 2 1 4 以点 D 的横坐标等于 A 点的横坐标 ，点 D 的纵坐标等于 C 点的纵坐标 ，即 D 点的坐标是 1 2 1 4 ( ， ) 1 2 1 4 (2)容易观察到 h(x)和 (x)有公共点(，e)，又(x)20，即 x22xe，所以猜想 eee h(x)和 (x)间的隔离直线为 y2xe，下面只需证明 2eln x2xe 恒成立即可，构造函 ee 数 (x)2eln x2xe.由于 (x)(x0)，即函数 (x)在区间(0，)上递增， e 2 e ex xe 在(，)上递减，故
9、(x)()0，即 2eln x2xe0，得 2eln x2xe.故猜想 eeee 成立，所以两函数间的隔离直线方程为 y2xe. e 答案：(1)( ， ) 1 2 1 4 (2)y2xe e 三、解答题 10已知二次函数 f(x)ax2bxc 和 g(x)ax2bxcln x(abc0) (1)证明：当 a0 对于一切 x0 恒成立， c x 2ax2bxc x 从而必有 2ax2bxc0 对于一切 x0 恒成立 又 a0 对于一切 x0 恒成立是不可能的 因此当 a0)， 不妨设 x2x10， 则 k gx1gx2 x1x2 ax2 1x2 2bx1x2clnx1 x2 x1x2 2ax0
10、b. clnx1 x2 x1x2 又 g(x0)2ax0b， c x0 若 g(x)为“K 函数” ，则必满足 kg(x0)， 即有 2ax0b2ax0b， clnx1 x2 x1x2 c x0 也即(c0)，所以. cln x1 x2 x1x2 2c x1x2 ln x1 x2 x1x2 2 x1x2 设 t，则 00， 2t1 1t t12 t1t2 所以 s(t)在 t(0,1)上为增函数，s(t)s(1)0，故 ln t. 2t1 1t 与矛盾，因此，函数 g(x)ax2bxcln x(abc0)不是“K 函数” 11.如图，两个圆形飞轮通过皮带传动，大飞轮 O1的半径为 2r(r 为
11、常数)，小飞轮 O2的半径为 r，O1O24r.在大飞轮的边缘上 有两个点 A，B，满足BO1A ，在小飞轮的边缘上有点 C.设大 3 飞轮逆时针旋转，传动开始时，点 B，C 在水平直线 O1O2上 (1)求点 A 到达最高点时 A，C 间的距离； (2)求点 B，C 在传动过程中高度差的最大值 解：(1)以 O1为坐标系的原点，O1O2所在直线为 x 轴，建立 如图所示的直角坐标系当点 A 到达最高点时，点 A 绕 O1转过 ， 6 则点 C 绕 O2转过 . 3 此时 A(0,2r)，C( r，r) 9 2 3 2 AC r. 9 2r22r 3 2 r2 252 3 (2)由题意，设大飞
12、轮转过的角度为 ， 则小飞轮转过的角度为 2，其中 0,2 此时 B(2rcos ，2rsin )，C(4rrcos 2，rsin 2) 记点 B，C 的高度差为 d，则 d|2rsin rsin 2|， 即 d2r|sin sin cos |. 设 f()sin sin cos ，0,2， 则 f()(1cos )(2cos 1) 令 f()(1cos )(2cos 1)0，得 cos 或 1，则 ， ，0 或 2. 1 2 2 3 4 3 f()和 f()随 的变化情况如下表： 0 (0， 2 3) 2 3 ( 2 3 ，4 3) 4 3 ( 4 3 ，2)2 f() 0 0 f()0 极大值 f( 2 3) 极小值 f ( 4 3) 0 当 时，f()取得极大值；当 时，f()取得极小值. 2 3 3 3 4 4 3 3 3 4 综上所述，点 B，C 在传动过程中高度差的最大值 dmaxr. 3 3 2
