离散傅立叶变换ppt培训课件

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1、第三章 离散傅里叶变换(DFT),2,本章目录,引言,离散傅里叶变换（DFT）的定义,离散傅里叶变换的基本性质,频率域采样,Matlab实现,离散傅里叶变换（DFT)的应用,3,3.1 引言,各种形式的傅里叶变换 CTFT: 时域连续，频域连续 CFS: 时域连续，频域离散 DTFT: 时域离散，频域连续 DFS: 时域离散，频域离散,4,各种形式的傅里叶变换示意图,5,傅里叶变换的一般规律,如果信号在时域是离散的，则该信号在频域必然表现为周期性的延拓。 相反，频域是离散的，则该信号在时域就表现为周期性的延拓。 时域离散且周期的序列，由于它时域离散，其频谱必是周期延拓的，又由于时域是周期的，相

2、应的频谱必是离散的，因此其频谱既是周期又离散。 得出一般的规律：一个域的离散就必然造成另一个域的周期延拓。,6,离散傅里叶变换的导出,由于数字计算机只能计算有限长离散的序列，因此有限长序列在数字信号处理中就显得很重要。 任一有限长序列频域连续，使得无法利用计算机直接进行频域数字计算，因此频域需要离散化。,DFT,7,3.2 离散傅里叶变换DFT,离散傅里叶变换的定义 DFT和z变换、DTFT的关系 DFT的隐含周期性(和DFS的关系）,8,3.2.1 序列与周期延拓序列,任何周期为N的周期序列 都可以看作长度为N的有限长序列x(n)的周期延拓序列，而x(n)则是 的一个周期.,9,运算符(n)

3、N,例如，N=8， ，则有,x(7),如果,n = n1 + MN ，0n1N-1，M为整数,2、表示n对N求余数,1、表示序列以N为周期延拓,10,3.2.2 主值区间，主值序列,主值区间：,通常把 的第一个周期n=0到N-1定义为“主值区间”,主值序列：,把x(n)称为 的“主值序列”,11,3.2.3 DFT的导出,对 和 分别取一个周期，刚好对应 和 ，而 刚好为一个有限长序列，从而得到其离散的频域 。,时域离散、频域离散,12,3.2.4 离散傅里叶变换的定义,离散傅里叶正变换(DFT)定义,0kN -1,0nN -1,x(n)长度为M,离散傅里叶反变换(IDFT)定义,条件：NM

4、?,13,设有限长序列为x(n)=R4(n)，求x(n) 的傅里叶变换(DTFT)，以及4点、8点、16点DFT。,解：（1）x(n)的傅里叶变换,例3.2.1,14,（3）x(n)的8点DFT（N8）,k=0，1，7,（4）x(n)的16点DFT（N16）,k=0，1，15,（2）x(n)的4点DFT（N4）,15,例3.2.1 的图形显示,DFT实现了频域离散化。 DFT与N有关，N越大（对原序列尾部补零） ，对X(ejw)采样的点数越多，越接近原连续信号的谱。,N4,N8,N16,16,3.2.5 DFT和Z变换、序列的傅里叶变换的关系,设序列x(n)的长度为N，其Z变换、DFT和傅里叶

5、变换分别为,0k N-1,17,三种变换的关系,0k N-1,0k N-1,比较三式可得,18,DFT和Z变换的关系,0k N-1,单位圆上的8个等间隔取样点示意图,N8,序列x(n)的N点DFT相当于是在x(n)的z变换的单位圆上进行N点等间隔取样，同时第一个取样点取在z= 1处。,19,DFT和DTFT的关系,物理意义：X(k)是x(n)的傅里叶变换X(ej)在区间0，2上的N点等间隔取样。,0k N-1,20,3.2.6 DFT的隐含周期性（和DFS的关系）,DFT变换对，虽然在形式上是N点序列的时频变换，但它蕴含着首先把N点的信号作周期延拓然后进行DFS，最后从DFS中各取主值。,DF

6、S:,DFT:,21,3.3 离散傅里叶变换的基本性质,线性性质 循环移位性质 循环卷积定理 复共轭序列的DFT DFT的共轭对称性,22,3.3.1 线性性质,设x1(n)和x2(n) 长度分别为N1和N2，且,取N = maxN1，N2，则y(n)的N点DFT为,0k N1,注意：如果N1和N2不相等，则以N为DFT变换长度时，其中相对较短的序列就通过补零增加到长度为N。,23,3.3.2 循环移位性质,序列的循环移位,设x(n)长度为N，则x(n)的循环移位定义：,循环,移位,取主值,特点：从左移出， 从右移入,见书P80,24,设x(n)是长度为N的有限长序列，y(n)为x(n)的循环

7、移位，即：,则,其中， 0k N1，,时域循环移位定理,有限长序列的循环移位导致频谱线性相移，而对频谱幅度无影响。,25,时域循环移位定理证明,证明,令n+m=n，则有,26,频域循环移位定理,频域循环移位定理,如果：,时域序列的调制等效于频域的循环移位,则：,27,3.3.3 循环卷积定理,序列N点循环卷积,x (n)和h(n)的长度分别为N1和N2，N=maxN1, N2。,N,N,N,28,循环卷积过程,对序列x(m)：x(0),x(1),x(N-1）先循环再反褶再移位，取主值，得到其循环倒相序列x(n-m)NRN(n)n=0时：x(0),x(N-1),x(N-2),x(2),x(1)n

8、=1时： x(1) x(0),x(N-1),x(N-2),x(2)得到循环卷积矩阵，见书P82式3.2.6再和h(m)相乘求和,图示说明,29,序列循环卷积结果：,序列x(n)的N点循环卷积矩阵,见书P82例3.2.1,30,时域循环卷积定理,x1(n)和x2(n)的长度分别为N1和N2，N=maxN1, N2。,则： X(k)= X1(k) X2(k),时域作循环卷积 频域作乘法,若：,31,循环卷积定理证明,证明,令nm=n,32,频域循环卷积定理,则,N,N,时域作乘法 频域作循环卷积,33,3.3.4 复共轭序列的DFT,复共轭序列的DFT,设x*(n)是x(n)的复共轭序列，长度为N

9、，,0kN-1,则,且,34,复共轭序列的DFT的证明,证明：,35,任意序列可表示为：,3.3.5 DFT的共轭对称性,1.任意序列的共轭对称分量与共轭反对称分量,特点:关于原点对称,36,2.有限长序列的共轭对称和共轭反对称分量,共轭反对称序列：,共轭对称序列：,关于N/2对称,37,3.有限长序列的分解,任意有限长序列：,其中：,38,3.有限长序列的分解,同样有：,39,4.有限长序列共轭对称性1,其中:,时域作实、虚部分解，频域作共轭对称、反对称分解,40,4.有限长序列共轭对称性2,其中:,时域作共轭对称、反对称分解，频域作实、虚部分解,41,5.实序列共轭对称性,即：,当N为偶数

10、时，只需计算N/2+1个点 当N为奇数时，只需计算（N1)/2个点,减少运算量， 提高运算效率,42,实序列共轭对称性的应用,例：设x1(n)和x2(n)都是N点的实数序列，试用一次 N点DFT运算来计算它们各自的DFT。,1、,4、,3、,2、,一次N点DFT,43,3.3.6 DFT形式下的Parseval定理,44,3.4 频域抽样理论,频域抽样指对序列的傅里叶变换X(ej)进行抽样。 对有限长序列而言，由DFT的讨论可知，DFT是在频域内对序列傅里叶变换X(ej)的等间隔取样，即实现了频域抽样。,45,要解决的问题：,时域抽样定理：在满足奈奎斯特定理条件下，时域抽样信号可以不失真地还原

11、原连续信号。,频域抽样呢？X(K)能恢复X(ejw) 吗？抽样条件？内插公式？,46,3.4.1 频域取样,设任意序列x(n)存在Z变换，且收敛域包括单位圆,在单位圆上对X(z)进行N点等间隔取样，得到,47,推导：,将X(k)看成是长度为N的有限长序列 的DFT，即,0nN-1,定义,由于,所以,48,代入频率取样值，得,式中，x(m)x(n),由于,所以,推导：,49,的意义,是原序列x(n)以N为周期的周期延拓序列。时域的取样造成频域的周期延拓，频域上的取样，同样也造成时域的周期延拓，这正是傅里叶变换时域和频域之间对称关系的反映。,当序列x(n)的长度为M，当 N M,当频域取样点数NM

12、时,产出 时域混叠,50,频率采样定理,若序列长度为M，则只有当频域采样点数N:时，可由频域采样X(k)不失真地恢复X(ejw)， 否则产生时域混叠现象。,注意：对任意序列作DFT时，作DFT时的条件也是NM,51,3.4.2 X(z)的内插公式,X(z)的内插公式,即用频域取样X(k)表示X(z)的内插公式和内插函数。,长度为N的序列x(n) ，在X(z)单位圆上等间隔取样 N点，得X(k)，则可以从X(k)无失真地恢复X(ejw) ，因而这N个也应该能完全表达整个X(z)函数及频响X(ejw) 。,把x(n)代入X(z),52,X(z)的内插公式,令,内插函数,内插公式,53,用频域采样

13、表示 的内插公式,3.4.3 X(ejw)的内插公式,54,55,3.5 离散傅里叶变换的应用,用DFT计算线性卷积 用DFT对连续信号进行谱分析 用DFT对离散序列进行谱分析,56,3.5.1 用DFT计算线性卷积,设x1(n)和x2(n)都是长度为L的有限长因果序列，它们的循环卷积的计算方法为：,0kL-1,L,L,57,用DFT计算循环卷积方框图,用L点DFT计算循环卷积方框图,* 在时域和频域都可以计算循环卷积，但是当L很大时，在频域的计算速度要快得多，因而常用DFT计算循环卷积。,L点,L点,58,线性卷积计算？,DFT只能直接计算循环卷积，不能直接计算线性卷积，那么线性卷积怎么算？

14、,用循环卷积计算线性卷积!,线性卷积可以从时域算，但是频域是连续的，计算机无法直接计算？,59,两卷积相等条件的推导,假设h(n)长度为N，x(n)长度为M，则线性卷积为,循环卷积为,其中，LmaxN，M，,L,60,由上可得,因此,61,意义,yc(n)是yl(n)以L为周期的周期延拓序列的主值序列。,讨论： 由于卷积yl(n)的长度为N+M-1，因此当循环卷积的长度LN+M-1时，以L为周期的周期延拓才不会出现时域混叠现象，此时取主值序列显然满足yc(n)yl(n) 。,因此：两个长度分别为N 和M 的序列，其线性卷积可用长度为L的循环卷积来代替，但必须满足条件LN+M-1,62,循环卷积

15、与线性卷积相等的条件,条件：两个长度分别为N和M的序列，其线性卷积可用长度为L的循环卷积来代替，但必满足条件LN+M-1,63,用DFT计算线性卷积方框图,条件 LN+M-1,用DFT计算线性卷积方框图,64,当N和M相差很大时,当N和M相差很大时，短序列需要补充很多的零点，使得L很大，要求的存储容量大，运算时间长，很难实现实时处理，特别是序列长度不定或者认为是无限长时，实时处理几乎行不通，此时，需要用其他的方法来处理，通常采取将长序列分段的方法计算。具体有重叠相加法和重叠保留法。（自学）,65,3.5.2 用DFT对连续信号进行谱分析,连续时间信号的频谱分析, 即求其傅里叶变换：,借助计算机

16、分析其频谱时，需要在时域和频域离散化。,解析解,66,原连续信号频谱与对应序列频谱的关系：,0k N-1,连续信号谱采样信号谱序列的连续谱序列离散谱,68,近似谱分析,xa(t):持续时间有限长，Xa(j)：频谱无限宽 xa(t):持续时间无限长，Xa(j)：频谱有限宽,问题：DFT时域有限长，频域有限长,时域无限的信号：截断处理 频域无限的信号：先低通滤波，滤除高于折叠频率的部分,处理办法：,无法精确分析！,69,一、DFT作谱分析时的过程,对连续时间非周期信号的DFT逼近过程1）时域抽样2）时域截断3）频域抽样,70,二、用DFT计算信号频谱原理,时域抽样,71,用DFT计算信号频谱原理,