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1、数学第三册（选修I）,第二章导数,导数的应用,平潭一中 任荣,复习,1 、 某点处导数的定义,这一点处的导数即为这一点处切线的斜率,2 、 某点处导数的几何意义,3 、 导函数的定义,4、由定义求导数的步骤（三步法）,5、 求导的公式与法则,如果函数 f(x)、g(x) 有导数，那么,6、 求导的方法,定义法,公式法,练习：,1、求下列函数的导数,（1）y=（x2-3x+2）（x4+x2-1） （2）y=（x/2+t）2,2、设f（x）=ax3-bx2+cx，且f （0）=0，f （1）=1，f （2）=8，求a、b、c,3、抛物线f（x）=x2-2x+4在哪一点处的切线平行于x轴？在哪一处的
2、切线与x轴的交角为450？,1、确定函数f(x)=x24x+3在哪个区间内是增函数?哪个区间内是减函数?,引例,在（-，2）上是减函数；,在（2，+）上是增函数。,2、确定函数f(x)=2x36x2+7在哪个区间内是增函数?哪个区间内是减函数?,引例,用定义法判断函数单调性的步骤：,（1）在给定的区间内任取x10，那么y=f(x)为这个区间内的增函数；如果在这个区间内y0,增函数,y0，则f(x)仍为增函数(减函数的情况完全类似),例如: 函数f(x)=x3在(-,+)内,当x=0时, f(x)=0, 当x0时, f(x)=3x20, y=f(x)在(-,+)内为增函数,在函数y=f(x)比较
3、复杂的情况下，比较f(x1)与f(x2)的大小和作图并不很容易.如果利用导数来判断函数的单调性就比较简单.,知识提炼,导数的应用,用导数研究函数的单调性,一般地,设函数y=f(x)在某个区间内可导, 如果在这个区间内f(x)0, 则f(x)为这个区间内的增函数; 如果在这个区间内f(x)0,得函数单增区间;解不等式f(x)0，求得其解集，再根据解集写出单调递增区间 （3）求解不等式f(x)0, 则f(x)为增函数; 如果f(x)0, 则f(x)为减函数。 2.本节课中,用导数去研究函数的 单调性是中心,能灵活应用导数解 题是目的,另外应注意数形结合在 解题中应用。 3.掌握研究数学问题的一般方
4、法： 从特殊到一般；从简单到复杂。,课堂总结,1：能不能画出该函数的草图？,思考题,函数f(x)=2x36x2+7,作业布置,课堂作业：课本p42习题2.4 1,2,课外作业：,已知函数 f(x)=2x3-6x2+7 (1)求f(x)的单调区间,并画出其图象;,函数的极值与导数,【复习与思考】,(2)函数f(x)在x=0和x=2处的函数值与这两点附近的函数值有什么关系?,设函数y=f(x)在x=x0及其附近有定义， (1)如果在x=x0处的函数值比它附近所有各点的函数值都大，即f(x)f(x0),则称 f(x0)是函数 y=f(x)的一个极小值.记作:y极小值=f(x0),极大值与极小值统称为
5、极值,x0叫做函数的极值点.,观察上述图象,试指出该函数的极值点与极值,并说出哪些是极大值点,哪些是极小值点.,(1)极值是一个局部概念,反映了函数在某一点附近的大小情况;,(2)极值点是自变量的值，极值指的是函数值;,(3)函数的极大(小)值可能不止一个,而且函数的极大值未必大于极小值;,【关于极值概念的几点说明】,(4)函数的极值点一定在区间的内部，区间的端点不能成为极值点。而函数的最值既可能在区间的内部取得，也可能在区间的端点取得。,【问题探究】,函数y=f(x)在极值点的导数值为多少?在极值点附近的导数符号有什么规律?,(1)如果f /(x0)=0, 并且在x0附近的左侧 f /(x0
6、)0 右侧f /(x0)0, 那么f(x0)是极大值,【函数的极值与导数的关系】,(2)如果f /(x0)=0, 并且在x0附近的左侧 f /(x0)0, 那么f(x0)是极小值,(1) 求导函数f (x)；(2) 求解方程f (x)=0；(3) 检查f (x)在方程f (x)=0的根的左右的符号，并根据符号确定极大值与极小值.,口诀：左负右正为极小，左正右负为极大。,用导数法求解函数极值的步骤：,例题: 求函数 的极值.,【课堂练习】课本P42,例2:求函数 的极值.,【思考交流】,导数值为0的点一定是函数的极值点吗?,对于可导函数而言,其极值点一定是导数为0的点,反之导数为0的点不一定是函
7、数的极值点.因此:导数值为0的点是该点为极值点的必要非充分条件.,一、复习： 1、 ；2、 3、求y=x327x的 极值。,导数的应用之三、求函数最值.,在某些问题中，往往关心的是函数在整个定义域区间上，哪个值最大或最小的问题，这就是我们通常所说的最值问题.,(2)将y=f(x)的各极值与f(a)、f(b)比较，其中最大的一个为最大值，最小的一个最小值,求f(x)在闭区间a,b上的最值的步骤：,(1)求f(x)在区间(a,b)内极值(极大值或极小值),表格法,发现图中_是极小值，_是极大值，在区间上的函数的最大值是_，最小值是_,一是利用函数性质,二是利用不等式 三是利用导数,注：,求函数最值
8、的一般方法：,在区间 上求函数 的最大值与最小值 的步骤： 1、函数 在内有导数 ； 2、求函数 在内的极值 3、将函数在内的极值与比较，其中最大的一个为最大值 ，最小的一个为最小值,例1、求函数f(x)=x2-4x+6在区间1，5内的最大值和最小值,法一 、 将二次函数f(x)=x2-4x+6配方，利用二次函数单调性处理,例1、求函数f(x)=x2-4x+6在区间1，5内的极值与最值,故函数f(x) 在区间1，5内的极小值为3， 最大值为11，最小值为2,法二、,解、 f (x)=2x-4,令f (x)=0，即2x-4=0，,得x=2,-,+,3,11,2,课本练习,例1、求 函数在区间 上
9、的最大值与最小值。,解：先求导数得， 令 0即 解得 导数 的正负以及 ，如下表,从上表知，当 时，函数有最大值13，当 时，函数有最小值4,在日常生活中，常常会遇到什么条件下可以使材料最省，时间最少，效率最高等问题，这往往可以归结为求函数的最大值或最小值问题。,例2 用边长为60CM的正方形铁皮做一个无盖的水箱，先在四个角分别截去一个小正方形，然后把四边翻转90角，再焊接而成，问水箱底边的长取多少时，水箱容积最大，最大容积是多少？,例3、已知某商品生产成本C与产量P的函数关系为C1004P，价格R与产量P的函数关系为R250.125P，求产量P为何值时，利润L最大。,四、小结： 1、闭区间上
10、的连续函数一定有最值；开区间内的可导函数不一定有最值，若有唯一的极值，则此极值必是函数的最值。 2、函数在其定义区间上的最大值、最小值最多各有一个，而函数的极值可能不止一个，也可能没有一个。 3、在解决实际应用问题中，关键在于建立数学模型和目标函数；如果函数在区间内只有一个极值点，那么根据实际意义判断是最大值还是最小值即可，不必再与端点的函数值进行比较。,思考、已知函数f(x)=x2-2(m-1)x+4在区间1,5内的最小值为2，求m的值,导数,导数的定义,求导公式与法则,导数的应用,导数的几何意义,多项式函数的导数,函数单调性,函数的极值,函数的最值,基本练习,1、曲线y=x4-2x3+3x在点P(-1，0)处的切线的斜率为( )(A) 5 (B) 6 (C) 7 (D) 8,2、函数y=x100+2x50+4x25的导数为( ) y=100(x99+x49+x24) (B) y=100x99 (C) y=100x99+50x49+25x24 (D) y=100x99+2x49,
