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1、1第第 3 3 章章 数系的扩充与复数的引入数系的扩充与复数的引入学习目标 1.掌握复数的代数表示形式及其有关概念.2.掌握复数的模的概念及其计算公式，会用复数模的几何意义解题.3.理解复数加减法的几何意义，并能进行复数的加减乘除运算知识点一 复数的有关概念1定义：形如abi(a，bR R)的数叫做复数，其中a叫做_，b叫做_(i为虚数单位)2分类：满足条件(a，b为实数)abi 为实数_abi 为虚数_复数的分类abi 为纯虚数_3.复数相等：abicdi_(a，b，c，dR R)4共轭复数：abi 与cdi 共轭_(a，b，c，dR R)5模：向量的模叫做复数zabi 的模，记作_或_，即
2、OZ|z|abi|_(a，bR R)知识点二 复数的几何意义复数zabi 与复平面内的点_及平面向量(a，b)(a，bR R)是一一对应OZ关系知识点三 复数的运算1运算法则：设z1abi，z2cdi，a，b，c，dR R2几何意义：复数加减法可按向量的平行四边形法则或三角形法则进行2如图给出的平行四边形OZ1ZZ2可以直观地反映出复数加减法的几何意义，即_，_.OZZ1Z2类型一 分类讨论思想的应用例 1 实数k为何值时，复数(1i)k2(35i)k2(23i)满足下列条件？(1)是实数；(2)是虚数；(3)是纯虚数反思与感悟 往往以复数分类为载体考查分类讨论思想，复数zabi(a，bR R
3、)Error!其中纯虚数中“b0”这个条件易被忽略，学习中应引起足够的注意跟踪训练 1 (1)设 i 是虚数单位，复数为纯虚数，则实数a为_1ai 2i(2)若复数(a2a2)(|a1|1)i(aR R)不是纯虚数，则_类型二 复数的四则运算例 2 (1)计算：()3 204；2 3i12 3i21i(2)已知复数z满足(z )3z i13i，求复数z.zz3反思与感悟 (1)进行复数乘除运算，注意 i 的性质的活用(2)设出复数的代数形式，转化为实数运算(3)设 i，31，210，2.1 232跟踪训练 2 计算：(1)；22i41 3i5(2)()2 006.2 3i12 3i21i类型三
4、 数形结合思想的应用例 3 若 i 为虚数单位，如图所示复平面内点Z表示复数z，则表示复数的点是z 1i_4反思与感悟 根据图形观察Z点的坐标，则复数z易得，根据复数的四则运算求出，z 1i则它对应的点由该复数的实部和虚部惟一确定跟踪训练 3 已知复数z1i(1i)3.(1)求|z1|；(2)若|z|1，求|zz1|的最大值1i 为虚数单位，设复数z1，z2在复平面内对应的点关于原点对称，若z123i，则z2_.2设 i 为虚数单位，则 _.1 i1 i21 i31 i43若复数z(a2)3i(aR R)是纯虚数，则_.ai 1ai54已知zm3(2m1)i(2m1)，则|z|的最大值是_1准
5、确理解虚数单位、复数、虚数、纯虚数、共轭复数、实部、虚部、复数的模等概念2复数四则运算要加以重视，其中复数的乘法运算与多项式的乘法运算类似；对于复数的除法运算，将分子分母同时乘以分母的共轭复数最后整理成abi(a，bR R)的结构形式3复数几何意义在高考中一般会结合复数的概念、复数的加减运算考查复数的几何意义、复数加减法的几何意义6答案精析答案精析问题导学知识点一1实部 虚部2b0 b0 a0 且b03ac且bd4ac，bd5|abi| |z| a2b2知识点二Z(a，b)知识点三1(ac)(bd)i (acbd)(bcad)i i(cdi0)acbd c2d2bcad c2d22. OZ1O
6、Z2OZ2OZ1题型探究例 1 解 (1i)k2(35i)k2(23i)(k23k4)(k25k6)i.(1)当k25k60，即k6 或k1 时，该复数为实数(2)当k25k60，即k6 且k1 时，该复数为虚数(3)当Error!即k4 时，该复数为纯虚数跟踪训练 1 (1)2 (2)a1解析 (1)方法一 为纯虚数，所以1ai 2i1ai2i 2i2i2a2a1i 52a0，a2.方法二 为纯虚数，所以a2.1ai 2iiai 2i(2)a2a20 或Error!a1 且a2 或a2.综上可知，a1.例 2 解 (1)()3 2042 3i12 3i21i1 6022 3i12 3i122
7、 322 1i2( )1 602i(i)1 602ii21i.13i 131 i7(2)设zxyi(x，yR R)，则 xyi，z代入条件得 2x(3x23y2)i13i，Error!解得Error!z i.1 232跟踪训练 2 解 (1)22i41 3i5241i4251232i52( i)1i.242i2251232i21 2323(2)()2 0062 3i12 3i21i2 3ii12 3ii21 003 2i1 003iii0.2 3iii2 31 i1 0031 i例 3 H解析 由图示可知，z3i，2i，z 1i3i 1i3i1i 1i1i42i 2该复数在复平面内对应的点的坐
8、标是(2，1)，即点H.跟踪训练 3 解 (1)方法一 z1i(1i)3(i1)(1i)22(1i)22i，|z1|2.22222方法二 |z1|i(1i)3|i|1i|32.2(2)如图所示，由|z|1 可知，z在复平面内对应的点的轨迹是半径为 1，圆心为O(0,0)的圆，而z1对应着坐标系中的点Z1(2，2)所以|zz1|的最大值可以看成是点Z1到圆上的点的距离的最大值由图知|zz1|max|z1|r(r为圆半径)21.2达标检测123i解析 (2，3)关于原点的对称点是(2,3)，z223i.208解析 i1i10.1 i1 i21 i31 i43. i4 53 5解析 za23i(aR R)是纯虚数，a2， i.ai 1ai2i 12i2i12i 54 53 545解析 |z|，m322m125m1252m1，m1 时，|z|max5.
