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1、章末综合测评章末综合测评(一一) 计数原理计数原理(时间 120 分钟，满分 150 分)一、选择题(本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1(2016银川高二检测)CC等于( )9 108 10A45 B55C65D以上都不对【解析】 CCCC55，故选 B.9 108 101 102 10【答案】 B25 位同学报名参加两个课外活动小组，每位同学限报其中的一个小组，则不同的报名方法共有( )A10 种B20 种C25 种D32 种【解析】 5 位同学报名参加两个课外活动小组，每位同学限报其中的一个小组，则不同的报名方法共有 2
2、532 种，故选 D.【答案】 D3关于(ab)10的说法，错误的是( )A展开式中的二项式系数之和为 1 024B展开式中第 6 项的二项式系数最大C展开式中第 5 项和第 7 项的二项式系数最大D展开式中第 6 项的系数最小【解析】 由二项式系数的性质知，二项式系数之和为 2101 024，故 A正确；当 n 为偶数时，二项式系数最大的项是中间一项，故 B 正确，C 错误；D 也是正确的，因为展开式中第 6 项的系数是负数且其绝对值最大，所以是系数中最小的【答案】 C4(2015湖南高考)已知5的展开式中含的项的系数为 30，则(xax)a( )A.B33C6D6【解析】 Tr1C ()5
3、rrC (a)r ，由 ，解得r 5x(ax)r 552r232r1.由 C (a)30，得 a6.故选 D.1 5【答案】 D5由数字 0,1,2,3,4,5 可以组成的无重复数字且奇偶数字相间的六位数的个数有( )A72B60C48D52【解析】 只考虑奇偶相间，则有 2A A 种不同的排法，其中 0 在首位的3 33 3有 A A 种不符合题意，所以共有 2A A A A 60 种2 23 33 3 3 32 2 3 3【答案】 B6(x22)5的展开式的常数项是( )(1x21)A3B2C2D3【解析】 二项式5展开式的通项为(1x21)Tr1C5r(1)r(1)rC x2r10，r
4、5(1x2)r 5当 2r102，即 r4 时，有 x2(1)4C x25，4 5当 2r100，即 r5 时，有 2(1)5C x02，5 5所以展开式中的常数项为 3.故选 D.【答案】 D7某学校开设“蓝天工程博览课程” ，组织 6 个年级的学生外出参观包括甲博物馆在内的 6 个博物馆，每个年级任选一个博物馆参观，则有且只有两个年级选择甲博物馆的情况有( )AA A 种BA 54种2 64 52 6CC A 种DC 54种2 64 52 6【解析】 有两个年级选择甲博物馆共有 C 种情况其余四个年级每个2 6年级各有 5 种选择情况，故有且只有两个年级选择甲博物馆的情况有 C 54种，2
5、 6故选 D.【答案】 D86 本不同的书分成 3 组，一组 4 本，其余组各 1 本，共有不同的分法( )A5 种B10 种C15 种D20 种【解析】 分步进行分组，第 1 步 C 种，第 2,3 步构成平均分组，有4 6种故不同分法的种数为 C 15.C1 2C1 1A2 24 6C1 2C1 1A2 2【答案】 C9某计算机商店有 6 台不同的品牌机和 5 台不同的兼容机，从中选购 5 台，且至少有品牌机和兼容机各 2 台，则不同的选购方法有( )A1 050 种B700 种C350 种D200 种【解析】 分两类：(1)从 6 台不同的品牌机中选 3 台和从 5 台不同的兼容机中选
6、2 台；(2)从 6 台不同的品牌机中选 2 台和从 5 台不同的兼容机中选 3 台所以不同的选购方法有 C C C C 350 种3 6 2 52 6 3 5【答案】 C10已知关于 x 的二项式n展开式的二项式系数之和为 32，常数项(xa3x)为 80，则 a 的值为( )A2B1C1D2【解析】 二项式系数和为 2n32，n5，通项公式为 Tr1C ()5rrC ar.r 5x(a3x)r 5常数项为 80，r3 时，C a380，3 5a2.【答案】 A11若多项式 x2x10a0a1(x1)a9(x1)9a10(x1)10，则 a9等于( ) 【导学号：62690026】A9B10
7、C9D10【解析】 x10的系数为 a10，a101，x9的系数为 a9Ca10，a9100，a910.9 10故应选 D.【答案】 D12(2015全国卷)(x2xy)5的展开式中，x5y2的系数为( )A10 B20 C30 D60【解析】 法一：(x2xy)5(x2x)y5，含 y2的项为 T3C (x2x)3y2.2 5其中(x2x)3中含 x5的项为 C x4xC x5.1 31 3所以 x5y2的系数为 C C 30.故选 C.2 5 1 3法二：(x2xy)5为 5 个(x2xy)之积，其中有两个取 y，两个取 x2，一个取 x 即可，所以 x5y2的系数为 C C C 30.故
8、选 C.2 5 2 3 1 1【答案】 C二、填空题(本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分将答案填在题中的横线上)13某科技小组有女同学 2 名、男同学 x 名，现从中选出 3 名去参加展览若恰有 1 名女生入选时的不同选法有 20 种，则该科技小组中男生的人数为_【解析】 由题意得 C C 20，解得 x5.1 22 x【答案】 514(1.05)6的计算结果精确到 0.01 的近似值是_【解析】 (1.05)6(10.05)6C C 0.05C 0.052C 0.05310.30.037 50.002 0 61 62 63 651.34.【答案】 1.3415(2015山东高考
9、)观察下列各式：C 40；0 1C C 41；0 31 3C C C 42；0 51 52 5C C C C 43；0 71 72 73 7照此规律，当 nN时，CCCC_.02n112n122n1n12n1【解析】 观察每行等式的特点，每行等式的右端都是幂的形式，底数均为 4，指数与等式左端最后一个组合数的上标相等，故有 CCC02n112n1C4n1.22n1n12n1【答案】 4n116甲、乙、丙 3 人站到共有 7 级的台阶上，若每级台阶最多站 2 人，同一级台阶上的人不区分站的位置，则不同的站法种数是_(用数字作答)【解析】 3 个人各站一级台阶有 A 210 种站法，3 个人中有
10、2 个人站3 7在一级，另一人站在另一级，有 C A 126 种站法共有 210126336 种站2 3 2 7法故填 336.【答案】 336三、解答题(本大题共 6 小题，共 70 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17(本小题满分 10 分)已知Error!试求 x，n 的值【解】 C CC，nx2x 或 x2x(舍去)，n3x.x nnxn2x n由 CC，得x1n113x1n，n！x1！nx1！113n！x1！nx1！整理得3(x1)！(nx1)！11(x1)！(nx1)！，3(nx1)(nx)11(x1)x.将 n3x 代入，整理得 6(2x1)11(x1)，x5，n3x1
11、5.18(本小题满分 12 分)利用二项式定理证明：49n16n1(nN)能被 16整除【证明】 49n16n1(481)n16n1C 48nC 48n1C48C 16n10 n1 nn1nn n16(C 348n1C 348n2C3n)0 n1 nn1n所以 49n16n1 能被 16 整除19(本小题满分 12 分)一个口袋内有 4 个不同的红球，6 个不同的白球，(1)从中任取 4 个球，红球的个数不比白球少的取法有多少种？(2)若取一个红球记 2 分，取一个白球记 1 分，从中任取 5 个球，使总分不少于 7 分的取法有多少种？【解】 (1)将取出 4 个球分成三类情况：取 4 个红球
12、，没有白球，有 C 种；4 4取 3 个红球 1 个白球，有 C C 种；3 41 6取 2 个红球 2 个白球，有 C C 种，2 42 6故有 C C C C C 115 种4 43 4 1 62 4 2 6(2)设取 x 个红球，y 个白球，则Error!故Error!或Error!或Error!因此，符合题意的取法共有 C C C C C C 186 种2 4 3 63 4 2 64 4 1 620(本小题满分 12 分)已知(x2y)7的展开式中，二项展开中系数最大的项【解】 设第 r1 项系数最大，则有Error!即Error!即Error!解得Error!又rZ，r5，系数最大的
13、项为 T6C x225y5672x2y5.5 721(本小题满分 12 分)有 3 名男生、4 名女生，在下列不同条件下，求不同的排列方法总数(1)排成前后两排，前排 3 人，后排 4 人；(2)全体站成一排，甲不站排头也不站排尾；(3)全体站成一排，女生必须站在一起；(4)全体站成一排，男生互不相邻【解】 (1)共有 A 5 040 种方法7 7(2)甲为特殊元素先排甲，有 5 种方法，其余 6 人有 A 种方法，故共有6 65A 3 600 种方法6 6(3)(捆绑法)将女生看成一个整体，与 3 名男生在一起进行全排列，有 A 种4 4方法，再将 4 名女生进行全排列，有 A 种方法，故共
14、有 A A 576 种方4 44 44 4法(4)(插空法)男生不相邻，而女生不做要求，所以应先排女生，有 A 种方法，4 4再在女生之间及首尾空出的 5 个空位中任选 3 个空位排男生，有 A 种方法，3 5故共有 A A 1 440 种方法4 43 522(本小题满分 12 分)某课外活动小组共有 13 人，其中男生 8 人，女生5 人，并且男、女生各指定一名队长，现从中选 5 人主持某种活动，依据下列条件各有多少种选法？(1)只有 2 名女生；(2)两队长当选；(3)至少有一名队长当选；(4)至多有两名女生当选【解】 (1)由题意，需选 2 名女生，3 名男生，不同的选法有C C 105
15、6560(种)2 53 8(2)两队长当选，则只需从其他 11 人中选出 3 人即可，故不同的选法有C165(种)3 11(3)法一(直接法)：至少有一名队长当选，可分恰有一名队长当选与两名队长都当选两类恰有一名队长当选，先从 2 名队长中选 1 人，然后从 11 名队员中选 4 人，不同的选法有 C C2330660(种)1 24 11两种队长都当选，则只需从其他 11 人中选出 3 人，不同的选法有C165(种)3 11由分类加法计数原理可知，不同的选法共有 660165825(种)法二(间接法)：从 13 人中任选 5 人，不同的选法有 C1 287(种)5 13而两名队长都未当选，即只从 11 名队员中选取 5
