《概率论第五章课件》由会员分享，可在线阅读，更多相关《概率论第五章课件（65页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、第五章 大数定律与中心极限定理,5.1 大数定律 5.2 中心极限定理,第一节 大数定律,一、问题的引入,二、基本定理,三、典型例题,四、小结,第一章引入概率概念时，曾经指出，事件发 生的频率在一、二次或少数次试验中具有随机性 的，但随着试验次数n的增大，频率将会逐渐稳 定且趋近于概率。特别，当n很大时，频率与概 率会非常“接近”的。这个非常“接近”是什么意思？ 这与高等数学中的极限概念有否联系？本章将从 理论上讨论这一问题。,一、问题的引入,定理1 设随机变量的数学期望EX= ，方差DX= 2，则对任意的正数，不等式(1) 成立。这个不等式称为契贝雪夫(Cheby shev)不等式。,证 我
2、们仅就连续型随机变量情形加以证明。,设X的概率密度为 f(x)，于是,式(1)表明当DX很小时，概率P|X-EX| 更小。 这就是说在上述条件下，随机变量X落入EX的邻域 之外的可能性很小，也即落入EX的邻域内可能性 很大。由此说明X的取值比较集中，也即离散程度较 小，这正是方差的意义所在。契贝雪夫不等式在理论研究和实际应用中都有很重要的价值。,(1),例1 已知正常男性成人血液中，每一毫升血液中白细胞的平均数是7300，均方差是700。试估计每毫升血液中白细胞数在52009400之间的概率。,解 设每一毫升血液中白细胞数为X ，则由上式有,契贝雪夫不等式也可以写成如下等价形式,定理2 （伯努
3、利(Bernoulli)大数定律）设 是n次独立重复试验中事件A发生的次数，p是事件A在每次试验中发生的概率，则对任意正数 0，有,或,证 令,则X1，X2，Xn是n个相互独立的随机变量，且,易知,于是，,由契贝雪夫不等式得,又由X1，X2，Xn的独立性可知,从而有,上述伯努利大数定律从理论上给出了频率“接近”概率这种“现象”的更加确切的含意，它反映了大数次重复试验下随机现象所呈现的统计规律性。,设Y1，Y2，Yn，是一个随机变量序列，a是一个常数，若对任意的正数 ，有,则称随机变量序列Yn依概率收敛于a，记作,定理2 是n次独立重复试验中事件A发生的次数，p是事件A在每次试验中发生的概率，则
4、,定理3（契贝雪夫大数定律）设X1，X2，Xn，是相互独立的随机变量序列，又设它们的方差有界，即存在常数c0，使得,则对任意的 0，有,证明（略）,或,伯努利大数定律是契贝雪夫大数定律的特例, 在它们的证明中, 都是以契贝雪夫不等式为基础的, 所以要求随机变量具有方差。但进一步的研究表明，方差存在这个条件并不是必要的。即有下面的独立同分布的辛钦大数定律。,定理4 (辛钦()大数定律)设X1，X2，Xn，是相互独立的随机变量序列，且数学期望存在:,则对任意的 0，有,证明（略）,这就为寻找随机变量的期望值提供了一条实际可行的途径。,伯努利大数定律说明了当n很大时，事件发生的频率会非常“接近”概率
5、，而这里的辛钦大数定律则表明，当n很大时，随机变量X在n次观察中的算术平均值 也会“接近”它的期望值，即,三、典型例题,解,独立性依题意可知,检验是否具有数学期望？,例2,说明每一个随机变量都有数学期望,检验是否具有有限方差？,说明离散型随机变量有有限方差,故满足契比雪夫定理的条件.,解,由辛钦定理知,例3,四、小结,三个大数定理,契比雪夫定理的特殊情况,伯努利大数定理,辛钦定理,频率的稳定性是概率定义的客观基础, 而伯努利大数定理以严密的数学形式论证了频率的稳定性.,第二节 中心极限定理,一、问题的引入,二、基本定理,三、小结,一、问题的引入,在第二章介绍正态分布时曾经特别强调了它在概率论与
6、数理统计中的地位与作用，为什么会有许多随机变量遵循正态分布？仅仅是经验猜测还是确有理论根据？这当然是一个需要弄清的问题。实践表明，客观实际中有很多随机变量，它们往往是由大量的相互独立的随机因素的综合作用所形成的。而其中每一个别因素在总的影响中所起的作用是微小的。下面将要介绍的中心极限定理从理论上阐明了这样的随机变量总是近似地服从正态分布的。,定理5（独立同分布的林德贝尔格-勒维(LindebergLevy)中心极限定理）设X1，X2，Xn，是相互独立，且服从同一分布的随机变量序列，并具有数学期望和方差：,则对任意的x有,证明（略）,二、基本定理,两点说明：,1无论随机变量X1，X2，Xn，服从
7、同一分布的情况如何，只要Xi满足定理的条件，则随机变量序列：,当n无限增大时，总以标准正态分布为其极限分布。或者说，当n充分大时，Yn近似服从标准正态分布。根据这一点，在实际应用中，只要n充分大，我们便可把n个独立同分布的随机变量的和当作正态随机变量。,2因为对,中每一被加项,有,故有,即 Yn中每一被加项对总和的影响都很微小，但它们迭加的和却以标准正态分布作为极限。,例1 设有100个电子器件，它们的使用寿命 X1，X2，X100均服从参数为=0.05(h-1)的指数分布，其使用情况为：第一个损坏第二个立即使用，第二个损坏第三个立即使用等等。令X表示这100个电子器件使用的总时间，试求X超过
8、1800h小时的概率。,解 由于Xi 服从参数为 = 0.05的指数分布。因此,又由题设知 ，因此由定理5得：,作为定理5的推论有,定理6（德莫佛拉普拉斯(De Moivre-Laplace)定理）在n重贝努里试验中，事件A在每次试验中出现的概率为p，Yn为n次试验中事件A出现的次数，则对任意的x，有,证 由5.1的定理2的证明可知，Yn可以看成是n个相互独立，且服从同一(0-1)分布的随机变量X1，X2，Xn之和，即,由定理5得：,定理表明，二项分布的极限分布是正态分布。因此，当n充分大时，我们可以利用上式来计算二项分布的概率。,下面的图形表明:正态分布是二项分布的逼近.,定理7（李雅普诺夫
9、Liapunov定理）设随机变量 X1，X2，Xn ，相互独立，且,若存在 0，使得,则对任意的x，有,证略。,对于相互独立但不同分布的随机变量和的分布的极限问题, 有李雅普诺夫中心极限定理。,不难看出，当n很大时，,近似服从标准正态分布N(0，1)，也即,近似服从正态分布：,一船舶在某海区航行, 已知每遭受一次海浪的冲击, 纵摇角大于 3 的概率为1/3, 若船舶遭受了90 000次波浪冲击, 问其中有29 50030 500次纵摇角大于 3 的概率是多少？,解,将船舶每遭受一次海浪的冲击看作一次试验,并假设各次试验是独立的,在90 000次波浪冲击中纵摇角大于 3 的次数为 X,则 X 是
10、一个随机变量,例2,所求概率为,分布律为,直接计算很麻烦，利用德莫佛拉普拉斯定理,某保险公司的老年人寿保险有1万人参加,每人每年交200元. 若老人在该年内死亡,公司付给家属1万元. 设老年人死亡率为0.017,试求保险公司在一年内的这项保险中亏本的概率.,解,设 X 为一年中投保老人的死亡数,由德莫佛拉普拉斯定理知,例3,保险公司亏本的概率,证,例4,根据独立同分布的中心极限定理，,例5 随机变量X 表示对概率为p的事件A做n次重复独立试验时，A出现的次数。试分别用契贝雪夫不等式及中心极限定理估计满足下式的n：,解：记,由于X B(n，p)，故EX=np，EY=p，,(1)根据契贝雪夫不等式
11、，有,(2)以Xi 表示每次试验时A出现的次数，则Xi 服从参数为p的0-1分布，且EXi =p，DXi =p(1-p) ，而,是n个独立同分布的随机变量之和，故由中心极限定理知,因此有,例6 某药厂断言，该厂生产的某种药品对于医治一种疑难的血液病的治愈率为0.8。医院检验员任意抽查100个服用此药品的人，如果其中多于75人治愈，就接受这一断言，否则就拒绝这一断言。 (1)若实际上此药品对这种疾病的治愈率是0.8，问接受这一断言的概率是多少？ (2)若实际上此药品对这种疾病的治愈率为0.7，问接受这一断言的概率是多少？,解：(1)以X表示100人中治愈人数，则X B(100，0.8),所求概率
12、为,(2)依题X B(100，0.7),所求概率为,三、小结,三个中心极限定理,独立同分布的中心极限定理,李雅普诺夫定理,德莫佛拉普拉斯定理,中心极限定理表明, 在相当一般的条件下, 当独立随机变量的个数增加时, 其和的分布趋于正态分布.,第五章 大数定律及中心极限定理 习 题 课,二、主要内容,三、典型例题,一、重点与难点,一、重点与难点,1.重点,中心极限定理及其运用.,2.难点,证明随机变量服从大数定律.,大数定律,二、主要内容,中心极限定理,定 理 2,定理3,定理4,定理2的另一种表示,定理5,定理6,定理7,契比雪夫定理的特殊情况,定理一的另一种表示,伯努利大数定理,辛钦定理,独立同分布的中心极限定理,李雅普诺夫定理,则随机变量之和的标准化变量,德莫佛拉普拉斯定理,三、典型例题,解,例1,根据独立同分布的中心极限定理知,的极限分布是标准正态分布.,解,例2,根据题意, 所求概率为,由中心极限定理有:,解,例3,由泊松定理知,
